1.5 分式及其运算-【一战成名新中考】2025河南中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

参考答案与重难题解析·河南数学　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 一战成名新中考·数学(2025 河南) 　 　 　 参考答案与重难题解析 　 　 　 分 层 作 业 本 分层作业本 第一章　 数与式 命题点 1　 实数的相关概念与大小比较 1. A　 2. A　 3. 1 2 , 1 2 ,-2　 4. 1　 5. C　 6. A　 变式 6-1 -3 (答案不唯一)　 变式 6-2 -　 3 变式 6-3 C　 【解析】∵ 1 < 2 < 4 ,∴ 1< 2 < 2,由数轴可 知,只有点 C 在 1 和 2 之间. 7. B　 8. C　 9. C　 10. C　 11. D　 12. C　 13. A 14. C　 【解析】设需要 H1 提供的能量约为 x 千焦. 根据题意 得 0. 15x= 785,∴ 10-5x = 785,∴ x = 7. 85×107 ,∴ 需要 H1 提供的能量约为 7. 85×107 千焦. 15. A　 16. 3 ,-1, 3 ,-1,1　 17. >　 18. C　 19. B 20. 28 或 32,2 命题点 2　 二次根式及其运算(含无理数的估值) 1. B　 2. 7; 1 3 ; ± 1 4 ; ± 3; - 2　 3. D　 4. 1;4 3 (答案不唯 一)　 5. 3 3 ;-2; 6 ; 2 ; 9;-30; 3; -2;0　 6. 10 变式 8 10 　 7. 5　 8. C　 9. 3 ,1(答案不唯一) 10. B　 【解析】∵ a+2 + | b-1 | = 0,∴ a+2 = 0,b-1 = 0,∴ a = -2,b= 1,∴ (a+b) 2 024 = ( -2+1) 2 024 = ( -1) 2 024 = 1. 11. A　 【解析】由题图知 1<a<2,∴ a-1>0,a-2<0,∴ 原式 = a-1-[ -(a-2)] =a-1+a-2 = 2a-3. 12. 4 13. C　 【解析】原式= ( -2) 2 × 3 -( -2) × 3 -3 3 = 4 3 +2 3 -3 3 = 3 3 . 命题点 3　 实数的运算 1. D　 2. D　 3. 3 2 ;-3;-1; 1　 4. 8　 5. 3 6.解:原式= 100 -1 = 10-1 = 9. 7.解:原式= 4-( -2)= 4+2 = 6. 8.解:原式= 3-3+ 1 5 = 1 5 . 9.解:原式= 5-3-3×2 = 2-6 = -4. 10.解:原式= 3-1+8 = 10. 11.解:原式= 3 -1-2-4 = 3 -7. 12.解:(1)①; (2)原式= 1-( -8) +6÷ 1 6 = 1+8+36 = 45. 13. 220　 14. (1) 1 9 ;(2)x1 +x2 = -2 命题点 4　 整式与因式分解 1. 3n　 变式 1-1 一支笔 3 元,买 n 支笔的钱数(答案不唯 一) 变式 1-2 (1) 10a 9 ;(2)(5a+10b);(3)(10x+100) 2. 15　 3. D　 4. B　 5. 3　 6. m(答案不唯一) 　 7. C　 8. A　 9. B　 10. A　 11. B 12. D　 【解析】原式= (aa) 3 =a3a . 变式 12-1 a6 变式 12-2 A　 【解析】m 个 3 相加表示为 3m,根据乘方的 定 义: n 个 4 相 乘 表 示 为 4n, 故 3+3+3+…+3üþ ýï ï ï ï m个 + 4×4×4×…×4üþ ýï ï ï ï n个 的结果是 3m+4n . 13. A　 14. 16　 15. 3 16. B　 【解析】∵ ( 2n+ 1) 2 - 25 = ( 2n+ 1) 2 - 52 = ( 2n+ 1- 5) (2n+1+5)= (2n-4)(2n+6) = 4(n-2) (n+3),∴ 对于任 意整数 n,4 都是 4(n-2)(n+3)的一个因数,∴ 对于任意 整数 n,(2n+1) 2 -25 都能被 4 整除. 17.解:原式= x2 -4xy+4y2 -x2 +4xy = 4y2 . 18.解:原式= -8a3 ·a3 +9a6 = -8a6 +9a6 =a6 . 19.解:原式= 4-a2 -a+a2 = 4-a. 20.解:原式= x2 -2xy+y2 -2y2 -(x2 -y2 ) = x2 -2xy+y2 -2y2 -x2 +y2 = -2xy. 当 x= 2 +1,y= 2 -1 时, 原式= -2×( 2 +1)( 2 -1)= -2. 21.解:原式= 2a2b+2ab2 +2ab-2a2b+2-2ab2 -2 = 2ab, 当 a= -2,b= 2 时,原式= -8. 22. a(a-b)　 23. (x+1) 2 　 24. a(a+3)(a-3)　 25. (x+3) 2 26. (1) 1 2 a2 - 1 2 b2 - 1 2 ab;(2) 5 2 27. A　 【解析】由题意可知矩形土地的原面积为 ab 平方米, 第二年按照庄园主的想法面积变为(a+10)(b-10)= ab- 10a+10b-100(平方米),∵ a>b,∴ ab- 10a+ 10b- 100-ab = 10(b-a) -100<0,∴ ab-10a+10b-100<ab,∴ 租地面积 变小了. 命题点 5　 分式及其运算 1. x≠1　 2. D　 3. C　 4. A　 5. A　 6. B 7. A　 【解析】 ( a a-b - 1) ÷ b a2 -b2 = a -(a-b) a-b ÷ b a2 -b2 = a -a+b a-b · a2 -b2 b . 拓展 7-1 ①:去括号性质应用错误;②:通分时,括号外面是 负号,去掉括号未变号;③:除法法则应用错误;⑤:通分 错误 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1 参考答案与重难题解析·河南数学　 分 层 作 业 本 拓展 7-2 分式的基本性质 8. 2x 3b 　 9. 1 a+1 10.解:原式= 2x (x+2y)(x-2y) - x +2y (x+2y)(x-2y) = 2x -x-2y (x+2y)(x-2y) = x -2y (x+2y)(x-2y) = 1 x+2y . 11.解:原式= 4 (a+1)(a-1) · a+1 2 + 1 a-1 = 2 a-1 + 1 a-1 = 3 a-1 . 12.解:原式= 3+a-2 a-2 ÷ a +1 (a-2)(a+2) = a +1 a-2 · (a+2)(a-2) a+1 =a+2. 拓展 12-1 -2 拓展 12-2 解:解不等式组 -a≤1, 2a-1<4,{ 得- 1≤a< 5 2 ,∴ 整数 解有-1,0,1,2. ∵ a-2≠0,a+1≠0,a2 -4≠0,∴ a≠±2 且 a≠-1,∴ 当 a= 0 时,原式= 2. 13.解:原式= a-b a ÷a 2 -2ab+b2 a = a -b a · a (a-b) 2 = 1 a-b . 14.解:原式= [ a (a+b)(a-b) - a -b (a+b)(a-b) ] ÷ b a-b = a -(a-b) (a+b)(a-b) · a-b b = b (a+b)(a-b) · a-b b = 1 a+b . 当 a= 2 -1,b= 2 +1 时,原式= 1 2 -1+ 2 +1 = 2 4 . 15.解:(1)②,③; (2)选择乙同学的解法. (选择甲同学的解法略) 原式= x x+1 · x2 -1 x + x x-1 · x2 -1 x = x x+1 · (x+1)(x-1) x + x x-1 · (x+1)(x-1) x = x-1+x+1 = 2x. 16. R·R2 R2 -R 17.解:(1)设被手遮住部分的代数式为 M, 则 M = - a-2 a+2 · a2 +4a+4 a+1 +a-1 = -(a -2)(a+2) a+1 +a-1 = -a2 +4+a2 -1 a+1 = 3 a+1 ; (2)不能. 理由如下:令- a-2 a+2 = 3,解得 a= -1, ∵ a+1 = 0,∴ 此时原分式无意义, ∴ - a-2 a+2 的值不能等于 3. 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)及其应用 1. C　 变式 D　 2. B　 3. A　 4. A　 拓展 4-1 转化 拓展 4-2 解:①+②得 6x= -18,解得 x= -3, 将 x= -3 代入①中,解得 y= -8, ∴ 原方程组的解为 x= -3, y= -8.{ 5. x= -3, y= -1{ 　 6. x= 1, y= 2{ 7.解:方程两边同乘 6,得 3(x-1) -2(2x+1)= 30. 去括号,得 3x-3-4x-2 = 30. 移项、合并同类项,得-x= 35. 系数化为 1,得 x= -35. 8. (1+4. 7%)x= 120 327 9.解:设 A 奖品的单价为 x 元,B 奖品的单价为 y 元,根据题 意得 3x+2y= 120, 3x= 6y,{ 解得 x= 30, y= 15,{ 答:A 奖品的单价为 30 元,B 奖品的单价为 15 元. 拓展 4　 【解法提示】设购买 A 奖品 x 个,B 奖品 y 个,根据 题意得 30x+15y = 150,即 y = 10-2x,∵ x,y 均为正整数, ∴ 当 x= 1 时,y= 8;当 x= 2 时,y= 6;当 x= 3 时,y = 4;当 x = 4 时,y= 2. 答:共有 4 种不同的方案. 变式 9-1 解:设 B 奖品的单价为 x 元,则 A 奖品的单价为 (x+5)元. 根据题意得 x+5+3x= 105, 解得 x= 25,∴ x+5 = 30. 答:A 奖品的单价为 30 元,B 奖品的单价为 25 元. 变式 9-2 解:设 A 奖品的单价为 x 元. 根据题意得 0. 8x×10 = 12(x-10), 解得 x= 30. 答:A 奖品的单价为 30 元. 10. 20 11. 2　 【解析】设这次小峰打扫了 x h,则爸爸打扫了(3-x) h,根据题意得 x 4 +3 -x 2 = 1,解得 x = 2,∴ 这次小峰打扫了 2 h. 12. C 13. 2,x= 4　 【解析】把 x = -4 代入方程 7a-x = 18 得 7a+4 = 18,解得 a= 2,即原方程为 14+x= 18,解得 x= 4. 14. 1　 【解析】(2x,3)·(3,-1)= 6x-3 = 3,解得 x= 1. 15.解:(1)两人都正确; (2)解方程组 45y+15 = x, 60(y-3)= x,{ 得 x= 600, y= 13,{ ∴ 租 45 座客车:600÷ 45≈14(辆),∴ 租金为 200× 14 = 2 800(元), ∴ 租 60 座客车:600÷60 = 10(辆),∴ 租金为 300× 10 = 3 000(元), ∵ 2 800<3 000, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2 分层作业本·河南数学 　 第 一 章 数 与 式 命题点 5　 分式及其运算(必考) 　 考向 1　 分式的相关概念及性质(2021. 11) 1. [2021 河南 11 题 3 分]若代数式 1 x-1 有意义,则实 数 x 的取值范围是　 x≠1　 . 2. [2024 新乡期末]下列式子是分式的是 (　 D　 ) A. a -b 4 　 　 B. 2x π 　 　 C. -m 7 +2n　 　 D. y +2z x 3. 下列式子从左到右变形不正确的是 (　 C　 ) A. x 3 xy = x 2 y B. -x y = x -y C. x -2 y-2 = x y D. 3x 2 +3x 6x2 = x+1 2x 4. 易错 ∙∙ 　 [2023 凉山州]若分式 x2 -x x-1 的值为 0,则 x 的值是 (　 A　 ) A. 0 　 　 B. -1 　 　 C. 1 　 　 D. 0 或 1 5. 把分式x +y xy 中 x,y 的值都扩大为原来的 2 倍, 则分式的值 (　 A　 ) A. 缩小为原来的 1 2 B. 不变 C. 扩大为原来的 2 倍 D. 扩大为原来的 4 倍 考向 2　 分式的运算(每年考查一道填空题或解 答题) 6. [2023 河南 5 题 3 分]化简 a-1 a + 1 a 的结果是 (　 B　 ) A. 0　 　 　 B. 1　 　 　 C. a　 　 　 D. a-2 7.易错 ∙∙ 　 在数学课堂上老师给出了一道分式化简 题:化简( a a-b -1) ÷ b a2 -b2 ,以下是五位同学的部 分化简过程:①原式= a a-b -1·a 2 -b2 b ;②原式 = a-a-b a-b ÷ b a2 -b2 ;③原式 = a -a+b a-b · b a2 -b2 ;④原式 =a-a+b a-b ·a 2 -b2 b ;⑤原式= (a-a+b)·a 2 -b2 b . 其中正确的个数为 (　 A　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 拓展 7-1 分析上述化简过程错误的原因. 拓展 7-2 通分的依据是　 　 　 　 　 　 　 　 . 8. 化简:3ab x · 2x 2 9ab2 = 　 　 　 　 . 9. 易错 ∙∙ 　 [2024 洛阳模拟]计算 a2 a+1 -a+ 1 的结果 是　 　 　 　 . 10. [2024 开封模拟]化简: 2x x2 -4y2 - 1 x-2y . 解:原式= 2x (x+2y)(x-2y) - x+2y (x+2y)(x-2y) = x-2y (x+2y)(x-2y) = 1 x+2y . 11. 化简: 4 a2 -1 ÷ 2 a+1 + 1 a-1 . 解:原式= 4 (a+1)(a-1) ·a +1 2 + 1 a-1 = 2 a-1 + 1 a-1 = 3 a-1 . 12. [2024 河南 16(2)题 5 分]化简:( 3 a-2 +1)÷ a +1 a2 -4 . 解:原式=3 +a-2 a-2 ÷ a+1 (a-2)(a+2) =a+1 a-2 ·(a +2)(a-2) a+1 =a+2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7 分层作业本·河南数学 　 第 一 章 数 与 式 拓展 12-1 当 a= -4 时,分式的值为　 　 　 　 . 拓展 12-2 若从不等式组 -a≤1, 2a-1<4{ 的整数解中选 取一个作为 a 的值,求分式的值. 13. 化简:a -b a ÷(a-2ab -b2 a ) . 解:原式=a -b a ÷a 2-2ab+b2 a =a-b a · a (a-b) 2 = 1 a-b . 14. [2019 河南 16 题改编]先化简,再求值:( a a2-b2 - 1 a+b )÷ b a-b .已知 a= 2-1,b= 2+1. 解:原式=[ a (a+b)(a-b) - a-b (a+b)(a-b) ]÷ b a-b = a-(a-b) (a+b)(a-b) ·a -b b = b (a+b)(a-b) ·a -b b = 1 a+b . 当 a= 2 -1,b= 2 +1 时,原式= 1 2 -1+ 2 +1 = 2 4 . 15. [2023 江西]化简( x x+1 + x x-1 ) ·x 2 -1 x . 下面是 甲、乙两同学的部分运算过程: 第 15 题图 (1)甲同学解法的依据是　 ②　 ,乙同学解法 的依据是　 ③　 ;(填序号) ①等式的基本性质;②分式的基本性质;③乘 法分配律;④乘法交换律. (2)请选择一种解法,写出完整的解答过程. 解:(2)选择乙同学的解法. (选择甲同学的解法略) 原式= x x+1 ·x 2-1 x + x x-1 ·x 2-1 x = x x+1 ·(x +1)(x-1) x + x x-1 ·(x +1)(x-1) x =x-1+x+1=2x. 　 16. 学科融合 如果将电阻 R1、R2 并联,电路中的总 电阻用 R 表示,那么它们之间的关系可用公式 1 R = 1 R1 + 1 R2 ,已知 R,R2,则 R1 =　 　 　 　 . 17. 复习备考时,王老师在黑板上写了一道分式 化简题及其正确计算结果,随后用手遮住了 原题目的一部分,如图: ( - a + 1) ÷ a2 +4a+4 a+1 = -a-2 a+2 . (1)求被手遮住部分的代数式; (2) -a -2 a+2 的值能等于 3 吗? 请说明理由. 解:(1)设被手遮住部分的代数式为 M, 则 M =-a -2 a+2 ·a 2+4a+4 a+1 +a-1 =-(a-2)(a+2) a+1 +a-1 =-a 2+4+a2-1 a+1 = 3 a+1 ; (2)不能.理由如下:令- a-2 a+2 =3,解得 a=-1, ∵ a+1=0,∴此时原分式方程无意义, ∴原代数式的值不能等于 3. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 数学思想———类比 拓展:回顾分式的学习过程,我们是先回顾分数 的基本性质和运算法则,然后得到分式的基本性 质和运算法则,这种研究方法体现的数学思想是 类比思想. 注:“数学思想”专练见《专项培优练》P1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8