2.2 一元二次方程及其应用-【一战成名新中考】2025河南中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·河南数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 2　 一元二次方程及其应用(必考,每年考查一道) 　 考向 1　 解一元二次方程 1. [2024 河南模拟]用配方法解方程 x2 -2x-3 = 0, 配方后正确的是 (　 B　 ) A. (x-2) 2 = -2　 　 　 　 B. (x-1) 2 = 4 C. (x-1) 2 = -2 D. (x+2) 2 = 4 2. [2024 贵州]一元二次方程 x2 -2x= 0 的解是 (　 B　 ) A. x1 = 3,x2 = 1 B. x1 = 2,x2 = 0 C. x1 = 3,x2 = -2 D. x1 = -2,x2 = -1 3. 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 的 根 为 x = -2± 22 -4×1×( -4) 2×1 ,则这个方程是 (　 C　 ) A. x2 +2x+4 = 0 B. x2 -2x+4 = 0 C. x2 +2x-4 = 0 D. x2 -2x-4 = 0 4. 多解法 ∙∙∙ 　 [北师九上 P57 第 13 题改编]已知 2+ 3 是关于 x 的一元二次方程 x2 -4x+m= 0 的一个 根,则实数 m 的值是 (　 B　 ) A. 0　 　 　 B. 1　 　 　 C. -3　 　 　 D. -1 5. 易错 ∙∙ 　 方程(x-4)2 =x-4 的解是　 x1 =4,x2 =5　 . 6. [2024 安阳模拟]解下列方程: (1)易错 ∙∙ 　 3(x-1) 2 -12 = 0; 解:∵3 x-1( ) 2-12=0, ∴3 x-1( ) 2 =12, ∴ x-1=±2, 解得 x1 =-1,x2 =3; (2)2x2 -4x-7 = 0. ∴Δ=b2-4ac= -4( ) 2-4×2× -7( ) =72>0, ∴ x= -b± b2-4ac 2a =4±6 2 4 = 2±3 2 2 , 解得 x1 = 2+3 2 2 ,x2 = 2-3 2 2 . 考向 2　 一元二次方程根的判别式、根与系数 的关系(每年选择题或填空题考一道根的判别式) 7. [2022 河南 6 题改编]一元二次方程 x2 +x+ 1 = 0 的根的情况是 (　 B　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 8. [2023 河南 7 题 3 分]关于 x 的一元二次方程 x2 + mx-8 = 0 的根的情况是 (　 A　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 9. [2024 濮阳模拟]与一元二次方程 x2 - 2x- 3 = 0 解的情况一致的方程是 (　 A　 ) A. x2 -2x= 0 B. x2 +2x+3 = 0 C. x2 -2x+1 = 0 D. x2 = 0 10. 若 a<0,则关于 x 的一元二次方程 ax2 +2ax+ a= 0 的根的情况是 (　 B　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 11. 新定义 定义新运算“a※b”:对于任意实数 a, b,都有 a※b = a2 -ab+1,例如 4※3 = 42 -4×3+ 1= 5,则方程 x※2= 3 的根的情况为 (　 C　 ) A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 12. [2024 河南 13 题 3 分]若关于 x 的方程 1 2 x2 -x+c= 0 有两个相等的实数根,则 c 的值为　 　 　 　 . 变式 12-1 开放性试题 若关于 x 的方程 1 2 x2 -x+c= 0 有实数根,则 c 的值可以为　 　 　 　 (写出 一个即可) . 变式 12-2 若关于 x 的方程 1 2 x2 -x+c= 0 的一个根 为 2,则另一个根为　 　 　 　 . 变式 12-3 易错 ∙∙ 　 [2024 新乡模拟]若关于 x 的一元 二次方程(k-1) x2 +2kx+k = 0 有两个不相等 的实数根,则 k 的最小整数值为　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11 分层作业本·河南数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 13. [2024 眉山]已知方程 x2 +x-2 = 0 的两根分别 为 x1,x2,则 1 x1 + 1 x2 的值为　 　 　 　 . 14. 小明在解一元二次方程 x2 -2x+■ = 0 时,发现 常数项被污染. (1)小明猜这个常数项为 0,请按照小明的猜 想解一元二次方程; (2)老师告诉小明这个方程有实数根,求被污 染的常数项的最大值. 解:(1)x2-2x=0, 因式分解得 x(x-2)= 0, 解得 x1 =0,x2 =2; (2)设这个常数项为 c,依题意得 Δ=(-2) 2-4c≥0, 解得 c≤1, ∴被污染的常数项的最大值为 1. 考向 3　 一元二次方程的实际应用 15. [2024 云南]两年前生产 1 千克甲种药品的成 本为 80 元,随着生产技术的进步,现在生产 1 千克甲种药品的成本为 60 元. 设甲种药品 成本的年平均下降率为 x,根据题意,下列方 程正确的是 (　 B　 ) A. 80(1-x2)= 60 B. 80(1-x) 2 = 60 C. 80(1-x)= 60 D. 80(1-2x)= 60 16. [2020 河南 8 题 3 分]国家统计局统计数据显示, 我国快递业务收入逐年增加. 2017 年至 2019 年 我国快递业务收入由 5 000 亿元增加到 7 500 亿 元.设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年 平均增长率为 x,则可列方程为 (　 C　 ) A. 5 000(1+2x)= 7 500 B. 5 000×2(1+x)= 7 500 C. 5 000(1+x) 2 = 7 500 D. 5 000+5 000(1+x) +5 000(1+x) 2 = 7 500 17. 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉 的著作,其中有一个数学问题:“直田积八百 步,一只云长阔共六十步,问长多阔几何?”意 思是:一块矩形田地的面积为 800 平方步,只 知道它的长与宽共 60 步,问它的长比宽多 (　 C　 ) A. 15 步　 　 B. 12 步　 　 C. 20 步　 　 D. 6 步 　 18. 学科融合 为了测一个矿井的深度,将一块石 头从井口丢下去,6. 5 秒后听到它落地的声 音,已知音速为 330 米 /秒,石头从井口落下 的距离 s 与时间 t 的关系式为 s = 1 2 gt2(g 为 10 米 / 秒2) . 若设石头从井口落到井底用了 x 秒,则可列方程为 (　 C　 ) A. 330x= 5x2 B. 330(6. 5+x)= 5x2 C. 330(6. 5-x)= 5x2 D. 330×6. 5 = 5x2 19. [2024 绥化]小影与小冬一起写作业,在解一道 一元二次方程时,小影在化简过程中写错了 常数项,因而得到方程的两个根是 6 和 1;小 冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而 得到方程的两个根是-2 和-5,则原来的方程 是 (　 B　 ) A. x2 +6x+5 = 0 B. x2 -7x+10 = 0 C. x2 -5x+2 = 0 D. x2 -6x-10 = 0 20. 河南某商场平均每天可销售 30 个高压锅,每 个高压锅盈利 50 元. 为了尽快减少库存,商 场决定采取适当的降价措施,经调查发现,每 个高压锅每降价 1 元,商场平均每天可多售 出 2 个. (1)设每个高压锅降价 x 元,则商场日销售量 增加　 2x　 个,每个高压锅盈利　 (50-x) 　 元(用含 x 的代数式表示); (2)在上述销售情况下,每个高压锅降价多少 元时,商场日盈利可达到 2 000 元. 解:(1)2x,(50-x); (2)根据题意得(50-x)(30+2x)= 2 000, 解得 x1 =10,x2 =25. ∵商场要尽快减少库存,∴ x=25. 答:每个高压锅降价 25 元时,商场日盈利可达到 2 000 元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 参考答案与重难题解析·河南数学　 分 层 作 业 本 ∴ 租用 14 辆 45 座客车更合算. 命题点 2　 一元二次方程及其应用 1. B　 2. B　 3. C 4. B　 【解析】解法 1:根据题意,得(2+ 3)2 -4×(2+ 3)+m= 0, 解得 m= 1;解法 2:对方程变形得 x(x-4) +m= 0,将 x = 2+ 3代入,得( 3 +2)( 3 -2) +m= 0,即 m-1 = 0,解得 m= 1; 解法 3:方程可变形为( x-2) 2 = 4-m,将 x = 2+ 3 代入,得 3 = 4-m,解得 m= 1. 5. x1 = 4,x2 = 5 6.解:(1)∵ 3(x-1) 2 -12 = 0, ∴ 3(x-1) 2 = 12, ∴ (x-1) 2 = 4, ∴ x-1 = ±2, 解得 x1 = -1,x2 = 3; (2)∵ a= 2,b= -4,c= -7, ∴ Δ= b2 -4ac= ( -4) 2 -4×2×( -7)= 72>0, ∴ x= -b± b2 -4ac 2a = 4±6 2 4 = 2±3 2 2 , 解得 x1 = 2+3 2 2 ,x2 = 2-3 2 2 . 7. B　 8. A　 9. A　 10. B　 11. C 12. 1 2 　 【解析】∵ 关于 x 的方程 1 2 x2 -x+c= 0 有两个相等的 实数根,∴ Δ= ( -1) 2 -4× 1 2 ×c= 0,解得 c= 1 2 . 变式 12-1 -1(答案不唯一)　 变式 12-2 0 变式 12-3 2　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程( k- 1) x2 + 2kx+k= 0 有两个不相等的实数根,∴ Δ>0,即(2k) 2 -4( k -1)k>0,解得 k>0,又∵ 方程( k-1) x2 +2kx+k = 0 是一元 二次方程,∴ k-1≠0,即 k≠1,∴ k 的取值范围为 k>0 且 k≠1,∴ k 的最小整数值为 2. 13. 1 2 　 【解析】∵ 方程 x2 +x-2 = 0 的两根分别为 x1 ,x2 ,∴ x1 +x2 = -1,x1x2 = -2,∴ 1 x1 + 1 x2 = x1 +x2 x1x2 = -1 -2 = 1 2 . 14.解:(1)x2 -2x= 0, 因式分解得 x(x-2)= 0, 解得 x1 = 0,x2 = 2; (2)设这个常数项为 c,依题意得 Δ= ( -2) 2 -4c≥0,解得 c≤1, ∴ 被污染的常数项的最大值为 1. 15. B　 16. C 17. C　 【解析】设该矩形田地的长为 x 步,则该矩形田地的 宽为(60-x)步,由题意得 x(60-x) = 800,解得 x = 40 或 x= 20(舍去),∴ 60-x= 20(步),则该矩形田地的长为 40 步,宽为 20 步,∴ 它的长比宽多 40-20 = 20(步) . 18. C 19. B　 【解析】设原来的方程为 ax2 +bx+c= 0(a≠0),由题意 知- b a = 6+1 = 7, c a = -2×( -5)= 10,∴ b= -7a,c= 10a,∴ 原来的方程为 ax2 -7ax+10a= 0,则 x2 -7x+10 = 0. 20.解:(1)2x,(50-x); (2)根据题意得(50-x)(30+2x)= 2 000, 解得 x1 = 10,x2 = 25. ∵ 商场要尽快减少库存,∴ x= 25. 答:每个高压锅降价 25 元时, 商场日盈利可达到 2 000 元. 命题点 3　 分式方程及其应用 1. A　 2. D　 3. C　 拓展 3-1 (x-1) 拓展 3-2 　 等式的性质 2(或等式两边乘同一个数,或除以 同一个不为 0 的数,结果仍相等) 拓展 3-3 解:去分母,得 2x+x= x-1, 解得 x= - 1 2 , 经检验,x= - 1 2 是原方程的解. 4. D 5.解:方程两边同乘(x-3),得 2-x-1 = x-3, -x-x= -3-2+1, -2x= -4, x= 2, 经检验,x= 2 是原分式方程的解. 6.解:去分母得 2(y+1)(y-1) -2y(y-1)= 3(y+1), 去括号得 2y2 -2-2y2 +2y= 3y+3, 解得 y= -5, 经检验,y= -5 是原分式方程的解. 7. C 8. D　 【解析】设乙单独完成这项任务需要 x 小时,则甲单独 完成这项任务需要( x+ 4) 小时,由题意得 5 x+4 = 4 x ,解得 x= 16. 经检验,x= 16 是原方程的解,∴ 乙单独完成这项任 务需要 16 小时. 9. C　 【解析】设这种饮料每瓶是 y 元,则假期期间促销每瓶 是 0. 9y 元,依题意得 36 0. 9y - 36 y = 2 或 0. 9(36+2y) = 36;设 这种饮料每箱 x 瓶,依题意得 36 x ×0. 9 = 36 x+2 . 10. D 11.解:设第一批菜苗每捆的价格为 x 元,根据题意可得 300 x - 300 (1+20%)x = 2, 解得 x= 25, 经检验,x= 25 是原分式方程的解且符合题意. 答:第一批菜苗每捆的价格为 25 元. 12. -2 变式 m≥-5 且 m≠-3　 【解析】∵ x+m x-2 -3 = x-1 2-x ,去分母得 x+m-3(x-2)= 1-x,去括号、移项得 x-3x+x = 1-m-6,合 并同类项得-x= -5-m,系数化为 1 得 x = 5+m,∵ x-2≠ 0,∴ x≠2,即 5+m≠2,∴ m≠-3,∵ 方程的解为非负数, ∴ x= 5+m≥0,∴ m≥-5,∴ m≥-5 且 m≠-3. 13.解:(1) 15 x = 3× 15 x+40 ; (2)设自行车的平均速度是 y 千米 /时,则汽车的平均速 度是 3y 千米 /时, 根据题意得 15 y = 15 3y + 40 60 , 解得 y= 15, 经检验,y= 15 是原分式方程的解,且符合题意, ∴ 3y= 45. 答:汽车的平均速度是 45 千米 /时. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3