1.4 整式与因式分解-【一战成名新中考】2025河南中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·河南数学 第 一 章 　 数 与 式 命题点 4　 整式与因式分解(必考) 要点归纳 要点 1 列代数式及求值 代数式 用基本运算符号将数或表示数的字母连接所成的式子,称为代数式. 单独的一 个数或一个字母也是代数式 列代 数式 关键是找出问题中的数量关系. 牢记一些公式,如:路程 = 速度×时间,总价 = 数 量×单价,售价= 标价×折扣;抓住关键词语,如:大、小、多、少、倍、分、增长、下 降等 易错警示:多项式后面带单位时,要用括号括起来,如:(x+y)人 代数式 求值 直接代入法:把已知字母的值代入代数式,并按原来的运算顺序计算求值. 如: 已知 a= 2,则 2a+3 = 7 整体代入法: (1)观察已知条件和所求代数式的关系; (2)将所求代数式变形后与已知代数式成倍数关系,一般会用到提公因式法、 平方差公式、完全平方公式; (3)把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值; (4)整体代入法的常见变形: a. a2 +b2 =(a+b) 2 -2ab=(a-b) 2 +2ab;　 b. 4ab=(a+b) 2 -(a-b) 2; c. a2 +b2 = 1 2 [(a+b) 2 +(a-b) 2]; d. x2 + 1 x2 =(x+ 1 x ) 2 -2 =(x- 1 x ) 2 +2 要点 2 简单数列推理 (1)若一列正整数:1,2,3,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 n,这 n(n≥1)个数的和 为 n(n+1) 2 ; (2)若一列数:1,3,5,7,9,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 2n-1,这 n(n≥1)个数的 和为 n2; (3)若一列数:-1,1,-1,1,-1,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是(-1) n; (4)若一列数:1,4,9,16,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 n2; (5)若一列数:4,7,10,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 3n+1; (6)若一列数:2,6,12,20,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 n(n+1) . 要点 3 代数推理【2022 年版课标新增内容】 课标例题:设 abcd 是一个四位数,求证:若 a+b+c+d 可以被 3 整除,则这个数可以被 3 整除. 证明:abcd= 1 000a+100b+10c+d = (999a+99b+9c) + (a+b+c+d),显然(999a+99b+9c)能 被 3 整除,因此,如果(a+b+c+d)能被 3 整除,那么 abcd 就能被 3 整除. 01 基础夯实练·河南数学 第 一 章 　 数 与 式 要点 4 整式的相关概念 单 项 式 概念 数或字母的积的式子,单独的一个数或一个字母也是单项式 系数 单项式中的数字因数 次数 一个单项式中,所有字母的指数的和 例: 叫作五次单项式 多 项 式 概念 几个单项式的和 项 多项式中的每个单项式叫作多项式的项,其中不含 字母的项叫作常数项 次数 多项式中次数最高项的次数 例: 叫作四次三项式 整式 单项式和多项式统称为整式 要点 5 整式的运算 整式的 加减法 (1)同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫作同类项. 例 如:8n 与 5n,2a2b 与-7a2b 是同类项(几个常数项也是同类项); (2)把同类项合并成一项叫作合并同类项. 整式加减的本质就是先去括号,再 合并同类项. 例如:8n+5n= 13n,-7a2b+2a2b= -5a2b 幂的 运算 (1)同底数幂的乘法:am·an = ①　 am+n 　 (m,n 都是整数); (2)幂的乘方:(am) n = ②　 amn 　 (m,n 都是整数); (3)积的乘方:(ab)m = ③　 ambm 　 (m 是整数); (4)同底数幂的除法:am÷an = ④　 am-n 　 (a≠0,m,n 都是整数,且 m>n); (5)负指数幂:a-p = ⑤　 　 　 　 (a≠0,p 为整数); (6)零指数幂:a0 = ⑥　 1　 (a≠0) 整式的 乘法 (1) 单 项 式 与 单 项 式 相 乘: - 2am · an = -2a2mn; (2)单项式与多项式相乘:m(a+b+c)= ma+ mb+mc; (3)多项式与多项式相乘:(a+b)(m+n)= ⑦　 am+an+bm+bn　 ; (4)乘法公式: ①平方差公式: a+b( ) a-b( ) =⑧　 a2-b2　 ; ②完全平方公式: a±b( ) 2 =⑨　 a2±2 ab+b2　 整式的 除法 (1)单项式除以单项式:a3m2 ÷(-2am)= - 1 2 a2m; (2)多项式除以单项式:(3a2b-ab2 +b)÷b= 3a2-ab+1 11 基础夯实练·河南数学 第 一 章 　 数 与 式 整式混 合运算 的顺序 先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的,整式运算的结果是 单项式或多项式 注:数的运算律在整式的运算中依然成立. 要点 6 因式分解 概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式 方 法 提公因式法 (1)ma+mb+mc=m(a+b+c); (2)公因式的确定 系数:取各项系数的最大公约数 字母:取各项相同的字母 指数:取各项相同字母的最低次数 ì î í ï ï ï ï 公式法 a2 -b2 因式分解 平方差公式 􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑 (a+b)(a-b) 　 a2 ±2ab+b2 因式分解 完全平方公式 􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑 (a±b) 2 一般步骤 一提(提公因式);二套(套乘法公式);三检验(检验是否分解彻底) 拓展十字相乘法:x2 +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 如:x2 +5x+6 =(x+2)(x+3). 随堂练习 1. 单项式-3πx3 的次数是　 　 　 　 . 2. 多项式 x2 -3xy2 -4 的次数是　 　 　 　 ,常数项是　 　 　 　 . 3. 计算下列式子. (1)a2·a4 = 　 　 　 　 ;　 　 　 (2)2a·3ab= 　 　 　 　 ;　 　 (3)( -a) 3 = 　 　 　 　 ; (4)(2a2) 3 = 　 　 　 　 ; (5)2a10 ÷a2 = 　 　 　 　 ; (6)6x3y6 ÷2xy2 = 　 　 　 　 ; (7)2a(a-b)= 　 　 　 　 ;　 　 (8)(2a+b)(a-b)= 　 　 　 　 ; (9)(x-3) 2 = 　 　 　 　 ; (10)( -2ab2) -3 = 　 　 　 　 . 4. [华师七上 P89 第 4 题改编]用代数式表示: (1)某班共有 x 名学生,其中女生人数占 45%,那么男生人数是　 　 　 　 ; (2)若一个两位整数的个位数字是 a,十位数字是 b,则这个两位数应表示为　 　 　 　 . 5. 若 x-2y= 3,则代数式 2x-4y-4 的值是　 　 　 　 . 变式　 已知代数式 x-2y-1 的值是-3,则代数式 2 024-x+2y 的值是　 　 　 　 . 6. 按规律排列的一组数据: 1 2 , 3 5 , 1 2 , 7 17 , 9 26 ,11 37 ,…,则第 n(n≥1)个数是　 　 　 　 . 21 基础夯实练·河南数学 第 一 章 　 数 与 式 7. [北师七上 P98 随堂练习改编]如图是用棋子摆成的“小雨伞”,根据规律得出第 n 个“小雨 伞”需要棋子的个数用代数式　 (5n+1) 　 来表示. 第 7 题图 8. 将下列各式进行因式分解. (1)xy-2y2 = 　 　 　 　 　 　 ;　 　 　 　 　 (2)16a2 -8a+1 = 　 　 　 　 　 　 ; (3)9-x2 = 　 　 　 　 　 　 　 . 9. 多解法 ∙∙∙ 　 [华师八上 P49 第 9 题改编]先化简,再求值:(x+1) 2 -x(x+1),其中 x= 2 024. 解:解法 1:原式=x2+2x+1-x2-x =x+1, 当 x=2 024 时,原式=2 024+1=2 025. 　 　 　 解法 2:原式=(x+1)(x+1-x) =x+1, 当 x=2 024 时,原式=2 024+1=2 025. ▶▶请完成《分层作业本》P5-6 习题 命题点 5　 分式及其运算(必考) 要点归纳 要点 1 分式的概念及性质 分式 (1)形式如 A B (A,B 表示两个整式);(2)B 中含有字母且 B≠0 最简分式 分子与分母没有公因式的分式 与分式有关 的“三个条件” (1)分式 A B 有意义的条件是:①　 B≠0　 ; (2)分式 A B 值为 0 的条件是:②　 A=0 且 B≠0　 ; (3)使分式 A B ÷D C 有意义的条件是:③　 B≠0,C≠0,D≠0　 性 质 基本性质 分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于 0 的整式,分式的值不变 性质应用 (1) A B = A·M B·M (M≠0),该性质应用于分式的通分; (2) A B = A÷M B÷M (M≠0),该性质应用于分式的约分; (3)符号变化法则:分子、分母与分式本身的符号,改变其中任意两个,分 式的值不变,即 A B = -A -B = --A B = - A -B 31 参考答案 第一章数与式 （2期：原武=1+了3-2 2 命题点1实数的相关概念与大小比较 =1+1-1 要点归纳 =1. ①不循环②-3m③盈利50元④亏损80元 命题点4 整式与因式分解 ⑤温度下降3七0或号 ⑦-a⑧0⑨00-1 要点归纳 ①相等2对称B-a大5a=-b01四±1 ①an ②a" ③a'b④a- 61 82910②④大4>2=3> ⑦am+an+im+bn⑧a2-b2⑨a2±2ab+ 随堂练习 随堂练习 1.(1)②39D213:(2)①56⑦8⑨2310：(3)3④ 1.32.3:-4 0115:(4)①23④6791①21B:(5)5801050. 3.(1)a°(2)6ab(3)-a3(4)8a6(5)2a(6)3xy 2.(1)-1,E:(2)B.F:(3)22-1:(4)-2或4 （7)2a-2ab(8)2d-ab-2(9)-6r+9(10)8 1 31-31, 4.a<-b<b<-a 4.(1)(1-45%)x:(2)a+1065.2变式2026 5.(1)7.05×10:(2)5.07×10:(3)3.3×10:(4)5.4× 6 2m-17.(5n+1) 10:(5)1.25×10’:(6)5×10 n2+1 命题点2二次根式及其运算 8.(1)y(x-2y):(2)(4a-1)2:(3)(3+x)(3-x) 9.解法1：原式=x2+2x+1-x2-x (含无理数的估值) =x+1, 要点归纳 当x=2024时.原式=2024+1=2025. ①相反数②0③0和1④a⑤-1.0.16≥⑦a 解法2：原式=(x+1)(x+1-x) ⑧√ab⑨√ab04①922B30C52.5 =x+1. 030 当x=2024时，原式=2024+1=2025. 随堂练习 命题点5分式及其运算 1.(1)x≥4：(2)x>1:(3)x≥1且x≠2 要点归纳 2.(1)3:(2)3:(3)-3:(4)5:(5)6:(6)2:(7)32+25: (8)1 ①B0②A=0且B≠0③B≠0，C≠0.D≠0④ c 8 ⑤4 ad a ⑦x-1⑧r+1⑨r-20肚b iat±hc bd 命题点3实数的运算 2(-2)(x-1)3(x+1)(x-1)0(x+2)(x-2)2 要点归纳 随堂练习 1.x≠5：x=1 ①ma ⑦b-a 2()0:(2)73)2:4 ⑨了 3 a+2:(5)J 2(6)-x 3 2 05 3解：原式=-3.-9-2+10-3.(-1) 随堂练习 x-1 x2-9-1(x+3)(x-3)x+31 1(0)1(2)12:(3)1:(4)1-2:(5)-2:(6) 4(7)-1: 由题意得x1,≠士3当x=2时，原式= 2+35 (8)2:(9)- 第二章方程（组）与不等式（组） 2 2(1)解：原式=433+3-1+4 命题点1一次方程（组）及其应用 2 要点归纳 =4-35+W3-1+25 ①2(x+2)=20-5(x-1)②2x+4=20-5x+5 =3: 32x+5x=20+5-4④7x=21⑤x=3⑥1 119