甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高三上学期第三次诊断考试数学试题

2024-2025学年度甘肃省兰州第一中学高三第三次诊断考试 数学试题 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 己知命题p：，．则命题p的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3．设a＝，b＝ln，c＝sin，则（ ） A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5.基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与近似满足.有学者基于已有数据估计出.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为（ ） A. 1.8天 B. 2.4天 C. 3.0天 D. 3.6天 6.在△ABC中，内角A，B，c所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定三角形有两解的是（ ） A．a＝5，b＝4，A＝ B．a＝4，b＝5，A＝ C．a＝5，b＝4，A＝ D．a＝4，b＝5，A＝ 7.若存在常数，使得函数对定义域内的任意值均有，则关于点对称，函数称为“准奇函数”.现有“准奇函数”对于，，则函数在区间上的最大值与最小值的和为（ ） A.4 B.6 C.7 D.8 8.已知数列，若对任意的，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二.多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.已知且，则下列结论正确的是（ ） A.的最大值为 B.的最大值为 C.的最小值为 D.的最大值为 10. 将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称．若，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的对称中心为 C. 对任意的，都有 D. 与的公共点的纵坐标为或 11．对于定义域为[0，＋∞)的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①∀x∈[0，＋∞)，f(x)≥0；②∀x≥0，y≥0，f(x＋y)≥f(x)＋f(y)，则称函数f(x)为“H函数”．下列结论正确的是 A．若f(x)为“H函数”，则其图象恒过定点(0，0) B．函数在[0，＋∞)上是“H函数” C．函数f(x)＝[x]在[0，＋∞)上是“H函数”([x]表示不大于x的最大整数) D．若f(x)为“H函数”，则f(x)一定是[0，＋∞)上的增函数 三.填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知，则_______. 13.已知，设函数的图象在点处的切线为，则与轴交点的纵坐标为______． 14. 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f′(－x)＞2f(x)，且f(3)＝0，则不等式f(x)＞0的解集为 . 四.解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． (1)若C＝2A，a＝2，b＝3，求c； (2)若a2＋b2＝c2，求证：3tanA＝2tanC． 16．（15分）党的十九大以来，恩施州深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化对接帮扶，州委州政府派恩施高中到杨家庄村去考察和指导工作.该村较为䏌困的有200户农民，且都从事农业种植，据了解，平均每户的年收入为0.3万元.为了调整产业结构，恩施高中和杨家庄村委会决定动员部分农民从事白茶加工，据估计，若能动员户农民从事白杀加工，则㔞下的继续从事农业种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事白杀加工的农民平均每户收入将为万元. （1）若动员户农民从事白茶加工后，要使从事农业种植的农民的总年收入不低于动员前从事农业种植的农民的总年收入，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事白杀加工的农民的总收入始终不高于从事农业种植的农民的总收入，求的最大值. 17.（15分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC＝60°，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2． (1)若D为A1C的中点，求证：AD⊥A1B； (2)求二面角A－A1C－B1的正弦值． 18.（17分）椭圆的离心率是，且过点. （1）求的方程； （2）过点的直线与的另一个交点分别是，与轴分别交于，且于点，是否存在定点使得是定值？若存在，求出点的坐标与的值；若不存在，请说明理由. 19.（17分）设函数f(x)＝xlnx，g(x)＝． (1)若直线y＝x＋b是曲线f(x)的一条切线，求b的值； (2)证明：①当0＜x＜1时，g(x)f(x)＞x(x－1)； ②∀x＞0，g(x)－f(x)＜．(e是自然对数的底数，e≈2.718) 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025学年度甘肃省兰州第一中学高三第三次诊断考试 数学参考答案 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C D D B B B 二.多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 题号 9 10 11 答案 BC AB AC 3. 填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 13.（0,1） 14. 四.解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【详解】（1），，则 ，，， ， 由正弦定理，可得：，则， 可得，解得，则， 由余弦定理，，故. （2），，， 由余弦定理，①， ②， ①与②相除可得：， ，两边同除以，可得. 16.【详解】（1）动员户农民从事白茶加工后，要使从事农业种植的农民的总年收入不低于动员前从事农业种植的农民的总年收入. 则，解得. （2）由于从事白茶加工的农民的总收入始终不高于从事农业种植的农民的总收入，则 ， 化简得. 由于，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以的最大值为11. 17.【详解】（1）∵侧面是菱形，∴， ∵为的中点，∴， ∵侧面底面，侧面底面，，底面， ∴侧面， ∵侧面，∴， ∵，∴平面， ∵平面，∴. （2）取中点，连接，从而， 又由，则， ∵侧面底面，侧面底面， ∴底面， 以为坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图： 由已知条件和上图可知，，，，， 由题意可知，为平面的一个法向量， 不妨设平面的一个法向量， 因为，， 从而， 令，则，，即， 设二面角为，由图可知为钝角， 从而，即， 故二面角的正弦值为. 18.【详解】（1）因为椭圆C：的离心率是， 所以，　　　　　　　　　　　　　　 即a=b，　　　　　　　　　　　　　　　　　　 因为过点P（2,1）， 有，　　　　　　　　　　　　　　　　　 联立a=b解得，， 故椭圆C的方程是．　　　　　　　　　 法二： 因为椭圆C：的离心率是， 所以，　　　　　　　　　　　　　　　　　 联立可得a=b，　　　　　　　　　　 因为过点P（2,1）， 所以，　　　　　　　　　　　　　　　 联立a=b解得，， 故椭圆C的方程是．　　　　　　　　　　 （2）依题意，直线AB存在斜率，设直线AB方程是， 　　联立，消去y得，， 　　　　　　　　　 设A（x1，y1），B(x2，y2)， 则x1＋x2 ，x1x2 ，　　　　　　　 直线PA：， 令x=0，得， 同理， 依题意知， 即， 　　 ， ， ，　　　　　　　　 　　 ， 整理得， 即，　　　　　　　　　　　　　　　 若，则直线AB过点P（2，1），不合题意，舍去， 若，则直线AB过点（0 ,－3）， 令D（0,－3），则点Q在以PD为直径的圆上，　　　　　　　 所以当R为PD的中点，即以PD为直径的圆的圆心时，|RQ|等于圆的半径， 故存在定点，使得|RQ|为定值. 19.【详解】（1）由，则， 设在上的切点为， 从而， 故在上的切点为， 将代入得，， 故的值为. （2）①当时，， 不妨令，则， 故在上单调递减， 从而对，都有， 故当时，. ②(i)由①知，当时，， 从而， 故， 欲证，只需证， 则， 令，则， 从而在上单调递减， 因为，， 由零点存在的基本定理可知，，使得， 从而， 结合在上单调递减可知，；， 故在上单调递增，在上单调递减， 从而， 故， 即当时，； (ii) 由，从而在上单调递增， 故当时，， 又因为在上单调递增， 故当时，， 当时，，此时， 综上所述，，. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$