2.3 分式方程及其应用-【一战成名新中考】2025河南中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·河南数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 3　 分式方程及其应用(10 年 2 考) 　 考向 1　 分式方程及其解法(2017. 4) 1. [2024 解析与检测]分式方程 3 x-1 -1 = 0 的解为 (　 A　 ) A. x= 4　 　 B. x= 3　 　 C. x= 2　 　 D. x= 1 2. 用换元法解分式方程 x x-1 -2x-2 x = 1 时,如果设 x x-1 = y,那么原方程化为关于 y 的整式方程是 (　 D　 ) A. y2 -2y+1 = 0 B. y2 -2y-1 = 0 C. y2 +y-2 = 0 D. y2 -y-2 = 0 3. [2017 河南 4 题改编]下列选项分别是解方程 2x x-1 - x 1-x = 1 过程中去分母的结果,其中正确 的是 (　 C　 ) A. 2x-x= 1 B. x-2x= -1 C. 2x+x= x-1 D. 2x-x= x-1 拓展 3-1 方程两边同乘的最简公分母是　 　 　 　 . 拓展 3-2 去分母的依据是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 拓展 3-3 解该分式方程. 4. [人教八上 P151 例 2 改编] 分式方程 x x-1 - 1 = 3 (x-1)(x+2) 的解的情况是 (　 D　 ) A. 解为 x= 1 B. 解为 x= -2 C. 解为 x= -1 D. 无解 5. 易错 ∙∙ 　 解分式方程:2 -x x-3 + 1 3-x = 1. 解:方程两边同乘(x-3),得 2-x-1=x-3, -x-x=-3-2+1, -2x=-4, x=2, 经检验,x=2 是原分式方程的解. 6. 解方程:2- 2y y+1 = 3 y-1 . 解:去分母得 2(y+1)(y-1)-2y(y-1)= 3(y+1), 去括号得 2y2-2-2y2+2y=3y+3, 解得 y=-5, 经检验,y=-5 是原分式方程的解. 考向 2　 分式方程的实际应用(2022. 20) 7. [2024 甘肃临夏州]端午节期间,某商家推出“优 惠酬宾”活动,决定每袋粽子降价 2 元销售. 细 心的小夏发现,降价后用 240 元可以比降价前 多购买 10 袋,求:每袋粽子的原价是多少元? 设每袋粽子的原价是 x 元,所列方程正确的是 (　 C　 ) A. 240 x -240 x+2 = 10 B. 240 x -240 x-2 = 10 C. 240 x-2 -240 x = 10 D. 240 x+2 -240 x = 10 8. 甲、乙两位打字员承担一项打字任务,已知有 如下信息: 信息一:甲单独完成这项任务所需要的时间比 乙单独完成这项任务所需要的时间多 4 小时; 信息二:甲 5 小时完成这项任务的工作量与乙 4 小时完成这项任务的工作量相等. 根据以上信息可知,乙单独完成这项任务需要 (　 D　 ) A. 10 小时 B. 12 小时 C. 14 小时 D. 16 小时 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31 分层作业本·河南数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 9. 创新考法 课本习题:“某超市的一种瓶装饮料 每箱售价为 36 元,假期期间对该瓶装饮料进 行促销活动,买一箱送两瓶,这相当于每瓶按 原价的九折销售,求这家超市销售这种饮料的 原价每瓶是多少元及每箱多少瓶. ”以下为甲、 乙两位同学列出的方程: [甲] 解:设这种饮料每箱 x 瓶,则36 x × 0. 9 = 36 x+2 ; [乙]解:设这种饮料每瓶是 y 元,则 0. 9×(36+ 2y)= 36. 下列说法正确的是 (　 C　 ) A. 甲对、乙错 B. 甲错、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 10. [2023 广安]为了降低成本,某出租车公司实施 了“油改气”措施. 如图,y1、y2 分别表示燃油 汽车和燃气汽车所需费用 y(单位:元)与行 驶路程 s(单位:千米)的关系,已知燃油汽车 每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的 费用的 3 倍少 0. 1 元,设燃气汽车每千米所需 的费用为 x 元,则可列方程为 (　 D　 ) A. 25 x = 10 3x-0. 1 第 10 题图 B. 25 x = 10 3x+0. 1 C. 25 3x+0. 1 = 10 x D. 25 3x-0. 1 = 10 x 11. [2022 河南 20(1)题改编]某中学为了让学生体 验农耕劳动,需要采购一批菜苗开展种植活 动. 用 300 元购进了一批菜苗(单位:捆)后, 发现不够,又用 300 元购进了第二批这种菜 苗,第二批每捆的价格比第一批贵了 20%,所 购数量比第一批少了 2 捆,求第一批菜苗每 捆的价格. 解:设第一批菜苗每捆的价格为 x 元,根据题意可得 300 x - 300 (1+20%)x =2, 解得 x =25, 经检验,x=25 是原分式方程的解,且符合题意. 答:第一批菜苗每捆的价格为 25 元. 　 12. 若关于 x 的方程x +m x-2 - 3 = x -1 2-x 的解为 3,则 m 􀪍􀪍􀪍 的值是　 -2　 . 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 变式 画线处改为 “ 非负数, 则 m 的取值范围 是　 m≥-5 且 m≠-3　 . ” 13. 名师原创 某中学组织同学去距离学校 15 千 米的郊区进行实践活动,一部分同学骑自行 车前往,另一部分同学乘汽车沿相同路线前 往,骑自行车的同学先出发 40 分钟,结果骑 自行车的同学与乘汽车的同学同时到达目的 地. 已知汽车的速度是自行车速度的 3 倍. (1)若设乘汽车的同学到达目的地所用的时 间是 x 分钟,则可列方程为　 　 　 　 ; (2) 请你根据题意,列出一个方程(不同于 (1)中的方程),并求汽车的平均速度. 解:(2)设自行车的平均速度是 y 千米 /时,则汽车 的平均速度是 3y 千米 /时, 根据题意得 15 y =15 3y +40 60 , 解得 y=15, 经检验,y=15 是原分式方程的解,且符合题意, ∴3y=45. 答:汽车的平均速度是 45 千米 /时. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41 参考答案与重难题解析·河南数学　 分 层 作 业 本 ∴ 租用 14 辆 45 座客车更合算. 命题点 2　 一元二次方程及其应用 1. B　 2. B　 3. C 4. B　 【解析】解法 1:根据题意,得(2+ 3)2 -4×(2+ 3)+m= 0, 解得 m= 1;解法 2:对方程变形得 x(x-4) +m= 0,将 x = 2+ 3代入,得( 3 +2)( 3 -2) +m= 0,即 m-1 = 0,解得 m= 1; 解法 3:方程可变形为( x-2) 2 = 4-m,将 x = 2+ 3 代入,得 3 = 4-m,解得 m= 1. 5. x1 = 4,x2 = 5 6.解:(1)∵ 3(x-1) 2 -12 = 0, ∴ 3(x-1) 2 = 12, ∴ (x-1) 2 = 4, ∴ x-1 = ±2, 解得 x1 = -1,x2 = 3; (2)∵ a= 2,b= -4,c= -7, ∴ Δ= b2 -4ac= ( -4) 2 -4×2×( -7)= 72>0, ∴ x= -b± b2 -4ac 2a = 4±6 2 4 = 2±3 2 2 , 解得 x1 = 2+3 2 2 ,x2 = 2-3 2 2 . 7. B　 8. A　 9. A　 10. B　 11. C 12. 1 2 　 【解析】∵ 关于 x 的方程 1 2 x2 -x+c= 0 有两个相等的 实数根,∴ Δ= ( -1) 2 -4× 1 2 ×c= 0,解得 c= 1 2 . 变式 12-1 -1(答案不唯一)　 变式 12-2 0 变式 12-3 2　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程( k- 1) x2 + 2kx+k= 0 有两个不相等的实数根,∴ Δ>0,即(2k) 2 -4( k -1)k>0,解得 k>0,又∵ 方程( k-1) x2 +2kx+k = 0 是一元 二次方程,∴ k-1≠0,即 k≠1,∴ k 的取值范围为 k>0 且 k≠1,∴ k 的最小整数值为 2. 13. 1 2 　 【解析】∵ 方程 x2 +x-2 = 0 的两根分别为 x1 ,x2 ,∴ x1 +x2 = -1,x1x2 = -2,∴ 1 x1 + 1 x2 = x1 +x2 x1x2 = -1 -2 = 1 2 . 14.解:(1)x2 -2x= 0, 因式分解得 x(x-2)= 0, 解得 x1 = 0,x2 = 2; (2)设这个常数项为 c,依题意得 Δ= ( -2) 2 -4c≥0,解得 c≤1, ∴ 被污染的常数项的最大值为 1. 15. B　 16. C 17. C　 【解析】设该矩形田地的长为 x 步,则该矩形田地的 宽为(60-x)步,由题意得 x(60-x) = 800,解得 x = 40 或 x= 20(舍去),∴ 60-x= 20(步),则该矩形田地的长为 40 步,宽为 20 步,∴ 它的长比宽多 40-20 = 20(步) . 18. C 19. B　 【解析】设原来的方程为 ax2 +bx+c= 0(a≠0),由题意 知- b a = 6+1 = 7, c a = -2×( -5)= 10,∴ b= -7a,c= 10a,∴ 原来的方程为 ax2 -7ax+10a= 0,则 x2 -7x+10 = 0. 20.解:(1)2x,(50-x); (2)根据题意得(50-x)(30+2x)= 2 000, 解得 x1 = 10,x2 = 25. ∵ 商场要尽快减少库存,∴ x= 25. 答:每个高压锅降价 25 元时, 商场日盈利可达到 2 000 元. 命题点 3　 分式方程及其应用 1. A　 2. D　 3. C　 拓展 3-1 (x-1) 拓展 3-2 　 等式的性质 2(或等式两边乘同一个数,或除以 同一个不为 0 的数,结果仍相等) 拓展 3-3 解:去分母,得 2x+x= x-1, 解得 x= - 1 2 , 经检验,x= - 1 2 是原方程的解. 4. D 5.解:方程两边同乘(x-3),得 2-x-1 = x-3, -x-x= -3-2+1, -2x= -4, x= 2, 经检验,x= 2 是原分式方程的解. 6.解:去分母得 2(y+1)(y-1) -2y(y-1)= 3(y+1), 去括号得 2y2 -2-2y2 +2y= 3y+3, 解得 y= -5, 经检验,y= -5 是原分式方程的解. 7. C 8. D　 【解析】设乙单独完成这项任务需要 x 小时,则甲单独 完成这项任务需要( x+ 4) 小时,由题意得 5 x+4 = 4 x ,解得 x= 16. 经检验,x= 16 是原方程的解,∴ 乙单独完成这项任 务需要 16 小时. 9. C　 【解析】设这种饮料每瓶是 y 元,则假期期间促销每瓶 是 0. 9y 元,依题意得 36 0. 9y - 36 y = 2 或 0. 9(36+2y) = 36;设 这种饮料每箱 x 瓶,依题意得 36 x ×0. 9 = 36 x+2 . 10. D 11.解:设第一批菜苗每捆的价格为 x 元,根据题意可得 300 x - 300 (1+20%)x = 2, 解得 x= 25, 经检验,x= 25 是原分式方程的解且符合题意. 答:第一批菜苗每捆的价格为 25 元. 12. -2 变式 m≥-5 且 m≠-3　 【解析】∵ x+m x-2 -3 = x-1 2-x ,去分母得 x+m-3(x-2)= 1-x,去括号、移项得 x-3x+x = 1-m-6,合 并同类项得-x= -5-m,系数化为 1 得 x = 5+m,∵ x-2≠ 0,∴ x≠2,即 5+m≠2,∴ m≠-3,∵ 方程的解为非负数, ∴ x= 5+m≥0,∴ m≥-5,∴ m≥-5 且 m≠-3. 13.解:(1) 15 x = 3× 15 x+40 ; (2)设自行车的平均速度是 y 千米 /时,则汽车的平均速 度是 3y 千米 /时, 根据题意得 15 y = 15 3y + 40 60 , 解得 y= 15, 经检验,y= 15 是原分式方程的解,且符合题意, ∴ 3y= 45. 答:汽车的平均速度是 45 千米 /时. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3