1.2 二次根式及其运算(含无理数的估值)-【一战成名新中考】2025河南中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

参考答案 第一章数与式 (2解：武=1分32x 2 命题点1实数的相关概念与大小比较 =1+1-1 要点归纳 =l. ①不循环②-3m③盈利50元④亏损80元 命题点4整式与因式分解 5强度下降3℃0号 ⑦-a80⑨00-1 要点归纳 ①相等2对称3-a大5a=-bG1±1 ①an ②an ③a"b④a 吸2910团大团>②=3> ⑦am+an+bm+bm⑧a2-b2⑨a'±2ab+b 随堂练习 随堂练习 1.(1)②39123：(2)①5678⑨21B10:(3)③④ 1.32.3:-4 015:(4)①2③④6⑦9MP8:(5)⑤8050. 3.(1)a(2)6a2b(3)-a23(4)8a5(5)2a(6)3x2y 2.(1)-1,E:(2)B,F:(3)22-1:(4)-2或4. （7)2a2-2ab(8)2a2-ab-8(9)x-6+9(10)8n6 3.1-31,-34a<-6<h<-a 4.(1)(1-45%)x:(2)a+1065.2变式2026 5.(1)7.05×10:(2)5.07×10":(3)3.3×10":(4)5.4× 6 2n-1 7.(5n+1) 103:(5)1.25x107:(6)5×10 n'+1 命题点2二次根式及其运算 8.(1)y(x-2y):(2)(4-1)2:(3)(3+x)(3-x) 9.解法1：原式=x2+2x+1-x2-x (含无理数的估值)】 =x+1, 要点归纳 当x=2024时，原式=2024+1=2025. ①相反数②0③0和1④a⑤-1.0,1⑥≥⑦a 解法2：原式=(x+1)(x+1-x)》 ⑧√ab⑨√a÷bD4922B3C52.5 =x+1, 1G307C 当x=2024时.原式=2024+1=2025 随堂练习 命题点5分式及其运算 1.(1)x≥4：(2)x>1:(3)x≥1且x≠2 要点归纳 2.(1)3:(2)3:(3)-3:(4)3:(5)6:(6)2:(7)32+23: (8)1 ①B≠0②A=0且B≠0③B≠0，C≠0，D≠0④d 8 ⑤4c ⑩l±6e ad a ⑦x-1⑧x+1⑨x-20地 bd 命题点3实数的运算 ②(x-2)(x-1)08(x+1)(x-1)g(x+2)(x-2)2 要点归纳 随堂练习 1 1.x≠5；x=1 ①na( ⑦b-a 3 2:(2)7(624 2(6)-x 2 03 0*2:(5)J 10/3 3 0 2 22 2 3解：原式=3.-9-2x+10x-3.(x-1) 随堂练习 x-1x2-9 Γx-1(x+3)(r-3)x+3' 1.(1)4(2)12:(3)1:(41-2:(5)-2:(6)4:(7)-: 由题意得x1≠3当x=2时，原式=2 2+35 (8)2:(9)-2 第二章方程（组）与不等式（组） 2(1)解：原式=4-33+3-1+4 命题点1一次方程（组）及其应用 2 要点归纳 =4-33+3-1+25 ①2(x+2)=20-5(x-1)②2x+4=20-5x+5 =3: 82x+5x=20+5-4④7x=21⑤x=3⑥1 119基础夯实练·河南数学 第 一 章 　 数 与 式 命题点 2　 二次根式及其运算(含无理数的估值) (必考) 要点归纳 要点 1 平方根、算术平方根、立方根的对比 名称 a(a>0) a(a= 0) a(a<0) 总结 平方根 ± a 0 无 正 数 有 两 个 平 方 根, 它 们 互 为 ①　 相反数　 ; 平方根等于本身的数是②　 0　 算术平方根 a 0 无 算 术 平 方 根 等 于 本 身 的 数 是 ③　 0 和 1　 立方根 3 a 0 ④　 3 a 　 任意一个实数只有一个立方根,且 与原数同号;立方根等于本身的数 是⑤　 -1、0、1　 注:①∵ (±10) 2 = 100,∴ 100 的平方根是±10. 附表:百以内的完全平方数及其平方根 完全平方数 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 平方根 0 ±1 ±2 ±3 ±4 ±5 ±6 ±7 ±8 ±9 ±10 ②∵ 43 = 64,∴ 64 的立方根是 4. 附表:千以内的完全立方数(含对应的负数)及其立方根【2022 年版课标变化】 完全立方数 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1 000 立方根 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 完全立方数 — -1 -8 -27 -64 -125 -216 -343 -512 -729 -1 000 立方根 — -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 要点 2 二次根式 二次根式 一般地,式子 a (a≥0)叫作二次根式,a 是被开方数 有意义的条件 被开方数 a⑥　 ≥　 0 最简二次根 式的条件 (1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 同类二次根式 化为最简二次根式后,被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根 式. 如: 12 (化简后为 2 3 )与 3 就是同类二次根式 5 基础夯实练·河南数学 第 一 章 　 数 与 式 性质 (1)双重非负性: a≥0(a≥0); (2)( a ) 2 = ⑦　 a　 (a≥0); (3) a2 = | a | = a(a≥0), -a(a<0),{ 注:只有当 a≥0 时, a 2 =( a ) 2; (4) ab = a· b (a≥0,b≥0); (5) a b = a b (a≥0,b>0) ü þ ý ï ïï ï ï 北师独有 运算 (1)乘法运算: a· b = ⑧　 ab 　 (a≥0,b≥0); (2)除法运算: a b = a b 或 a ÷ b = ⑨　 a÷b 　 (a≥0,b>0); (3)加、减运算本质:同类二次根式运算 步骤一:化简为最简二次根式;步骤二:合并同类二次根式. 切记: a + b≠ a+b (a>0,b>0); (4)混合运算:先乘除,再加减;有括号先算括号里的(或先去掉括号) 易错警示:二次根式运算的最终结果应化为最简􀪍􀪍二次根式 非负数 (1)常见非负数: | a | (a 是任意实数),a2n(a 是任意实数,n 为正整数), a (a≥0); (2)若 a2 + | b | + c = 0,则 a= 0,b= 0,c= 0 要点 3 无理数的估值 (1)关键点:m2 <a<n2(m>0,a>0,n>0)→m< a <n; (2)确定无理数在哪两个整数之间 例 1　 估计 7的值在 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 0 和 1 之间 B. 1 和 2 之间 C. 2 和 3 之间 D. 3 和 4 之间 解题步骤 备注 ①先对无理数平方 ( 7 ) 2 = 7 ②找出平方后与所得数字相邻 的两个开得尽方的整数比较 大小 ⑩　 4　 <7<􀃊􀁉􀁓　 9　 ③对两个整数开方即可 􀃊􀁉􀁔　 2　 < 7 <􀃊􀁉􀁕　 3　 ①熟记常见的平方数:1,4,9, 16,25,36,…; ②若无理数为 n a形式,需先转 化为 an2 再估值,不容易出错 【答案】􀃊􀁉􀁖　 C　 6 基础夯实练·河南数学 第 一 章 　 数 与 式 (3)确定无理数离哪个整数较近 例 2　 下列整数中,与 7最接近的是 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解题步骤 图示理解法 ①确定无理数在哪两个相邻整 数之间 2< 7 <3 ②求这两个整数的平均数 1 2 ×(2+3)= 􀃊􀁉􀁗　 2. 5　 ③若平均数的平方小于该无理 数的平方,则该无理数更接近 较大的那个整数 ∵ 2. 52 = 6. 25,6. 25<7, ∴ 7 离􀃊􀁉􀁘　 3　 更近 【答案】􀃊􀁉􀁙　 C　 注:常见无理数的近似值: 2 ≈1. 414, 3 ≈1. 732, 5 ≈2. 236,黄金分割比 5 -1 2 ≈0. 618. 随堂练习 1. [华师九上 P3 第 2 题改编]x 取何值时,下列式子有意义? (1) x-4 :　 x≥4　 ;　 　 (2) 2 -x x-1 :　 　 　 　 ;　 　 (3) x -1 2-x :　 　 　 　 . 2. 计算: (1)( 3 ) 2 = 　 　 　 　 ; (2) ( -3) 2 = 　 　 　 　 ; (3) - ( -3) 2 = 　 　 　 　 ; (4) 12 - 3 = 　 　 　 　 ; (5) 2 × 3 = 　 　 　 　 ; (6) 4 3 ÷ 1 3 = 　 　 　 　 ; (7)( 3 + 2 ) × 6 = 　 　 　 　 ;　 　 　 　 (8)( 3 - 2 ) ×( 3 + 2 )= 　 　 　 　 . 3. 若 | 2a-4 | +(3-b) 2 + 3c+7 = 0,则 a+b+c= 　 　 　 　 . ▶▶请完成《分层作业本》P3 习题 7