广东省东莞市2024-2025学年九年级上学期竞赛数学试卷

2024—2025学年东莞市九年级（上）竞赛数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，若a≤x≤b，m≤y≤n，则下列说法正确的是（　　） A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值 B．当n﹣m＝1时，b﹣a无最大值 C．当b﹣a＝1时，n﹣m有最小值 D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值 2．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论： ①b＞0； ②若时，则3a+2c＜0； ③若点M（x1，y1），N（x2，y2），在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2； ④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根． 其中结论正确的结论有（　　） A．①③ B．①② C．③④ D．①③④ 3．下面关于x的方程中：①ax2+x+2＝0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1；③x+3＝；④x2﹣a＝0（a为任意实数）；⑤．一元二次方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　） A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5 5．某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、11m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为96m2，设小道的宽为x m，根据题意可列方程为（　　） A．（18﹣2x）（11﹣x）＝96 B．2x2＝96 C．（18﹣x）（11﹣2x）＝96 D．（18﹣2x）（11﹣2x）＝96 6．在二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是（　　） A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1 7．如图（1），在△ABC中，∠B＝90°，动点P从点C出发，以1cm/s的速度沿折线CAB匀速运动，点P出发一段时间后，动点Q从点B出发，以相同的速度沿BC匀速运动，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，此时点P，Q停止运动．设点P的运动时间为t s，△PQC的面积为S cm2，S关于t的函数图象如图（2）所示（当点P与点B，C重合时，不妨设S＝0，其中当0＜t≤4时，函数图象为线段，当4＜t≤5，5＜t≤a时，函数图象均为抛物线的一部分）．若△PQC的面积为2，则t的值为（　　） A． B．或6 C．或10 D．，6或10 8．若a，b是方程x2+2x﹣2016＝0的两根，则a2+3a+b＝（　　） A．2016 B．2015 C．2014 D．2012 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为　 　． 10．设x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则的值为　 　． 11．把函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，x轴上方部分图象不变，得到函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0）的图象，如图所示，则下列结论正确的是　 　（填序号）． ①c＝3； ②2a+b＝0； ③abc＜0； ④将函数y＝|ax2+bx+c|的图象向上平移1个单位长度后与直线y＝5有3个交点． 12．将函数y＝x2+x﹣2的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的即是新函数y＝|x2+x﹣2|的图象． （1）抛物线与x轴的两个交点分别为（x1，0）和（x2，0）（x1＜x2），则x1＝　 　，x2＝　 　； （2）若该新函数图象与直线有两个交点，则b的取值范围是　 　． 三、计算题：本大题共1小题，共9分。 13．已知转盘A、B都被等分成六个扇形，甲、乙二个按以下规则进行游戏： ①甲、乙同时分别转动转盘A、B； ②转盘停止后，指针指向数字几，就顺时针走几格得到另一个数字； ③得到的数字是偶数的一方获胜． 以上游戏公平吗？若不公平，请改动转盘B中两个数字的位置，使甲、乙二人获胜机会相同． 四、解答题：本题共5小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14．已知，⊙O的直径为10，点A、点B、点C是在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D． （1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长； （2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长． 15．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的，《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下： 首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．因此，可得新方程（x+x+2）2＝144，因为x表示边长，所以2x+2＝12，即x＝5．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程x2﹣4x﹣12＝0（x＞0）的正确构图是　 　（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x2+3x﹣2＝0，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x（　 　）＝1 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程　 　，解得原方程的一个根为　 　； 【拓展应用】一般地，对于形如x2+ax＝b的一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a＝　 　，b＝　 　，求得方程的正根为　 　． 16．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，t），B（m，p）． （1）若t＝0， ①求此抛物线的对称轴； ②当p＜t时，直接写出m的取值范围； （2）若t＜0，点C（n，q）在该抛物线上，m＜n且5m+5n＜﹣13，请比较p，q的大小，并说明理由． 17．如图，点A，B，C都在抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC＝135°，且AB＝4． （1）当m＝1时，用配方法求抛物线的顶点坐标； （2）①用含m的式子表示抛物线的顶点坐标　 　； ②求点C到直线AB的距离（用含a的式子表示）； （3）若点C到直线AB的距离为1，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值． 18．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于点，点P是直线AC下方抛物线上一动点，分别连接AC，AP，CP． （1）求抛物线的解析式； （2）当△PAC的面积是△OAC面积的2倍时，求点P的坐标； （3）如图2，点M是x轴上的动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线、直线AC分别交于点E、F，若△EFC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标． （4）将线段AC沿x轴的负方向平移得到A′C′，点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，点Q为点A关于x轴的对称点，连接QA′、QC′，在线段平移过程中，求QA′+QC′的最小值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/16 8:33:19；用户：唐国生；邮箱：18978943799；学号：51215157 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$