江苏省扬州中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

江苏省扬州中学 2024—2025 学年第一学期月考试题 高一数学 2024.12 试卷满分：150 分，考试时间 120 分钟 一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每题给出的四个选项中只有一项 是最符合题意的。 1．已知集合  2| log 1M x x=  ，集合  2,3,4,5N = ，则M N 的子集个数为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 2. 命题:“ ( ,0)x  − ，4 5x x ”的否定为（ ） A．  )0x  +， ，4 5x x B． ( ),0x  − ，4 5x x C．  )0,x  + ， 4 5x x D． ( ),0x  − ，4 5x x 3．下列函数中是奇函数，且在定义域内单调递减的是（ ） A． 2 ( )f x x = B． | |( ) 2 xf x = C． 2( ) logf x x= D． ( ) 3f x x x= − − 4.若 5 2 3loga = ， 0.1 1 5 b −   =     ， 0.1 2 5 c −   =     ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a c b  B. a b c  C. c a b  D.c b a  5．函数 e e e x x x y −− = 的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 6.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 1℃，空气的温度是 0 ℃，经过 t 分钟后物 体的温度θ℃可由公式 ( )0 1 0 e kt    −= + − 求得，其中 k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的 大于 0的常数，现有 100℃的物体，放在 10℃的空气中冷却，5分钟后物体的温度是 40℃，则 k 约等于（ ）（参考数据 )ln 3 1.099 A．0.22 B．0.27 C．0.36 D．0.55 7.已知幂函数 2 2 3( Z)m my x m− −=  的图象关于 y 轴对称，且在 (0, )+ 上单调递减，则满足 5 5( 1) (3 2 ) m m a a − − +  − 的实数 a 的取值范围为（ ） A． 2 3 ( , 1) ( , ) 3 2 − −  B． 2 ( , ) 3 − C． 2 3 ( 1, ) ( , ) 3 2 − + D． 3 (0, ) 2 8．已知 2 9log 3 log 4a = + ，3 4 5 a a b+ = ，则（ ） A． 2a b  B． 2b a  C． 2a b  D． 2b a  二、多项选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每题给出的四个选项中有多项是 最符合题意的。 9．下列结论正确的是（ ） A． 4π 3 − 是第三象限角 B．sin 2 0 C．若圆心角为 π 6 的扇形的弧长为 π 2 ，则该扇形面积为 3π 4 D．若角 为锐角，则角2为钝角 10.已知实数 0x  , 0y  且 4 1x y+ = ，则下列结论正确的是（ ） A. 1 1 x y + 的最小值为9 B. 2 2log logx y+ 的最大值为 3− C.2 16x y+ 的最小值为2 2 D. 1y x y + 的最小值为 6 11．已知函数 ( )f x 的定义域为 ( )0,+ ，且对任意 ( )0,x + ， ( ) ( )2 2f x f x= 恒成立；若 ( 1,2x 时， ( ) 2f x x= − .下列说法正确的是（ ） A. ( 2,4x 时， ( ) 4f x x= − B.对任意mZ，有 ( )2 0mf = C.存在n Z ，使得 ( )2 1 9nf + = D.“函数 ( )f x 在区间 ( ),a b 上单调递减”的充要条件是“存在 Zk ，使得 ( ) ( )1, 2 , 2k ka b + ” 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5分，共 15分。 12. 角225 用弧度制表示为 ； 13. 已知 0a  且 1a  ，若函数 2 , 2 ( ) , 2 xa x f x x x   =   在 R 上有最小值，则a 的取值范围为 ； 14．设函数 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0x  时， 2( ) 5f x x x= − − ，则不等式 ( ) ( 1) 0f x f x− −  的解集为 。 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．计算下列各式的值： (1) 2 log 3 3 3 3log 2 log 5 2log 10 2+ − + ； (2) ( )( ) 2 2 2 1 64 1 2 1 2 4 8 8 1 8 x xx x x x x − − −  − + − + + + +  +   。 16．（1）已知角 的终边经过点 3(4, )P − ，求 6sin 3cos sin   − 值。 （2）已知 sin cos 3 sin cos     + = − ，计算 2sin 3sin cos  − 的值。 17．设函数 1 ( ) lg (2 3) 2 f x x x    = − −      的定义域为集合 A ，函数 2 2( ) 4 3g x x ax a= − + − 的定义域 为集合 B (其中a R 且 0a  ) . (1) 若 A B B= ，求实数 a 的取值范围； (2) 若函数 ( )g x 在区间 3 , 2 2       上单调递减，求实数 a 的取值范围。 18．函数 ( )f x 对任意的实数 a ，b ，都有 ( ) ( ) ( ) 2f a b f a f b+ = + − ，当 0x  时， ( ) 2f x  ， (1) 判断 ( )f x 在R上的单调性并证明； (2)  0,2x  ，不等式 ( ) ( )2 24 2 4x xf f t t ++ −   恒成立，求实数 t 的取值范围。 19．对于两个定义域相同的函数 ( )f x 和 ( )g x ，若存在实数m ， n ，使 ( ) ( ) ( )h x mf x ng x= + ，则 称函数 ( )h x 是由“基函数 ( )f x 和 ( )g x ”生成的. (1)若 ( ) 4 9h x x x = + 是由“基函数 ( ) 1 2f x x a x = − + 和 ( ) 1 4 2 2 g x x x = + − ”生成的，求 a 的值； (2)试利用“基函数 ( ) ( )2log 4 1xf x = + 和 ( ) 1 1 2 g x x= + ”生成一个函数 ( )h x ，满足 ( )h x 为偶函 数，且 ( )0 1h = − 。 ①求函数 ( )h x 的解析式； ②已知 * 03, N , 1, 1nn n x x  = − = ，对于 ( )1,1− 上的任意值 1 2, ,x x ， ( )1 1 2 1n nx x x x− −   ，记 1 1 ( ) ( ) n i i i M h x h x − = = − ，求M 的最大值。（注： 1 2 1 n i n i x x x x = = + + + ） 江苏省扬州中学 2024—2025 学年第一学期月考答案 高一数学 一、单项选择题： 1. C 2. D 3. D 4. A 5. A 6. A 7. C 8. A 7.【详解】因为函数 2 2 3m my x − −= 在 (0, )+ 上单调递减， 所以 2 2 3 0m m− −  ，又mZ，所以 0,1,2m = ， 因为函数 2 2 3( Z)m my x m− −=  的图象关于 y 轴对称，所以 ( )( ) 2 2 3 3 1m m m m− − = − + 为偶数，所以 1m = ， 函数 1 5y x − = 的定义域为 ( ) ( ),0 0, −  + ，且函数 1 5y x − = 在 ( ),0− 和(0,+∞)上单调递减， 当 0x  时， 0y  ，当 0x  时， 0y  ，所以不等式 5 5( 1) (3 2 ) m m a a − − +  − 可化为 1 0 3 2 0 1 3 2 a a a a +   −   +  − 或 1 0 3 2 0 1 3 2 a a a a +   −   +  − 或 1 0 3 2 0 a a +   −  ， 所以 2 1 3 a−   或 3 2 a  ，所以 a的取值范围为 2 3 ( 1, ) ( , ) 3 2 − + 8. 【详解】 2log 3 0 ， 9log 4 0 ， 2 9 2 3 2 2 1 log 3 log 4 log 3 log 2 log 3 log 3 a = + = + = + 2 2 1 2 log 3 2 log 3   = ， 2 2 1 log 3 log 3  ，等号取不到， 2a  ， 3 4 5a a b+ = ， 2 2 25 3 4 3 4 5b a a= +  + = ， 2b  ，令 ( ) 3 4 ( ) ( ) 1 5 5 x xf x = + − ，∵ 3 4 1 5 5   ，∴ ( )f x 单调递减，且 ( )2 0f = ， ( ) 0f a  ，可得 3 4 5a a a+  ．于是 5 5b a ， b a  ， 2a b   ． 二、多项选择题： 9. BC 10. ACD 11. ABD 11.【详解】对于选项A ： (2x ， 4]时， (1 2 x  ， 2]， ( ) 2 2 2 x x f = − ，而 ( ) 2 ( ) 2 x f x f= ， ( ) 4f x x = − ，故A 正 确； 对于选项B ： 1 1 1(2 ) (2 2 ) 2 (2 ) ... 2m m m mf f f f− − −=  = = =  （2），而当 (1x ， 2]时， ( ) 2f x x= − ， 所以 f （2） 0= ，所以 (2 ) 0mf = ，故B 正确； 取 (2mx ， 12 ]m+ ，其中， 0m = ，1， 2..，则 (1 2m x  ， 2]； ( ) 2 2 2m m x x f = − ， 从而 ( ) 2 ( ) 2 x f x f= ，而 1( ) 2 ( ) 2 2 m m m x f x f x+=  = − ， 对于 1C : (2 1) 2 2 1m m mf ++ = − − ，假设存在 n 使 (2 1) 9nf + = ， 2 1 [2n n+  ， 12 )n+ ， 1(2 1) 2 2 1 2 1n n n nf + + = − − = − ， 2 1 9n − = ，2 10n = ， 这与n Z 矛盾，所以C 错误； 对于D ：由上面推导可得当 (2kx ， 12 )k+ 时， 1( ) 2kf x x+= − ，单调递减，为减函数， 所以若 (a， ) (2kb  ， 12 )k+ ，则函数 ( )f x 在区间 ( , )a b 上单调递减；当函数 ( )f x 在区间 ( ),a b 上单调递 减”，则 (a， ) (2kb  ， 12 )k+ ，故D 正确． 三、填空题 12. 5 4  13. ( )0,1 ? 14. ( 2,3)− 14.【详解】根据题意，设 0x  ，则 0x−  ，所以 2( ) 5f x x x− = − + ， 因为 ( )f x 是定义在 上的奇函数，所以 2( ) 5 ( )f x x x f x− = − + = − ，所以 2( ) 5f x x x= − ， 当 0x  时， 2( ) 5f x x x= − − ，当 0x = 时， (0) 0f = ,则 ( )f x 的图象如图： 在区间 5 5 ( , ) 2 2 − 上为减函数，若 ( ) ( 1) 0f x f x− −  ，即 ( 1) ( )f x f x−  ，又由 1x x−  ， 且 ( 3) ( 2), (2) (3)f f f f− = − = ，必有 1 3 3 x x −  −   时， ( ) ( 1) 0f x f x− −  ， 解得 2 3x−   ，因此不等式的解集是 ( 2,3)− 四、解答题 15．（1） 2 log 3 3 3 3log 2 log 5 2log 10 2+ − + ( )3 3 3log 2 5 log 10 3 log 1 3 3=  − + = + = ; （2） ( )( ) ( )( ) ( ) 2 3 2 2 1 8 1 81 64 1 2 1 2 4 8 8 1 2 8 2 8 1 8 1 8 x xx xx x x x x x x x x − −− − − − − − + −  + − + + + + + − + + +    =  + +  1 8 1 8 8 2 8 4x x x x− −= − + − + + + = . 16．（1）由角 的终边经过点 3(4, )P − ，可知 3 tan 4  = − ，则可得 6sin 6 tan 6 3cos sin 3 tan 5      = = − − − . （2）由 sin cos 3 sin cos     + = − ，化简得4cos 2sin = ，因此 sin tan 2 cos    = = . 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 3sin cos tan 3tan 2 3 2 2 sin 3sin cos sin cos tan 1 2 1 5            − − −  − = = = = − + + + 17．（1）由 1 3 (2 3)( ) 0 2 2 x x x− −    或 1 2 x  , 1 3 ( , ) ( , ) 2 2 A = −  + 当 0a  时 [ ,3 ]B a a= ,若 A B B B A =   0 1 3 2 a a      或 3 2 a  ,解得 1 0 6 a  或 3 2 a  ,故 a 的取值范围是 1 3 (0, ) ( , ) 6 2  + ． （2）由题知： 2 2 3 2 2 2 4 2 3 0 a a a    − +  −  解得： 2 3 3 4 a  18．（1）因为函数 ( )f x 对任意的实数 a，b，都有 ( ) ( ) ( ) 2f a b f a f b+ = + − ， 令 0a b= = ，则 ( ) ( ) ( )0 0 0 2f f f= + − ，所以 ( )0 2f = ； （2）设 1 2, Rx x  且 1 2x x ，取 1 2a x x= − ， 2b x= ， 则 ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2f x f x x f x= − + − ，即 ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2f x f x f x x− = − − ， 由于当 0x  时， ( ) 2f x  ，因为 1 2 0x x−  ，所以 ( )1 2 2f x x−  ， 即 ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 0f x f x f x x− = − −  ，由增函数的定义可知 ( )f x 是R 上的增函数； （3）不等式 ( ) ( )2 24 2 4x xf f t t ++ −   等价于 ( ) ( )2 224 2 0x xf t t f++ −   = ， 由（2）可知 ( )f x 是R上的增函数，故 24 4 2 0x xt t+ −   在R上恒成立， 令 2xm = ，则  1,4m  ， 2 24 0m tm t− +  恒成立 令 ( )  2 24 , 1,4g m m tm t m= − +  ① 当2 1t  即 1 2 t  时， ( )g m 在 1,4 上单调递增，所以 ( ) 2 min (1) 1 4 0g m g t t= = − +  即 2 3t  − ② 当2 4t  即 2t  时， ( )g m 在 1,4 上单调递减，所以 ( ) 2 min (4) 16 16 0g m g t t= = − +  即 8 4 3t  + ③ 当1 2 4t  即 1 2 2 t  时， ( )g m 在 1,2t 上单调递减，在 2 ,4t 上单调递增，所以 ( ) 2 2 2 2 min (2 ) 4 8 3 0g m g t t t t t= = − + = −  与 ( ) 0g m  恒成立矛盾，舍 综上： 2 3t  − 或 8 4 3t  + 19．（1）由已知，可得 ( ) 4 1 1 4 9 (2 ) ( 2) 2 h x x m x a n x x x x = + = − + + + − ， 则 4 4 9 2 2 2 n n m x m x ma n x x −  + = + + + −    ， 则 2 9 2 4 4 2 0 n m n m ma n  + =  − =  − =   ，解得 4 2 1 m n a =  =  = ，所以实数 a 的值为1. （2）①设 2 1 ( ) log (4 1) ( 1) 2 xh x m n x= + + + ， 因为 ( )h x 为偶函数，所以 2( ) log (4 1) 2 x nh x m x n−− = + − + ， 由 ( ) ( )h x h x− = ，可得 2 2log (4 1) log (4 1) 2 2 x xn nm x n m x n−+ + + = + − + ， 整理可得 2 4 1 log ( ) 4 1 x x m nx − + = + ，即 2log 4 xm nx− = ，所以2 4nx mx−= ， 所以 2nx mx= − 对任意 x 恒成立，所以 2n m= − ， 所以 2 2( ) log (4 1) 2 ( 1) [log (4 1) ] 2 2 x xxh x m m m x m= + − + = + − − ， 又因为 ( )0 1h = − ，所以 2log 2 2 1m m− = − ，所以 1m = ， 故函数 ( )h x 的解析式为 2( ) log (4 1) 2 xh x x= + − − . ②由①知 2 2 4 1 ( ) log (4 1) 2 log 2 2 x x x h x x + = + − − = − 在[0,1]上是增函数，又函数 ( )h x 是偶函数， 所以函数 ( )h x 在[ 1,0]− 上是减函数. 设 1 10 ( ), 0,1,2,3, , 1k k k kx x x x k n+ +   = − ， 则 0 1 1 2( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )k k k nh x h x h x h x h x h x+ +      ， 所以 ( ) ( )1 0 1 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n i i k k i h x h x h x h x h x h x h x h x− − = − = − + − + + − 1( ) ( )k kh x h x++ − 2 1 3 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k k n nh x h x h x h x h x h x+ + + + −+ − + − + + − 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k n kh x h x h x h x h x h x+ += − + − + − 1 1( 1) (1) ( ) ( ) ( ) ( )k k k kh h h x h x h x h x+ += − + − − + − ， 当且仅当 0kx = 或 1 0kx + = 时， ( ) ( )1 1 n i i i h x h x − = − 有最大值 2 5 2 (1) 2 (0) 2log 4 h h− = ， 故M 的最小值为 2 5 2log 4 .