江苏省扬州中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度高二数学12月月考卷 一、单选题 1．已知直线平分圆的周长，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．若数列为等差数列，为数列的前n项和，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．若点为坐标原点，点为曲线上任意一点，，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（    ） A． B． C． D． 5．已知数列中，，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 6．已知P为抛物线上的一点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．已知等比数列前项和满足，数列是递增的，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知数列的前项和为，，，且关于的不等式有且仅有4个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知圆和圆相交于A、两点，下列说法正确的是（   ） A．公共弦所在直线方程为 B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C．取圆上点，则的最大值为 D．直线被圆所截得弦长最短为 10．已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．椭圆离心率为 B． C．若，则的面积为9 D．最小值为 11． 已知数列的前项和为则下列说法正确的是（   ） A．是等比数列 B． C．中存在不相等的三项构成等差数列 D．若，则的取值范围为 三、填空题 12．已知等比数列中，若前项的和是，前项的和是，则前项的和是 ． 13．已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 . 14．已知圆上有一动点，记点到直线的距离为，平面上有一定点，则的最小值为 . 四、解答题 15．已知三点，点在圆上运动． (1)若直线与圆有唯一公共点，求； (2)求的最小值． 16．已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点. (1)求拋物线的标准方程； (2)若抛物线的焦点在轴上且与直线交于、两点（、两点异于原点），以为直径的圆经过原点，求的值. 17．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18．已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围． 19．已知数列对于任意都有． (1)求数列的通项公式． (2)设数列前n项和为，求． (3)证明：， 试卷第10页，共6页 试卷第9页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．C 8．D 8.【详解】因为， 所以，所以， 即， 所以数列是常数列，当时，， 所以，即， 因为，所以， 令， 所以 ， 当时，，即， ，，，，， 为了满足不等式有且仅有4个解，则， 此时有，，，. 故选：D. 9．ABD 10．BCD 11．AD 11. 【详解】对于A，根据题意易知， 所以是等比数列，以1为首项，3为公比，，故A正确； 对于B，同理，， 即所以是等比数列，以3为首项，3为公比，， 则 ，故B错误； 对于C，假设中存在不相等的三项构成等差数列， 不妨设该三项为，则， 即， 因为，所以，则上式不成立，所以不存在，故C错误； 对于D项，若n为奇数，则， ， 而由A项可知，递增，所以，，则， 若n为偶数，则，， 同理由A项可知，递增，所以，，则， 而，则，故D正确. 12. 13． 14. 【详解】作出图形，分别取线段中点分别为， 因为，则，则， 则点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆， 其轨迹方程，半径， 则，设点到直线的距离为， 则，则的最小值为. 故答案为：. 15．(1) (2) 【详解】（1）由题意知，圆的圆心为，半径， 故， 由题意可得直线与圆相切，且唯一公共点为点， 在中，由勾股定理可得． （2）设，且， 故 ， 而，当时，取得最小值． 16．(1)或 (2) 【详解】（1）当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为， 过点，即，解得， 即此时抛物线方程为； 当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为， 过点，即，解得， 即此时抛物线方程为； （2） 由（1）得当抛物线焦点在轴上时，抛物线方程为， 设，， 联立直线与抛物线，得， 则，解得， 且，，， 又以为直径的圆经过原点， 即，， 解得. 17．(1)， (2)，. 【详解】（1）由，则当时 两式相减得，所以. 将代入得，， 所以对于，故是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. （2）. ， 因为当时，当时， 所以当时，， 当时，. 故. 18．（1）；（2）． 【详解】（1）因为椭圆过，故， 因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即， 故椭圆的标准方程为：. （2） 设， 因为直线的斜率存在，故， 故直线，令，则，同理. 直线，由可得， 故，解得或. 又，故，所以 又 故即， 综上，或. 19．(1)(2) 【详解】（1）因为①， 当时，②， 由①②，得到，所以， 又时，，得到，满足， 所以数列的通项公式为. （2）由题意， 所以③，得到④， 由③④，得到， 所以. （3）因为，，所以时，， 当时，， 当时，， 当时， ， 综上，，. $$