2.3 分式方程及其应用-【一战成名新中考】2025河南中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·河南数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 3　 分式方程及其应用(10 年 2 考) 要点归纳 要点 1 分式方程的概念:分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 要点 2 分式方程的解法: 分式方程 去分母 转化 →整式方程 解整式方程 → 有解 检验 → 最简公分母不为 0 →分式方程有解 最简公分母为 0 →解是增根,分式 方程无解 ì î í ï ï ï ï 无解→分式方程无解 ì î í ï ï ï ï ï ï 例 1　 解方程: 3 x-2 = x+1 2-x -1. 答题规范 注意事项 解:方程两边同乘①　 (x-2) 　 , 得②　 3=-(x+1)-(x-2) 　 , ①去分母时,方程的每一项都要乘最简公分母; ②分式前为“-”、分子为多项式时,去分母后不要 忘记“-”,并且分子要加括号 去括号,得③　 3=-x-1-x+2　 , 去掉“-( 　 　 )”形式的括号时,原括号内的每项都 要变号 移项、合并同类项、系数化为 1, 得④　 x=-1　 , 移项一定要变号 检验:⑤　 当 x=-1 时,x-2≠0　 , 一定要写检验过程 故⑥　 x=-1　 是分式方程的解 最后不要忘记写结论 要点 3 分式方程的增根与无解 (1)增根:是去分母后的整式方程的解,同时也使得分式方程的分母等于 0. (2)无解的两种情况:①分式方程化为整式方程后,整式方程无解􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,所以分式方程无解; ②分式方程化为整式方程后,整式方程的解是分式方程的增根􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,所以分式方程无解. 要点 4 分式方程的实际应用 (1)解题步骤 实际问题 找等量关系 设未知数 → 列分式方程 → 解方程 → 双检验 → 答 注:双检验———①检验是否是分式方程的解;②检验是否符合实际问题. (2)常考类型 类型 1　 购买问题 ◆关键字句:“…是…的 n 倍􀪍􀪍”“…比􀪍…多 /少 /贵 / …”“…与􀪍…相等􀪍􀪍(同)” . 22 基础夯实练·河南数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 例 2　 某商场准备购进 A,B 两种书包,每个 A 种书包比 B 种书包的进价少 10 元􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,用 600􀪍􀪍􀪍 元购进 A 种书包的个数是用 350 元购进 B 种书包个数的 2 倍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,则 A,B 两种书包每个 进价各是多少元? 审:基本数量关系式:总费用 单价 =数量. 设:设 A 种书包每个进价为 x 元, 列:依题意,得⑩　 　 　 　 　 　 , (根据两种书包数量的倍数关系列方 程) 解:解得􀃊􀁉􀁓　 x=60　 , 总费用 单价(元) 数量(个) A 种 600 x ⑦　 　 　 　 B 种 350 ⑧　 x+10　 ⑨　 　 　 　 验:􀃊􀁉􀁔　 经检验,x=60 是原分式方程的解,且符合题意　 , 􀃊􀁉􀁕　 则 B 种书包每个的进价为 x+10=70 元　 , 答:􀃊􀁉􀁖　 A种书包每个进价为 60 元,B 种书包每个进价为 70 元　 . 类型 2　 行程问题 ◆关键字句:“…是…的 n 倍􀪍􀪍”“…比􀪍…晚 /少用 /提前 / …”“…先出发􀪍􀪍􀪍,…同时􀪍􀪍到达”“相遇”. 例 3　 [人教八上 P154 第 3 题改编]甲、乙两人分别从距目的地 6 千米􀪍􀪍􀪍和 10 千米􀪍􀪍􀪍􀪍的两地同时 出发,甲、乙的速度比是 3 ∶ 4􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,结果甲比乙提前 20 分钟􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍到达目的地,设甲的速度为 3x 千米 /时,则所列方程是 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 6 3x +20 = 10 4x B. 6 3x = 10 4x +20 C. 6 3x +20 60 = 10 4x D. 6 3x = 10 4x +20 60 审:基本数量关系式:路程 速度 =时间. 设:已知设出甲的速度为 3x 千米 /时. 列:依题意,得􀃊􀁉􀁚　 　 　 　 　 　 . (根据甲乙 同时出发,到达目的地的时间差列方程) 【答案】􀃊􀁉􀁛　 C　 路程 (千米) 速度 (千米 / 时) 时间 (时) 甲 6 3x 􀃊􀁉􀁗　 　 　 乙 10 􀃊􀁉􀁘　 4x　 􀃊􀁉􀁙　 　 　 类型 3　 工程问题 例 4　 [人教八上 P152 例 3]两个工程队共同参与一项筑路工程,①甲队单独施工 1 个月完􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 成总工程的 1 3 , 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 这时②增加了乙队,两队又共同工作了半个月 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,总工程全部完成. 哪个 队的施工速度快? 审:工作总量看作“1”,工作总量=工作效率×工作时间. ①甲的工作量:􀃊􀁊􀁒　 　 　 　 ;甲的工作时间:1 个月,可得甲的工作效率 = 􀃊􀁊􀁓　 　 　 　 ; ②乙的工作时间􀃊􀁊􀁔　 　 　 　 个月,甲增加的工作时间为􀃊􀁊􀁕　 　 　 　 个月;则甲的工作 总量为􀃊􀁊􀁖　 　 　 　 　 　 ;由题可得甲、乙工作总量和为 1. 设:设乙队单独施工 1 个月能完成总工程的 1 x . 列:􀃊􀁊􀁗　 　 　 　 　 = 1　 , 32 基础夯实练·河南数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 解:解得􀃊􀁊􀁘　 x=1　 , 验:􀃊􀁊􀁙　 经检验,x=1 是原分式方程的解,且符合实际　 , ∴ 乙队单独施工 1 个月可完成全部任务. 答:􀃊􀁊􀁚　 乙队的施工速度快　 . 随堂练习 1. 已知 2 x-1 = m x 是关于 x 的分式方程. (1)若方程的解为 2,则 m 的值为　 4　 ; (2)若方程的解为正整数,当 m 为整数时,m 的值为　 3 或 4　 ; (3)若方程的解为负数,则 m 的取值范围为　 0<m<2　 ; (4)若方程有增根,则 m 的值为　 0　 ; (5)易错 ∙∙ 　 若方程无解,则 m 的值为　 2 或 0　 . 2. 【2022 年版课标新增内容】某施工队挖掘一条长 96 米的隧道,开工后每天比原计划多挖 掘 2 米,结果提前 4 天完成任务,求实际每天挖掘隧道的长度和实际施工的天数. 小明同 学根据题意列出方程:96 x - 96 x+2 = 4,则方程中未知数 x 表示　 原计划每天挖掘隧道的　 . 3. 为了实施乡村振兴,某企业帮扶火红村发展林果产业,先后两次购进同种果树苗,第一次 购进树苗用去 12 000 元,第二次用去 10 000 元,第一次树苗的单价是第二次树苗单价的 1. 5 倍,第二次购进树苗的数量比第一次多 100 棵. 设第二次树苗单价为 x 元,则可列方 程:　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 4. [人教八上 P153 例 4 改编]中国高铁已成为一张世界名片. 经过技术改进,某次列车平均提 速 20 km / h,列车提速前行驶 540 km 所用的时间,提速后可多行驶 60 km,求这次列车提 速前 的 平 均 速 度. 设 这 次 列 车 提 速 前 的 平 均 速 度 为 x km / h, 则 可 列 方 程: 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 5. 解方程:2x -5 x-2 = 3x-3 x-2 -3. 解:去分母、去括号得 2x-5=3x-3-3x+6, 移项、合并同类项得 2x=8, 系数化为 1 得 x=4, 检验:把 x=4 代入最简公分母(x-2),得 x-2=4-2=2≠0, 故原分式方程的解为 x=4. ▶▶请完成《分层作业本》P13-14 习题 42 ⑦①-②,得-3x= 3,解得 x= -1　 ⑧(100-x)　 ⑨10x+(100- x) ×1 = 235　 ⑩x= 15,则 100-x = 85　 􀃊􀁉􀁓这个月该公司分别 销售甲、乙两种特产 15 吨、85 吨　 􀃊􀁉􀁔 a+b= 100, 10a+b= 235{ 随堂练习 1. C　 2. 2　 3. B　 4. 90%x-y= 20%y, 80%x-y= 10{ 5. (1)原方程组的解是 x= -1, y= 1.{ (2)原方程组的解是 x= 3, y= 4.{ 命题点 2　 一元二次方程及其应用 要点归纳 ①a≠0　 ②a≠0　 ③两个不相等　 ④两个相等 ⑤- b 2a 　 ⑥没有　 ⑦- b a 　 ⑧ c a 　 ⑨a(1+x) 2 　 ⑩a(1-x) 2 􀃊􀁉􀁓80(1-x) 2 = 54　 􀃊􀁉􀁔(a-2x)(b-2x)　 􀃊􀁉􀁕(a-x)(b-x) 􀃊􀁉􀁖x· m-x 2 　 􀃊􀁉􀁗x· m+1-x 2 　 􀃊􀁉􀁘(a-2x)(b-2x)　 􀃊􀁉􀁙2 􀃊􀁉􀁚(40-2x)(26-x)= 144×6　 􀃊􀁉􀁛ax　 􀃊􀁊􀁒ax2 　 􀃊􀁊􀁓(1+x) 􀃊􀁊􀁔(1+x) 2 随堂练习 1. 16,36,6 2. (1)a<4 且 a≠0;(2)4;(3)a>4;(4)a≤4 3. 4　 4. 10　 5. B 6. 解:(1)由原方程得 x2 -2x= 4, 则 x2 -2x+1 = 4+1,即(x-1) 2 = 5, ∴ x-1 = ± 5 , ∴ x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 ; (2)b2 -4ac= ( -5) 2 -4×2×2 = 9>0, ∴ x= 5± 9 4 = 5±3 4 , ∴ x1 = 2,x2 = 1 2 . 命题点 3　 分式方程及其应用 要点归纳 ①(x-2)　 ②3 = -(x+1) -(x-2)　 ③3 = -x-1-x+2 ④x= -1　 ⑤当 x= -1 时,x-2≠0　 ⑥x= -1　 ⑦ 600 x ⑧x+10　 ⑨ 350 x+10 　 ⑩ 600 x = 2× 350 x+10 　 􀃊􀁉􀁓x= 60　 􀃊􀁉􀁔经检验, x= 60 是原分式方程的解,且符合题意　 􀃊􀁉􀁕则 B 种书包每个 的进价为 x+10 = 70(元) 􀃊􀁉􀁖A 种书包每个进价为 60 元,B 种书包每个进价为 70 元　 􀃊􀁉􀁗 6 3x 　 􀃊􀁉􀁘4x　 􀃊􀁉􀁙 10 4x 　 􀃊􀁉􀁚 6 3x + 20 60 = 10 4x 　 􀃊􀁉􀁛C　 􀃊􀁊􀁒 1 3 　 􀃊􀁊􀁓 1 3 　 􀃊􀁊􀁔 1 2 　 􀃊􀁊􀁕 1 2 　 􀃊􀁊􀁖 1 3 + 1 3 × 1 2 　 􀃊􀁊􀁗 1 3 + 1 3 × 1 2 + 1 2x = 1 􀃊􀁊􀁘x= 1　 􀃊􀁊􀁙经检验,x = 1 是原分式方程的解,且符合实际　 􀃊􀁊􀁚乙队的施工速度快 随堂练习 1. (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 2. 原计划每天挖掘隧道的长度; 3. 12 000 1. 5x +100 = 10 000 x 4. 540 x = 540 +60 x+20 5.解:去分母、去括号得 2x-5 = 3x-3-3x+6, 移项、合并同类项得 2x= 8, 系数化为 1 得 x= 4, 检验:把 x = 4 代入最简公分母( x- 2),得 x- 2 = 4 - 2 = 2 ≠0, 故原分式方程的解为 x= 4. 命题点 4　 一元一次不等式(组)及其应用 要点归纳 ①>　 ②>　 ③<　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a　 ⑧x>b ⑨x<a　 ⑩a<x<b　 􀃊􀁉􀁓无解　 􀃊􀁉􀁔1　 􀃊􀁉􀁕a≤2　 􀃊􀁉􀁖3　 􀃊􀁉􀁗a≥2　 􀃊􀁉􀁘-1　 􀃊􀁉􀁙a<2　 􀃊􀁉􀁚-1≤a<0　 􀃊􀁉􀁛2,1,0　 􀃊􀁊􀁒0　 􀃊􀁊􀁓-1　 􀃊􀁊􀁔a<0 􀃊􀁊􀁕a≥2　 􀃊􀁊􀁖>　 􀃊􀁊􀁗<　 􀃊􀁊􀁘≥　 􀃊􀁊􀁙≤　 􀃊􀁊􀁚x≥ 1 n (m-x) 􀃊􀁊􀁛ax+b(m-x)≤n 随堂练习 1. C　 2. C　 3. 小明至少答对 22 道题 4.解:x+1> x+4 2 , 去分母,得 2(x+1) >x+4, 去括号,得 2x+2>x+4, 移项,得 2x-x>4-2, 合并同类项,得 x>2, 解集在数轴上表示如解图所示. 第 4 题解图 5. 解:解不等式 1+x>-2,得 x>-3, 解不等式 2x-1 3 ≤1,得 x≤2, 则不等式组的解集为-3<x≤2, 将不等式组的解集表示在数轴上如解图所示. 第 5 题解图 第三章　 函数 命题点 1　 平面直角坐标系 要点归纳 ①y　 ②x　 ③x= 0 且 y= 0　 ④纵　 ⑤横　 ⑥(x,-y) ⑦( -x,y)　 ⑧( -x,-y)　 ⑨(x+a,y)　 􀃊􀁉􀁒(x,y+a) 􀃊􀁉􀁓(x,y-a)　 􀃊􀁉􀁔 | a | 　 􀃊􀁉􀁕 a2 +b2 　 􀃊􀁉􀁖 | x1 -x2 | 　 􀃊􀁉􀁗 | y1 -y2 | 　 􀃊􀁉􀁘 | y2 -y1 | 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 021