期末热点复习3 探究线段之间的关系 训练 -2024-2025学年人教版数学八年级上册

期末热点复习3 探究线段之间的关系 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，点在上，点在上．求证：． 2．（24-25七年级上·四川自贡·期中）已知四边形中，，，．求证：． 3．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，是的角平分线，点E在的延长线上，且，交的延长线于点F，求证：． 4．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在四边形中，，，，以为顶点作一个度数为的角，它的两边交于，交于，连接．求证：． 5．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：． 6．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，中，，，平分交于点，平分交于点．求证：． 7．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）在中，，，的延长线于E，．  求证：． 8．（23-24九年级下·浙江温州·自主招生）如图，三个等腰直角三角形，，的直角顶点分别为D，P，E，且它们直角边长度均不相等，不平行，求证：P是的中点． 9．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，平分，于D，于E，点F在上，点E在上，且．    (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 10．（24-25八年级上·云南昭通·期中）在中，，，的平分线交边于点D． (1)如图1，求证：为等腰三角形； (2)如图2，若的平分线交边于点E，在上截取，连接，求证：； (3)如图3，若外角的平分线交延长线于点E，求证：． 11．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图1，在中，，点在上，且． (1)求的度数； (2)如图2，点在上，过作于，延长交于点，求证：． 12．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图1，在中，，是中线． (1)求证：； (2)如图2，若，于点F，求证：． 13．（24-25八年级上·四川德阳·期中）如图，在中，点D为边上一点，延长到点E，使得，恰有，连接，交于点F． (1)求证：； (2)当时， ①求证：； ②求的度数． 14．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上． (1)求证：； (2)用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 15．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，点在边上，，于点，于点，交于点． (1)若，则______； (2)求证：； (3)若，求证：． 16．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于．求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M．求证：； (3)当点在直线上时，连接交直线于，若，则___．（直接写出结果） 17．（24-25八年级上·江西南昌·期中）是经过顶点的一条直线，，，分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且，在射线上，请解决下面三个问题： ①如图1，若，，则 ， ；（填“”， “ ”或“”）；并证明这两个结论． ②如图2，若，要使与有①中的结论，则 ． ③如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 　　使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论． (2)如图3，若直线经过的外部，，请提出，，三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 18．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 19．（24-25八年级上·福建福州·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是______________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，点是边上的一点，连接，过点分别向外作、，使得，，若，求证：且为的中线． 20．（2024八年级上·全国·专题练习）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是___________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质，掌握三角形的任意两边之和大于第三边吗，任意两边之差小于第三边是解题关键．延长交于点，由三角形的三边关系可得，，进而得到，，即可证明结论． 【详解】证明：延长交于点，如图． 在中，， ， 即． 在中，， ， 即， ． 2．见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等角的余角相等的性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 在上截取，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再根据两直线平行，同旁内角互补可得，然后求出，从而得到，再根据等角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等量代换即可得证． 【详解】证明：如图，在上截取， 在和中， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 3．见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质,等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 延长相交于点，根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，根据角平分线的定义可得，然后求出 ，根据等角对等边可得，再根据等量代换即可得证． 【详解】解：如图，延长相交于点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．见解析 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质．延长到，使，连接，可证，再利用角的相等关系，边的相等关系证明，利用全等的对应边相等证题． 【详解】证明：延长到E点，使，连接， ∵， ∴， 又，， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 5．见解析 【分析】连接，根据垂直平分线的判定和性质，证明即可． 本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：连接， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴． ． 6．证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 先根据角平分线的定义推出，得到；再过点作交于点，证明，得到，即可求证． 【详解】证明：，， ， 平分， ， ， ， ， 如图，过点作交于点，则， ， ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ，， ， 即． 7．见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，延长，相交于点F．先证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出，再证明，由全等三角形的性质得出，等量代换可得出． 【详解】证明：如图，延长，相交于点F． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． 8．见解析 【分析】本题考查了全等三角形．熟练掌握等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，是解决本题的关键． 延长交于点F，连接，根据等腰直角三角形性质，得，，，得，得，得，得，，得，得 ，得，得，得，得，得P是的中点． 【详解】证明：如图，延长交于点F，连接， ∵等腰直角三角形中，， ∴， ∵等腰直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵等腰直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P在上， ∴P是的中点． 9．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到； （2）由，得到，推出四边形的面积四边形的面积，根据全等三角形的判定定理得到，求得，于是得到结论． 【详解】（1）证明：平分，，， ，， 在和中， ， ∴， ； （2）解：∵， ， 四边形的面积四边形的面积， 在和中， ， ∴， ， ， ． 10．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质及三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）先由三角形内角和定理得，再由角平分线的定义可得，再证明，最后由等角对等边可得结论； （2）由平分，可得，再证明，可得，，从而得出，最后由等腰三角形的判定可得结论； （3）在上截取，连接．先求得，再由平分，可得，从而得出，证得．得出，再证得．即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， 即， ∴为等腰三角形； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）证明：由（1）得：为等腰三角形， ∴， ∴． 如图，在上截取，连接． ， ∴， ∵， ∴ ∵， 又∵． ∵平分， ∴， ∴，，则， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 11．(1) (2)见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据，．得出，．设，则，，在中，根据三角形内角和算出，，即可求解． （2）由（1）得，，，证明，得出，即可证明． 【详解】（1）解：，． ，． 设，则， ， 在中，， 解得：， ，， ； （2）证明：由（1）得，，， ， ， 又于． ． ， ． ． ， ， ． 12．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长至，使，连接，然后再证明，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系即可证明结论成立； （2）如图，延长至，使，连接，作于点，在上截取点，使，连接，证明和，推出，，得到，，由，即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：如图，延长至，使，连接， ∵为中边上的中线， ∴， 在和中： ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， 在中，由三角形的三边关系可得， 即， ∴； （2）解：如图，延长至，使，连接，作于点，在上截取点，使，连接， 同理， ∴，， 在和中： ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角形的外角性质，三角形三边有关系．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 13．(1)见解析 (2)见解析； 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理， 对于（1），先证，进而可依据“边角边”判定； 对于（2）①，过点B作于H，根据等腰三角形的性质得，再证，得，据此可得出结论；对于②，由（1）知：，则，设，根据等腰三角形的性质得，再由已知得，根据平角的意义得，据此可求出，进而得，然后在中由三角形的内角和定理可求出的度数． 【详解】（1）∵， ∴， 即：． 在和中，， ∴； （2）①证明：过点B作于H， 又∵， ∴， 由（1）知：， ∴. ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ②解：由①知：， ∴， 设， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即：． 14．(1)见解析； (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）证明，再证明即可； （2）由和关于对称，可得，证明，从而可得结论． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∴ ； （2）解：， 理由如下： ∵和关于对称， ∴． ∵， ∴ ∵ ∴． 15．(1)22.5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）先证明是等腰直角三角形，则，进而得，再根据得，据此可得的度数； （2）证明和全等即可得出结论； （3）过点C作于H，则，证明是的平分线得，则，再证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：22.5； （2）证明：如图2所示： ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）证明：过点C作于H，如图3所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是的平分线， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 16．(1)见解析 (2)见解析 (3)4或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质并分情况求解是解题的关键． （1）证明，进而结论得证； （2）如图2，作的延长线于，同理（1），，则，，证明，进而结论得证； （3）由，可得，由题意知，分在线段上，在的延长线上两种情况求解；当在线段上时，如图3，作的延长线于，同理（1），，则，，，同理（2），，则，设，则，，，，根据，计算求解即可；当在的延长线上时，如图4，同在线段上求解作答即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图2，作的延长线于， 同理（1），， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 由题意知，分在线段上，在的延长线上两种情况求解； 当在线段上时，如图3，作的延长线于， 同理（1），， ∴，， ∴， 同理（2），， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴； 当在的延长线上时，如图4，作的延长线于， 同理， ，， 设，则，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为4或， 故答案为：4或． 17．(1)①＝，＝，证明见解析；②；③，证明见解析 (2) 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）①证明，得出，， ②由三角形外角的性质可得出结论； ③证明，得出，，，则可得出结论； （2）证明，推出，即可． 【详解】（1）解：①，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 故答案为：，． ②时，①中的结论仍然成立； 证明：， ， ， ， ； ③，①中的两个结论仍然成立． 证明：， ， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ； 故答案为：； （2）解：．理由如下 证明：，， 又，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 18．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析． 【分析】（1）根据题干所给证明方法完善证明过程即可得解； （2）①由得，由，，根据同角的余角相等即可得解；②过作交的延长线于点，则，进而得，证明，得，，再证明得，即可得证． 【详解】（1）证明∶小明∶过点作的延长线于点， ∵平分，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴； 小丽∶延长至，使，连接， ∵， ∴， ∵平分 ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过作交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵，，， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，中点定义，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 19．[方法探究]（1）；[问题解决]（2）证明方法见详解；[问题拓展]（3）证明过程见详解 【分析】本题主要考查了倍长中线，三角形三边数量关系，全等三角形的判定和性质，理解倍长中线，构造三角形全等，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． [方法探究]（1）延长到点，使，连接，运用“边角边”证明得到，由三角形三边数量关系即可求解； [问题解决]（2）根据题意可得点是中点，如图所示，延长到点，使得，可证，得到，再证，得到，由此即可求解； [问题拓展]（3）如图所示，延长交于点，延长到点，使得，过点作于点，过点作于点，可证，，，得到，即点是的中点，再证，得到，证明，得到，由此即可求证． 【详解】解：[方法探究]（1）延长到点，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； [问题解决]（2）∵， ∴， ∵， ∴，即点是中点， 如图所示，延长到点，使得， ∵点是中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴； [问题拓展]（3）如图所示，延长交于点，延长到点，使得，过点作于点，过点作于点， ∵，，，点共线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，，，， ∴ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即点是的中点， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； （2）延长到，使得，连接，由（1）的结论以及已知条件证明，进而可得，由，即可求得与的数量关系； （3），取中点，连接并延长至点，使得，连接和，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2），理由： 如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和， ∵为中点，为三等分点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴， 此时，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$