精品解析：湖南省长沙市芙蓉高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

长沙市芙蓉高级中学2024年下学期高二期中考试数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数定义域是（ ） A. B. C. D. 2 若复数，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 平面内与两定点的距离之和为14的点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 椭圆 C. 圆 D. 线段 6. 以点为圆心，且经过点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）如图，在平面直角坐标系中有三条直线，，，其对应的斜率分别为，，，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 椭圆的焦距为4，则m的值可能是（ ） A 12 B. 10 C. 6 D. 4 11. 已知椭圆上有一点分别为左、右焦点，面积为S，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 面积的最大值为 D. 若为钝角三角形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与直线的交点坐标为_______ 13. 函数的最小正周期是_______． 14. 已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线和， （1）若与平行，求m的值； （2）若与垂直，求m的值． 16. 如图在棱长为2的正方体中，点E是AD的中点，求： （1）异面直线和所成的角的余弦值 （2）点到平面的距离 17. 已知圆C的方程为． （1）若点P（5，b）在圆C上，求实数b的值； （2）若直线l与直线平行，且被圆C所截得的弦长为4，求直线l的方程． 18. 已知O为坐标原点，双曲线的焦距为6，且经过点. （1）求双曲线C标准方程； （2）已知点，点P在双曲线C上，设直线的斜率分别为，请问是否为定值，如果是求出其值，如果不是，请说明理由． 19. 椭圆的左、右焦点分别为，过作直线交E于两点．过作垂直于直线的直线交E于两点．直线与相交于点P． （1）若直线的斜率为1，求直线的方程． （2）求点P轨迹方程． （3）求四边形面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市芙蓉高级中学2024年下学期高二期中考试数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由具体函数定义域求解即可. 【详解】函数的定义域为：， 解得：. 所以函数的定义域是. 故选：A. 2. 若复数，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的模长公式求解即可. 【详解】复数，则. 故选：C. 3 若，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的减法运算求解. 【详解】因为， 所以， 故选：A 4. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的倾斜角和斜率的关系求解即可. 【详解】直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 所以，所以. 故选：C. 5. 平面内与两定点的距离之和为14的点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 椭圆 C. 圆 D. 线段 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义求解. 【详解】解：设动点为P， 则， 所以动点P的轨迹是椭圆， 故选：B 6. 以点为圆心，且经过点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心和经过的点求得半径即可. 【详解】解：因为圆是以点为圆心，且经过点， 所以圆的半径为：， 所以圆的方程为， 故选：A 7. 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先由双曲线的方程知双曲线的焦点在轴上，又，即可求出焦点坐标. 【详解】由双曲线可知双曲线的焦点在轴上， 又，所以，所以. 所以双曲线的焦点坐标为. 故选：D. 8. 若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图像，即可分析出直线与圆相交的两个交点只能位于第一象限，再结合图像求出直线与圆相切和过点时的斜率，即可写出斜率k的取值范围. 【详解】因为圆为以为圆心2为半径的圆，经过一四象限， 又直线过定点， 所以直线与圆相交的两个交点只能位于第一象限，如下图所示， 又易知圆与轴的两个交点，， 当直线经过点时，， 如图，当直线经过点，即直线与圆相切时，设圆心到直线的距离为， 则，整理得到，解得， 结合图像可知， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）如图，在平面直角坐标系中有三条直线，，，其对应的斜率分别为，，，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据三条直线的倾斜角，直接判断斜率的大小关系. 【详解】由题图可知，，，，且，可知A，B，C错误. 故选：ABC． 10. 椭圆的焦距为4，则m的值可能是（ ） A. 12 B. 10 C. 6 D. 4 【答案】AD 【解析】 【分析】分椭圆的焦点在轴，或在轴，根据椭圆方程，即可求解. 【详解】若椭圆的焦点在轴，则，，， 由，得； 若椭圆的焦点在轴，则，，，由，得， 故选：AD 11. 已知椭圆上有一点分别为左、右焦点，的面积为S，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 面积的最大值为 D. 若为钝角三角形，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】用椭圆的焦点三角形的性质分别对四个选项判断即可， 【详解】对于椭圆，设，，，则 ，由此可得①， 所以的面积， 对于A：若，则，故A正确； 对于B：由①知， （当且仅当，即点是短轴端点时取等号）， 所以，因此不可能是，故B错误； 对于C：当P为短轴的端点时， 面积的最大值为，故C正确， 对于D：由以上分析可知，不可能是钝角，由对称性不妨设是钝角， 先考虑临界情况，当时，易得， 此时，结合图形可知， 当是钝角时，，故D正确； 故选：ACD， 【点睛】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与直线的交点坐标为_______ 【答案】 【解析】 【分析】联立两条直线方程，即可求解. 【详解】联立，得， 所以交点坐标为. 故答案为： 13. 函数的最小正周期是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】函数最小正周期是：. 故答案为：. 14. 已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得，从而求得，进而结合正切的定义即可求解． 【详解】由题意可知，， 设，可得直线的斜率分别为，， 因为点在双曲线上，则，整理得，所以， 设点，可得直线，的斜率，， 因为点在椭圆上，则，整理得， 所以，即， 则，所以直线与关于轴对称， 又因为椭圆也关于轴对称，且，过焦点，则轴， 又，则， 所以， 整理得，即，解得，或（舍去）， 所以椭圆的离心率为． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： 定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； 齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； 特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线和， （1）若与平行，求m的值； （2）若与垂直，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意利用两条直线平行的性质，求出m的值； （2）由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值． 【小问1详解】 若与平行，则，解得：或， 当时，直线和，与平行； 当时，直线和，与重合. 综上：. 【小问2详解】 当时，即时，与垂直， 即时，与垂直. 16. 如图在棱长为2的正方体中，点E是AD的中点，求： （1）异面直线和所成的角的余弦值 （2）点到平面的距离 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 则，，所以， 所以异面直线和所成的角的余弦值为. 【小问2详解】 解：因，，， 设平面的法向量为， 所以，即，令，则， 所以点到平面的距离. 17. 已知圆C的方程为． （1）若点P（5，b）在圆C上，求实数b的值； （2）若直线l与直线平行，且被圆C所截得的弦长为4，求直线l的方程． 【答案】（1） （2），或 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入圆方程中可求出实数b的值， （2）由题意设直线l的方程为，根据圆的半径，弦长求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距公式列方程可求出，从而可求得直线方程 【小问1详解】 因为点P（5，b）在圆C上， 所以，解得； 【小问2详解】 ∵直线l与直线平行， ∴设直线l的方程为， 设圆心C（2，1）到直线l的距离为d，则， 又由已知，可得， ∴， 解得c = 0，或c =10， ∴直线l的方程为，或. 18. 已知O为坐标原点，双曲线的焦距为6，且经过点. （1）求双曲线C标准方程； （2）已知点，点P在双曲线C上，设直线的斜率分别为，请问是否为定值，如果是求出其值，如果不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）为定值，其值为. 【解析】 【分析】（1）利用焦距为6可求，双曲线的方程可设为，将代入求解可得，即可求出曲线的轨迹方程. （2）设，计算，利用在椭圆上化简可得定值. 【小问1详解】 由题意可得出：，则， 所以双曲线的方程可设为，因为经过点， 所以，化简可得：， 解得：或（舍去）， 所以双曲线C标准方程为：. 【小问2详解】 ，设， 因为在双曲线上，所以，则， 则. 所以为定值，其值为. 19. 椭圆的左、右焦点分别为，过作直线交E于两点．过作垂直于直线的直线交E于两点．直线与相交于点P． （1）若直线的斜率为1，求直线的方程． （2）求点P的轨迹方程． （3）求四边形面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直的斜率关系，以及过的定点，即可求解直线方程； （2）根据，转化为坐标运算，即可求点的轨迹方程； （3）首先分直线的斜率为0或不存在，以及直线的斜率存在且不为0两种情况，利用对角线互斥垂直，利用对角线的长度表示四边形的面积，利用函数关系求取值范围. 【小问1详解】 由条件可知，，，则， 所以，, 因为直线的斜率为1，所以直线的斜率为，且直线过点， 所以直线的方程为，即； 【小问2详解】 设，依题意，，且， ，， 所以，即， 故点的轨迹方程为； 【小问3详解】 依题意，， 过作平行于的直线交于两点，由对称性可知，， ①当的斜率为0或斜率不存在时，和是或，； ②当的斜率存在且不为0时，设，，， 联立方程，得， ，，， 故， 同理， 故， 令，，则， 其中，故， 综上， 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是将转化为，利用和都过点的特征，且斜率的关系，根据，直接表示. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $