2.1 一次方程(组)及其应用-【一战成名新中考】2025河南中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·河南数学 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第二章　 方程(组)与不等式(组) (每年 2 ~ 4 道,6 ~ 20 分) 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 1　 一次方程(组)及其应用 (10 年 8 考,多在实际应用中考查) 　 考向 1　 一次方程(组)及其解法(2023. 12) 1. 方程 1 3 x+3 = 0 的解是 (　 C　 ) A. x= 9　 　 B. x= 1 9 　 　 C. x= -9　 　 D. x= - 1 9 变式 小华想找一个解是 2 的方程,那么他会选择 (　 D　 ) A. 3x+6 = 0 B. 2x= 2 C. 5-3x= 1 D. 3(x-1)= x+1 2. [华师七下 P7 练习第 1 题改编]在下列方程的变 形中,正确的是 (　 B　 ) A. 由 2x= -3 得 x= - 2 3 B. 由 4x-3 = 3x 得 4x-3x= 3 C. 由-5(1-x)= 4 得-5-5x= 4 D. 由 x 3 = 1-x -1 5 得,5x= 1-3(x-1) 3. 若方程组 x +y= 2, …{ 是二元一次方程组,则“ …” 可以是 (　 A　 ) A. 4x= y B. xy= 1 C. 1 x + 1 y = 2 D. x2 -1 = 0 4. 用加减消元法解方程组 5x -2y= 1①, x+2y= -19②,{ 下列做 法正确的是 (　 A　 ) A. ①+② B. ①-② C. ①+②×5 D. ①×5-② 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 数学思想———转化 拓展 4-1 上述方程组中的方程从“二元”变 为“一元”,体现了 　 转化 　 的数学思 想. (填“转化”或“数形结合”) 拓展 4-2 求解该方程组. 解:①+②得 6x=-18,解得 x=-3, 将 x=-3 代入①中,解得 y=-8, ∴原方程组的解为 x =-3, y=-8.{ 5. 方程组 x= 3y, 1 3 x+y= -2 ì î í ï ï ï ï 的解为　 　 　 　 . 6. [ 2023 河南 12 题 3 分] 方程组 3x+y= 5, x+3y= 7{ 的解 为　 　 　 　 . 7. 易错 ∙∙ 　 [2024 解析与检测]解方程: x-1 2 - 2x+1 3 =5. 解:方程两边同乘 6,得 3(x-1)-2(2x+1)= 30. 去括号,得 3x-3-4x-2=30. 移项、合并同类项,得-x=35. 系数化为 1,得 x=-35. 考向 2　 一次方程(组)的实际应用 ◆购买、分配、打折、销售类 8. [2024 福建]今年我国国民经济开局良好,市场 销售稳定增长,社会消费增长较快,第一季度 社会消费品零售总额 120 327 亿元,比去年第 一季度增长 4. 7%,求去年第一季度社会消费 品零售总额. 若将去年第一季度社会消费品零 售总额设为 x 亿元,则可列方程 　 . 9. [2019 河南 20(1)题改编]学校计划为“我和我的 祖国”演讲比赛购买奖品. 已知购买 3 个 A 奖 品和 2 个 B 奖品共需 120 元;购买 3 个 A 奖品 和 6 个 B 奖品所需钱数相同. 求 A,B 两种奖品 的单价. 解:设 A 奖品的单价为 x 元,B 奖品的单价为 y 元,根 据题意得 3x+2y=120, 3x=6y,{ 解得 x=30, y=15,{ 答:A 奖品的单价为 30 元,B 奖品的单价为 15 元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9 分层作业本·河南数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 拓展 若要将 150 元全部用于购买 A,B 两种奖品 (两种都要买且钱全部用完),共有　 　 　 　 种购买方案. 变式 9-1 学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛 购买奖品. 已知购买一个 A 奖品和 3 个 B 奖 品共需 105 元,一个 A 奖品的单价比一个 B 奖品的单价多 5 元,求 A,B 两种奖品的单价. 变式 9-2 学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛 购买 A 奖品. 某店该奖品每件标价相同,已知 每件标价 8 折销售 10 个的销售额,与每件标 价降低 10 元销售 12 个的销售额相等,求 A 奖品的单价. ◆工程、行程类 10. [2024 贵州]在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》 中,记载了一道题,大意是:快马每天行 240 里,慢马每天行 150 里,慢马先行 12 天,则快 马追上慢马需要的天数是　 20　 . 11. [2024 陕西改编]星期天,妈妈做饭,小峰和爸 爸进行一次家庭卫生大扫除. 根据这次大扫 除的任务量,若小峰单独完成,需 4 h;若爸爸 单独完成,需 2 h. 当天,小峰先单独打扫了一 段时间后,去参加篮球训练,接着由爸爸单独 完成剩余的打扫任务,小峰和爸爸这次一共 打扫了 3 h,则这次小峰打扫了　 2　 h. ◆其他类 12. 学科融合 [2024 贵州]小红学习了等式的性质 后,在甲、乙两台天平的左右两边分别放入 “ ”“ ”“ ”三种物体,如图所示,天平都保 持平衡. 若设“ ”与“ ”的质量分别为 x,y, 则下列关系式正确的是 (　 C　 ) 第 12 题图 A. x= y 　 B. x= 2y 　 C. x= 4y 　 D. x= 5y 　 13. 小亮同学在解关于 x 的一元一次方程 7a+x = 18 时,误将+x 看作-x,得方程的解为 x = -4, 那么 a= 　 2　 ,原方程的解为　 x=4　 . 14. 新定义 定义新运算:(a,b) ·( c,d) = ac+bd, 其中 a,b,c,d 为实数. 例如:(1,2) ·(3,4)= 1×3+2×4 = 11. 如果(2x,3) ·(3,-1) = 3,那 么 x= 　 1　 . 15. 为拓宽学生视野,某中学组织八年级师生开 展研学活动,若租用 45 座客车若干辆,则有 15 人没有座位;若租用同样数量的 60 座客 车,则多出三辆车,且其余客车恰好坐满. 设参加此次研学活动的师生人数是 x,租用 45 座客车 y 辆. 根据上述信息,解答下列问题: (1)小明根据题意列出方程组 45y+15=x, 60(y-3)= x,{ 小 亮根据题意列出方程 45y+ 15 = 60( y- 3),则 关于两人的说法正确的是 　 两人都正确 　 ; (填“小亮”或“小明”或“两人都正确”) (2)已知 45 座,60 座客车的租金分别为 200 元 /辆和 300 元 /辆,若租用其中一种客车,要 使每位师生都有座位,应该怎样租用更合算? 解:(2)解方程组 45y+15=x, 60(y-3)= x,{ 得 x=600, y=13,{ ∴租 45 座客车:600÷45≈14(辆),租金为 200×14 = 2 800(元), 租 60 座客车:600÷60 = 10(辆),租金为 300×10 = 3 000(元), ∵2 800<3 000, ∴租用 14 辆 45 座客车更合算. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 01 参考答案与重难题解析·河南数学　 分 层 作 业 本 拓展 7-2 分式的基本性质 8. 2x 3b 　 9. 1 a+1 10.解:原式= 2x (x+2y)(x-2y) - x +2y (x+2y)(x-2y) = 2x -x-2y (x+2y)(x-2y) = x -2y (x+2y)(x-2y) = 1 x+2y . 11.解:原式= 4 (a+1)(a-1) · a+1 2 + 1 a-1 = 2 a-1 + 1 a-1 = 3 a-1 . 12.解:原式= 3+a-2 a-2 ÷ a +1 (a-2)(a+2) = a +1 a-2 · (a+2)(a-2) a+1 =a+2. 拓展 12-1 -2 拓展 12-2 解:解不等式组 -a≤1, 2a-1<4,{ 得- 1≤a< 5 2 ,∴ 整数 解有-1,0,1,2. ∵ a-2≠0,a+1≠0,a2 -4≠0,∴ a≠±2 且 a≠-1,∴ 当 a= 0 时,原式= 2. 13.解:原式= a-b a ÷a 2 -2ab+b2 a = a -b a · a (a-b) 2 = 1 a-b . 14.解:原式= [ a (a+b)(a-b) - a -b (a+b)(a-b) ] ÷ b a-b = a -(a-b) (a+b)(a-b) · a-b b = b (a+b)(a-b) · a-b b = 1 a+b . 当 a= 2 -1,b= 2 +1 时,原式= 1 2 -1+ 2 +1 = 2 4 . 15.解:(1)②,③; (2)选择乙同学的解法. (选择甲同学的解法略) 原式= x x+1 · x2 -1 x + x x-1 · x2 -1 x = x x+1 · (x+1)(x-1) x + x x-1 · (x+1)(x-1) x = x-1+x+1 = 2x. 16. R·R2 R2 -R 17.解:(1)设被手遮住部分的代数式为 M, 则 M = - a-2 a+2 · a2 +4a+4 a+1 +a-1 = -(a -2)(a+2) a+1 +a-1 = -a2 +4+a2 -1 a+1 = 3 a+1 ; (2)不能. 理由如下:令- a-2 a+2 = 3,解得 a= -1, ∵ a+1 = 0,∴ 此时原分式无意义, ∴ - a-2 a+2 的值不能等于 3. 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)及其应用 1. C　 变式 D　 2. B　 3. A　 4. A　 拓展 4-1 转化 拓展 4-2 解:①+②得 6x= -18,解得 x= -3, 将 x= -3 代入①中,解得 y= -8, ∴ 原方程组的解为 x= -3, y= -8.{ 5. x= -3, y= -1{ 　 6. x= 1, y= 2{ 7.解:方程两边同乘 6,得 3(x-1) -2(2x+1)= 30. 去括号,得 3x-3-4x-2 = 30. 移项、合并同类项,得-x= 35. 系数化为 1,得 x= -35. 8. (1+4. 7%)x= 120 327 9.解:设 A 奖品的单价为 x 元,B 奖品的单价为 y 元,根据题 意得 3x+2y= 120, 3x= 6y,{ 解得 x= 30, y= 15,{ 答:A 奖品的单价为 30 元,B 奖品的单价为 15 元. 拓展 4　 【解法提示】设购买 A 奖品 x 个,B 奖品 y 个,根据 题意得 30x+15y = 150,即 y = 10-2x,∵ x,y 均为正整数, ∴ 当 x= 1 时,y= 8;当 x= 2 时,y= 6;当 x= 3 时,y = 4;当 x = 4 时,y= 2. 答:共有 4 种不同的方案. 变式 9-1 解:设 B 奖品的单价为 x 元,则 A 奖品的单价为 (x+5)元. 根据题意得 x+5+3x= 105, 解得 x= 25,∴ x+5 = 30. 答:A 奖品的单价为 30 元,B 奖品的单价为 25 元. 变式 9-2 解:设 A 奖品的单价为 x 元. 根据题意得 0. 8x×10 = 12(x-10), 解得 x= 30. 答:A 奖品的单价为 30 元. 10. 20 11. 2　 【解析】设这次小峰打扫了 x h,则爸爸打扫了(3-x) h,根据题意得 x 4 +3 -x 2 = 1,解得 x = 2,∴ 这次小峰打扫了 2 h. 12. C 13. 2,x= 4　 【解析】把 x = -4 代入方程 7a-x = 18 得 7a+4 = 18,解得 a= 2,即原方程为 14+x= 18,解得 x= 4. 14. 1　 【解析】(2x,3)·(3,-1)= 6x-3 = 3,解得 x= 1. 15.解:(1)两人都正确; (2)解方程组 45y+15 = x, 60(y-3)= x,{ 得 x= 600, y= 13,{ ∴ 租 45 座客车:600÷ 45≈14(辆),∴ 租金为 200× 14 = 2 800(元), ∴ 租 60 座客车:600÷60 = 10(辆),∴ 租金为 300× 10 = 3 000(元), ∵ 2 800<3 000, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2 参考答案与重难题解析·河南数学　 分 层 作 业 本 ∴ 租用 14 辆 45 座客车更合算. 命题点 2　 一元二次方程及其应用 1. B　 2. B　 3. C 4. B　 【解析】解法 1:根据题意,得(2+ 3)2 -4×(2+ 3)+m= 0, 解得 m= 1;解法 2:对方程变形得 x(x-4) +m= 0,将 x = 2+ 3代入,得( 3 +2)( 3 -2) +m= 0,即 m-1 = 0,解得 m= 1; 解法 3:方程可变形为( x-2) 2 = 4-m,将 x = 2+ 3 代入,得 3 = 4-m,解得 m= 1. 5. x1 = 4,x2 = 5 6.解:(1)∵ 3(x-1) 2 -12 = 0, ∴ 3(x-1) 2 = 12, ∴ (x-1) 2 = 4, ∴ x-1 = ±2, 解得 x1 = -1,x2 = 3; (2)∵ a= 2,b= -4,c= -7, ∴ Δ= b2 -4ac= ( -4) 2 -4×2×( -7)= 72>0, ∴ x= -b± b2 -4ac 2a = 4±6 2 4 = 2±3 2 2 , 解得 x1 = 2+3 2 2 ,x2 = 2-3 2 2 . 7. B　 8. A　 9. A　 10. B　 11. C 12. 1 2 　 【解析】∵ 关于 x 的方程 1 2 x2 -x+c= 0 有两个相等的 实数根,∴ Δ= ( -1) 2 -4× 1 2 ×c= 0,解得 c= 1 2 . 变式 12-1 -1(答案不唯一)　 变式 12-2 0 变式 12-3 2　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程( k- 1) x2 + 2kx+k= 0 有两个不相等的实数根,∴ Δ>0,即(2k) 2 -4( k -1)k>0,解得 k>0,又∵ 方程( k-1) x2 +2kx+k = 0 是一元 二次方程,∴ k-1≠0,即 k≠1,∴ k 的取值范围为 k>0 且 k≠1,∴ k 的最小整数值为 2. 13. 1 2 　 【解析】∵ 方程 x2 +x-2 = 0 的两根分别为 x1 ,x2 ,∴ x1 +x2 = -1,x1x2 = -2,∴ 1 x1 + 1 x2 = x1 +x2 x1x2 = -1 -2 = 1 2 . 14.解:(1)x2 -2x= 0, 因式分解得 x(x-2)= 0, 解得 x1 = 0,x2 = 2; (2)设这个常数项为 c,依题意得 Δ= ( -2) 2 -4c≥0,解得 c≤1, ∴ 被污染的常数项的最大值为 1. 15. B　 16. C 17. C　 【解析】设该矩形田地的长为 x 步,则该矩形田地的 宽为(60-x)步,由题意得 x(60-x) = 800,解得 x = 40 或 x= 20(舍去),∴ 60-x= 20(步),则该矩形田地的长为 40 步,宽为 20 步,∴ 它的长比宽多 40-20 = 20(步) . 18. C 19. B　 【解析】设原来的方程为 ax2 +bx+c= 0(a≠0),由题意 知- b a = 6+1 = 7, c a = -2×( -5)= 10,∴ b= -7a,c= 10a,∴ 原来的方程为 ax2 -7ax+10a= 0,则 x2 -7x+10 = 0. 20.解:(1)2x,(50-x); (2)根据题意得(50-x)(30+2x)= 2 000, 解得 x1 = 10,x2 = 25. ∵ 商场要尽快减少库存,∴ x= 25. 答:每个高压锅降价 25 元时, 商场日盈利可达到 2 000 元. 命题点 3　 分式方程及其应用 1. A　 2. D　 3. C　 拓展 3-1 (x-1) 拓展 3-2 　 等式的性质 2(或等式两边乘同一个数,或除以 同一个不为 0 的数,结果仍相等) 拓展 3-3 解:去分母,得 2x+x= x-1, 解得 x= - 1 2 , 经检验,x= - 1 2 是原方程的解. 4. D 5.解:方程两边同乘(x-3),得 2-x-1 = x-3, -x-x= -3-2+1, -2x= -4, x= 2, 经检验,x= 2 是原分式方程的解. 6.解:去分母得 2(y+1)(y-1) -2y(y-1)= 3(y+1), 去括号得 2y2 -2-2y2 +2y= 3y+3, 解得 y= -5, 经检验,y= -5 是原分式方程的解. 7. C 8. D　 【解析】设乙单独完成这项任务需要 x 小时,则甲单独 完成这项任务需要( x+ 4) 小时,由题意得 5 x+4 = 4 x ,解得 x= 16. 经检验,x= 16 是原方程的解,∴ 乙单独完成这项任 务需要 16 小时. 9. C　 【解析】设这种饮料每瓶是 y 元,则假期期间促销每瓶 是 0. 9y 元,依题意得 36 0. 9y - 36 y = 2 或 0. 9(36+2y) = 36;设 这种饮料每箱 x 瓶,依题意得 36 x ×0. 9 = 36 x+2 . 10. D 11.解:设第一批菜苗每捆的价格为 x 元,根据题意可得 300 x - 300 (1+20%)x = 2, 解得 x= 25, 经检验,x= 25 是原分式方程的解且符合题意. 答:第一批菜苗每捆的价格为 25 元. 12. -2 变式 m≥-5 且 m≠-3　 【解析】∵ x+m x-2 -3 = x-1 2-x ,去分母得 x+m-3(x-2)= 1-x,去括号、移项得 x-3x+x = 1-m-6,合 并同类项得-x= -5-m,系数化为 1 得 x = 5+m,∵ x-2≠ 0,∴ x≠2,即 5+m≠2,∴ m≠-3,∵ 方程的解为非负数, ∴ x= 5+m≥0,∴ m≥-5,∴ m≥-5 且 m≠-3. 13.解:(1) 15 x = 3× 15 x+40 ; (2)设自行车的平均速度是 y 千米 /时,则汽车的平均速 度是 3y 千米 /时, 根据题意得 15 y = 15 3y + 40 60 , 解得 y= 15, 经检验,y= 15 是原分式方程的解,且符合题意, ∴ 3y= 45. 答:汽车的平均速度是 45 千米 /时. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3