浙江省嘉兴市2024-2025学年上学期“南中杯”数学学科素养与创新能力竞赛九年级数学试题

“南中杯”数学学科素养与创新能力竞赛 九年级数学 试题卷 本议题满分100分，答题时间90分钟。请你仔加审题，认真答题，并将答案写在答题卷上。 一、选择题（共8题，每小题3分，共24分） 上已等=号则下列等式中正确的（△）】 2 A 2x=3y y D.x=2,y=3 2.若把抛物线y=3x2-1向右平移2个单位，则所得抛物线的表达式为（▲） A.y=3x2-3 B.y=3x2+1 C.y=3(x+2)2-1 D.y3(x-2)2-1 3.如图，已知四边形ABCD内接于⊙0，若∠A0C140°， 则LADC等于（▲） A.100° B.110° C.120° D.130% 第3题图 4.从长度为1cm,1cm,2cm,2cm的4条线段中任意选3条线段，这三条线段能够 组成等腰三角形的概率是（▲） A是 B青 c D言 5.已知关于x的二次函数y=ax2-4ax(a>0).若P(m,n)和Q5,b)是抛物线 上的两点，且n>b,则m的取值范围为▲)】 A.m<-1 B.m>5 C.m<-1或m>5 D.-1<≤m<5 6.如图，四边形ABCD是菱形，边长为4W互，∠A=45°.点P 从点A出发，沿A→D→C方向以每秒√2个单位长度的速度 运动，同时点2沿射线BA的方向以每秒1个单位长度的速度 运动，当点P运动到达点C时，点也立刻停止运动，连 接PQ.△MP2的面积为y,点P运动的时间为x(0≤x≤8)秒， 第6题图 则能大致反映y与x之间的函数关系的图像是（▲） 九年级数学试愿卷 第1页共4页 7.抛物线y=ax2+bx+c交x轴点于A(-1,0),B3,0),交y轴的负半轴于点 C,顶点为D。下列结论： ①2a+b=0i ②2c<3bi ③当m为任意实数时，a+b≤am2+bm: ④方程cx2+bx+a=0的两个根为x1=一1，名=； 第7题图 ⑥抛物线上有两点P(x1,y1)和0(x2,y2),若x1<1< 且x1+2>2,则y1可y2·其中正确的有（▲）个. A.2 B.3C.4 D.5 8.如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D在CA上，CD=1,AD=4,∠BDC=3∠BAC, 则BC=(▲) A4页 B.5/11 11 11 7 7 二、填空题（共6题，每小题4分，共24分） 第8题图 9.有两辆车按1,2编号，洪、杨两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐2号车的 概率为▲ 10大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为 AB的黄金分割点(AP>PB),如果AB的长度为8cm,那么AP的长度为▲cm, 第10题图 第11题图 第13愿图 11如图，OA是⊙0的半径，弦BC⊥OA于点D,连结OB.若⊙0的半径为5Cm,BC 的长为8cm,则OD的长是▲cm. 12.已知，二次函数y=4x2-4ax+a2+2a+2在0≤x≤2上有最小值4，则a=▲： 13.已：如图，二次函数y=-音女+4的图像与y轴交于点，与×轴正半精交于点B, 点P在以A点为圆心，2个单位长度为半径的圆上，2点是BP的中点，连接0Q,则OQ 的最小值为▲一 九年极数学试题卷 第2页共4页 14.数学家菲尔贝提出借助图形代替演算的观点，这类图形称为“诺棋图”，如图是关于 x,y,2三者关系的诺模图，它是由点0出发的三条射线0A,0B,OC组成，每条射 线上都有相同的刻度，且射线端点刻度为0，其 中LA0C=∠B0C=60°，点A、B、C对应的刻 B 度值是x、y、Z,且A、B、C三点共线， (1)若x=20,y=12,则z的值是▲ A 2)若x=2y,则匠人一 第14题图 y 三、解答题（共6题，第1518题每题8分，第19、20题每题10分，共52分） 15.已知抛物线y=x2-4x-5. (1)求该图象的顶点坐标和对称轴。 (②)自变量在什么范围内时，y随x的增大而增大. 16.第19届亚运会在杭州举行，小聪与小明都是志愿者，他们被随机分配到A、B、C、 D四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同。 (1)小明被分配到D杨馆做志愿者的概率是多少？ (2)利用画树状图或列表的方法，求小聪和小明被分配到同一场馆做志愿者的概率。 17如图，在直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标如下： A(-1,1),B(2,3),C(0,3). (1)以原点O为位似中心，在x轴上方作与△ABC的位 似比为2的位似图形△A'B'C、 (2)顶点A'的坐标为▲ △A'B'C与△ABC的面积之比为▲一 18.在如图所示的方格纸中存在△ABC,其中，点A,B,C均在格点上. (1)用直尺作出△ABC的外接圆圆心O. (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1， 求△ABC外接圆半径R的长 (3)在(2)的条件下，求出弧AB的长度 九年级数学试题卷 第3页共4页 19.某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元：购进2件 甲商品和3件乙商品，需65元. (1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？ (2)设甲商品的销售单价为x(单位：元/件)，在销售过程中发现：当115x≤19时， 甲商品的日销售量y(单位：件)与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部 分数值对应关系如表： 销售单价x(元/件) 11 19 日销停量y(件) 18 请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式. (③)在(2)的条件下，设甲商品的日销售利淘为w元，当甲商品的销售单价x(元/件) 定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 20.如图1，△ACE,△MCD均为直角三角形，∠ACE=90°，∠ADC=90°，AE与CD 相交于点P,以CD为直径的⊙O恰好经过点E,并分别于AC,AE交于点B和点F,连 接DF. ()求证：∠ADF=∠EAC: 2)如图2，过O作OG∥CE,交BC于点G,连接DE,若BC=12,OG=8, 则DE·AC的值是多少？ 何如图3，在此图情况下，者瓷--，试用含x的代嫩武表示 D G B 图1 图2 图3 1.C 2.D 3.B 4.A 5.C 6.B 7.B 8.c 9 10.4V5-4 11.3 12.1或-1-V 13.93 14.19(2)月 15.(1)(2.-9),x=2:(2)x>2 16.4)(2)号 17.(1)略：(2)(-2,2)，4：1 18.1)略：(2)V而：(3) 19.(1)10,15: (2)y=-2x+40 (3)W=(-2x+40x-10)=-2x-15)2+50 当x=15时，利润最大，最大利润为50 20.(1),'∠ACE=∠ADC=90% ,.∠ADF+∠PDF=909∠EAC+∠E=90, ∠PDF=∠E, ∴.∠ADF=∠EAC (2).OG∥CE, .∴.∠CG0=180-∠ACE=909 .OG⊥BC ,BC=12.0G=8. ∴CG=BG=5BC=6, ∴0C=VCG+0G=10, CD是⊙O的直径， ∴.CD=20C=20,∠CED=90°， ∴.∠CED=∠ADC,∠CDE=∠ACD=90-∠DCE, .△CDE∽△ACD. 器是 .DE·AC=CD2=202=400. ∴.DE·AC的值是400. (3)连结CF,则∠CFD=90 ,∠DCF+∠PDF=90°，∠EAC+∠E=90°，∠PDF=∠E, ∴.∠EAC=∠DCF, :∠ACE=∠CFD, ,.△ACEn△CFD. 器盖 '∠E=∠PDF,∠EPC=∠DPF. ∴.△EPC∽△DPF, "器 斧-畿 深 :∠PCF=∠PAC.∠FPC=∠CPA. ∴.△PCF∽△PAC 贤柴 ∴.PC2=PF·PA=PFPF+AF=PF2+PF·AF :S=PC+=1+片=1+ 1+= y=2-1