精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第一中学2025届高三上学期第一次模拟考试数学试卷

衡阳县一中2025届高三上学期第一次模拟考试卷 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求函数的定义域求得集合 ，进而求得. 【详解】由解得，所以， 所以，所以. 故选：D 2. 已知是的共轭复数，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求得，再根据共轭复数的定义求解即可. 【详解】， 则. 故选：B. 3. “”是“直线与圆相切”的 （　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系求得 ，根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 若直线与圆相切， 则有，解得或. 所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 故选：A 4. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以 的中点 为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 存在最大值为9 D. 的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】将分别用表示，结合数量积的运算律计算判断AB；以点 为原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算计算判断CD. 【详解】在边长为3的正 中，， 为 的中点，则， 对于A，由，得，则，A正确； 对于B，， 则 ，B正确； 对于C，以点 为原点，直线 为 轴建立平面直角坐标系，如图， 则，显然点在以 为圆心，为半径的下半圆上， 设， 则， ， 由，得，则当时，取得最大值，C正确； 对于D，由，得， 即， 因此，则， 而，则当时，取得最大值，D错误. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键是建立合适平面直角坐标系，再设，从而写出相关向量，计算其数量积，并结合三角函数的性质得到其范围. 5. 已知点为椭圆上任意一点，直线 过的圆心且与交于 ， 两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心 为 的中点，利用向量运算将用来表示，转化为椭圆上一点到焦点的距离范围求解即可. 【详解】，即的圆心，半径为 ， 椭圆方程中，，， 则圆心为椭圆的右焦点，线段 为的直径，连接， 因此 ，点为椭圆上任意一点， 则，，即， 所以. 故选：A 6. 有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（ ） ①，且； ②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则 不小于1992. A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算在第一局中：摸1次，摸3次，，摸次甲获胜概率，可得，从而求得，由于第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球，可得，利用数列求通项公式的构造法，可得是首项为，公比为的等比数列，求出，解不等式即可求解. 【详解】第一局：摸1次甲获胜概率为：，摸3次甲获胜概率为：， 摸5次甲获胜概率：，摸7次甲获胜概率：，， 摸次甲获胜概率： ， 所以， 所以， 第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球， 则，故①正确； 由，设，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 则，即， 所以，即， 即，即，即， 则，即，解得， 所以 不小于1992，所以②正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是在第一局中求出摸1次，摸3次，，摸次甲获胜概率，可得其概率是等比数列，从而得到，利用数列求和和极限的知识进行求解. 7. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥，该三棱锥为鳖臑，，为半圆柱的圆心，半径为2，，，动点在内运动（含边界），且满足，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据鳖臑的特点及已知边长得出进而得出点的轨迹为以为圆心以为半径的半圆即可求出轨迹长度. 【详解】因为三棱锥为鳖臑，平面， 在中，， 过 做垂足为，则， 即，所以， 因为， ， 在中，， 所以，则， 又平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以中，， 过 作，， 即，可得， 则过作，因为是 中点，所以， 所以动点在内（含边界）的轨迹为以为圆心以为半径的半圆， 则点的轨迹长度为. 故选：A. 8. 已知函数有零点，那么实数 的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用零点的意义并作恒等变形，借助函数单调性可得，再分离参数构造函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】由，得，即， 则，令函数，则有， 而函数都是R上的增函数，于是函数是R上的增函数， 因此，即，令，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数在时取得最大值，所以实数 的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用函数零点的意义建立等式，利用同构变形并借助函数单调性建立的函数关系是解题的关键. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 抛物线C：的准线为 ，过焦点F的直线与C交于A，B两点，分别过A，B作 的垂线，垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 的最小值为4 C. ，，成等差数列 D. ，，成等比数列 【答案】BD 【解析】 【分析】设，，联立方程可得韦达定理.对于A：根据直线垂直的斜率关系分析判断；对于B：根据面积关系结合韦达定理分析判断；对于CD：根据面积结合等差、等比数列性质分析判断. 【详解】由题意可知：焦点，准线，直线 的斜率不为0，且与抛物线必相交， 设，，则， 可得， 联立方程，消去x可得， 则， 对于选项A：因为，可得， 可知，所以为直角三角形，故A错误； 对于选项B：因为， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为4，故B正确； 对于选项CD：因为， 则 ， 即，显然不恒相等，且不为0， 所以，，成等比数列，不成等差数列，故C错误，D正确； 故选：BD. 【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法 （1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解； （2）面积问题常采用底 高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解； （3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用． 10. 如图，在三棱锥中，两两垂直， 为 上一点，，分别在直线上，，则：（ ）. A. B. C. 若平面且到距离相等，则直线 与的夹角正弦值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】建系标点，设，根据向量垂直可得.对于A：根据向量垂直的坐标表示分析判断；对于B：利用坐标运算求模长即可；对于C：举反例说明即可；对于D：分析可知当时，取到最小值，结合向量的坐标运算求解. 【详解】如图，以 为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设，则， 因为，则，解得. 对于选项A：因为，且， 可得， 则，所以，故A正确； 对于选项B：因为，所以，故B错误； 对于选项C：因为， 例如平面过 的中点，且与平面平行， 则到平面的均为距离，符合题意，此时平面的法向量， 可得， 此时直线 与的夹角正弦值为，故C错误； 对于选项D：设， 则，， 若取到最小值，则， 可得，解得， 则，， 所以的最小值为，故D正确； 故选：AD. 11. 在平面直角坐标系中有一点 ， 到定点与轴距离之积为一常数 ， 点构成的集合为曲线 ，已知 在或分别为连续不断的曲线，则下列说法正确的是：（ ）. A. 曲线 关于直线对称 B. 若，则时 到轴距离的最大值为 C. 若， 如图，则 D. 若 与 轴正半轴交于，则与 轴负半轴的交点横坐标在区间内 【答案】BCD 【解析】 【分析】设点，求出曲线 的方程，利用曲线的对称性可判断A选项；当时，变形可得出，解关于 的不等式，可判断B选项；分析可知，当时，直线与曲线 有两个交点，数形结合可判断C选项；在曲线 的方程中，令，当时，化简曲线 的方程可得出，令，利用导数分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可判断D选项. 【详解】设点，则， 对于A选项，点 关于直线的点为， 因为， 即点不在曲线 上，所以，曲线 不关于直线对称，A错； 对于B选项，当时，曲线 的方程为， 当时，则，则， 所以，，可得，可得， 对于不等式，即，显然该不等式恒成立， 对于不等式，即，解得， 因为，则，此时，若，则时 到轴距离的最大值为 ，B对； 对于C选项，点关于直线的对称点为， 因为， 即点在曲线 上，故曲线 关于直线对称， 如下图所示，当时，直线与曲线 有两个交点， 当时，在曲线 的方程中，令，可得，可得， 所以，曲线与在上的图象有两个公共点，如下图所示： 显然，曲线与射线在上的图象有一个公共点， 则曲线与线段相切， 由，可得，则，可得， 且当时，方程为，解得，合乎题意， 综上所述，，C对； 对于D选项，若曲线 与 轴正半轴交于， 则，则有， 当时，令可得，整理可得， 即， 令，其中， 则对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递增， 因为，，则， 所以，曲线 与 轴负半轴的交点横坐标在区间内，D对. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，考查数形结合的数学思想方法，由已知求出轨迹方程，是难题；根据曲线的定义求出曲线方程，难点将交点问题转化为函数图象的公共点问题，数形结合，即可得出结论. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先分析函数的奇偶性和单调性，再将不等式转化为，再将不等式，转化为，利用基本不等式求最值，即可求解. 【详解】因为的定义域为， ， 所以为奇函数.因为函数在上单调递增， 函数在上单调递增， 所以在上单调递增. 因为为R上的奇函数，所以在上单调递增， 因为，所以不等式即为，则. 因为，所以，即. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数奇偶性和单调性，利用函数的单调性，解抽象不等式. 13. 已知数列的前项和为，满足，函数定义域为，对任意都有，若，则的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据与的关系求数列的通项公式，再研究函数的周期性，结合二项式定理，确定除以4所得的余数，可得问题答案. 【详解】对数列：当时，， 当时，，所以， 两式相减得：. 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列. 所以.所以. 对函数： 令得：；令得：； 令得：；令得：… 所以函数为周期函数，且周期为4. 又因为：.（） 所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：因为该题是填空题，所以对函数的周期性可以不用严格的证明，只需求出几个函数值，观察出周期性即可. 14. 已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过的直线 与双曲线的右支交于 、 两点（其中 在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线 的斜率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】作出示意图，由切线性质结合双曲线定义可得两内切圆都与轴相切于，后设直线倾斜角为，由几何知识可得，后由两圆外切相关条件可得答案. 【详解】设的内切圆的圆心为，的内切圆的圆心为， 记边上的切点分别为， 由切线的性质可得：，由双曲线定义可得：，即，则，又. 则，又，则，即. 同理可得，的内切圆也与轴相切于点. 连接，则与 轴垂直，设圆与 相切于点 ，连接， 过点作，记垂足为，则. 设直线倾斜角为，则. 在四边形中，注意到，又四边形内角和为， 则，在中，， ， 则， 则直线斜率，即. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：双曲线上一点与两焦点形成的三角形的内切圆与x轴相切于双曲线顶点处. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知数列，其前项和为，对任意正整数恒成立，且. （1）证明：数列为等比数列，并求实数的值； （2）若，数列前项和为，求证：； （3）当时，设集合，.集合中元素的个数记为，求数列的通项公式. 【答案】（1） 由题意得， 两式相减可得， 令可得，即. 令可得，即，所以 又. 数列为首项为4，公比为2的等比数列. （2） 由（1）可知，所以. ， 要证成立， 只需证，即 令， 当时，单调递增, 故， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据的关系，结合等比数列定义，即可证明结论；进而结合已知求出实数的值； （2）结合（1）可求出的表达式，进而可得表达式，继而推出只需证明，构造函数，利用导数判断函数单调性，即可证明结论； （3）由题意可知中元素个数等价于满足的不同解的个数，利用反正思想推出，从而推出不等式共个不同解，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 时，集合， 即， 中元素个数等价于满足的不同解的个数， 如果，则，矛盾； 如果，则，矛盾 ， 又， ， 即，共个不同解，所以. 【点睛】难点点睛：本题为数列的综合应用问题，解答的难点在于第二问，要注意列用类加的方法得出，从而要证成立，只需证，即，从而构造函数，结合导数解决问题. 16. 已知点是边长为2的菱形 所在平面外一点，且点在底面 上的射影是 与的交点 ，已知是等边三角形． （1）求证：； （2）求二面角； （3）若点 是线段 上的动点，问：点 在何处时，直线与平面所成的角的正弦值最大？求出最大角正弦值，并说明点 此时所在的位置． 【答案】（1） 由点在底面 上的射影是 与 的交点 ， 得平面 ，又平面 ，则， 由四边形 为菱形，得，而平面， 因此平面，又平面，所以. （2） （3）点 在线段 上靠近 点的处，最大角正弦值为． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理得证. （2）过作于 ，利用定义法求出二面角的平面角. （3）证得平面，利用等体积法求出点 到平面的距离，再列式表示出角的正弦，进而推理求解最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作于 ，连接 ，由平面 ，平面 ，得， 又，平面，则平面，又平面， 因此，为二面角的平面角， 由是正三角形，得，由是正三角形，得， 由，知， 在中，，即， 所以二面角的大小为． 【小问3详解】 由，且平面平面，得平面， 则点 到平面的距离即为 到平面的距离，而， 即，则， 解得，即 到平面的距离为， 设直线与平面所成的角为，则， 要使最大，则需使最小，此时，同理可得， 因此， 则当点 在线段 上靠近 点的处时，直线与平面所成的角最大，最大角正弦值为. 17. 某口罩生产厂商不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于的为二级口罩，质量指标值不低于的为一级口罩． （1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第百分位数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取 个口罩，再从中抽取 个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差； （3）在年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲､乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值． 【答案】（1）平均数为123；第60百分位数为125 （2）的分布列如下： 0 1 2 方差为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图，利用平均数和中位数的计算方法，即可求解； （2）先求出一级口罩与二级口罩的个数比，进而得随机抽取 个口罩中，一级口罩与二级口罩的个数，再得出的可能取值及对应的概率，即可求出分布列，利用期望和方差的计算公式，即可求解； （3）根据条件得的可能取值及对应的概率，从而得，令，构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系，求出的最大值，即可求解. 【小问1详解】 该厂商生产口罩质量指标值的平均数为 ； 因为， 故第百分位数落在内，设其为 ，则， 解得，故第百分位数为. 【小问2详解】 一级口罩与二级口罩的个数比为， 现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，则一级口罩有个，二级口罩有个， 再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为， 又，，， 故的分布列如下： 0 1 2 数学期望为， 方差为. 【小问3详解】 的可能取值为， ， ， ， 故， 令，设，则， 因为，当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 当，即时，取最大值． 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，直线的倾斜角为 （1）求直线的方程及椭圆 的方程. （2）若椭圆 上的两动点A，B均在 轴上方，且，求证：的值为定值. （3）在（2）的条件下求四边形的的面积 的取值范围. 【答案】（1）， （2）证明：设，，， 则 关于原点的对称点，即， 由， 三点共线，又，. 设代入椭圆方程得 ，，，. ， ， . （3） 【解析】 【分析】（1）由长轴长的长度可求 的值，又利用点和直线的倾斜角可得，进而用可求，从而可得直线方程和椭圆的方程； （2）设，，则 关于原点的对称点，即，由的斜率可得三点共线，进而得，设代入椭圆方程，由韦达定理可得，，从而计算可得结果； （3）由题意可知四边形为梯形，由点到直线的距离可得高，进而结合梯形的面积公式利用基本不等式可得结果. 【小问1详解】 由长轴长为，可得，. 因为点上顶点，直线的倾斜角为， 所以中，，则， 又，则. 因为，， 所以直线的方程为. 椭圆 的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 四边形为梯形， 令，则 （当即时等号成立）. 【点睛】 关键点点睛：设 关于原点的对称点，即，进而由平行关系判断三点共线，设，由韦达定理可得，，从而计算可得结果； 在求的范围的时候，通过变形利用基本不等式可求最大值即可. 19. 解答下列问题： （1）求函数的极小值； （2）若，函数为上严格增函数，求实数的取值范围； （3）已知，，且只有一个极大值点，求实数 的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数求解即可； （2）由题意可知在R上恒成立，即在R上恒成立，设，利用导数求出函数的最小值即可； （3）求导得，，分恒成立，及有两实数根，分别求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值为， 所以函数的极小值为； 【小问2详解】 因为函数为上严格增函数， 所以在R上恒成立， 即在R上恒成立， 设， 则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 所以， 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 因为，， 所以，， 因为函数只有一个极大值，故恒成立或方程有两个不同的根. 若恒成立，即在上恒成立， 则当时，单调递增； 当时，单调递减； 此时函数只有一个极大值点，满足题意，所以此时， 由（1）可知，所以； 令，则， 故当时，单调递减；当时，单调递增； 且时，时；时，如图， 若方程即有两个不同的根，则， 显然，当时，单调递增；当时，单调递减， 所以在处取得极大值， 因为只有一个极大值点，所以只能，即是的一个根，此时， 当时，， 令，解得；令，解得或， 所令在和上单调递增，在上单调递减，满足题意； 综上，. 【点睛】关键点睛：本题的第（3）问的求解关键是分恒成立和有两不相等实数根进行讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县一中2025届高三上学期第一次模拟考试卷 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是的共轭复数，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 3. “”是“直线与圆相切”的 （　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以 的中点 为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 存在最大值为9 D. 的最大值为 5. 已知点为椭圆上任意一点，直线 过的圆心且与交于 ， 两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（ ） ①，且； ②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则 不小于1992. A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 7. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥，该三棱锥为鳖臑，，为半圆柱的圆心，半径为2，，，动点在内运动（含边界），且满足，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有零点，那么实数 的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 抛物线C：的准线为 ，过焦点F的直线与C交于A，B两点，分别过A，B作 的垂线，垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 的最小值为4 C. ，，成等差数列 D. ，，成等比数列 10. 如图，在三棱锥中，两两垂直， 为 上一点，，分别在直线上，，则：（ ）. A. B. C. 若平面且到距离相等，则直线 与的夹角正弦值为 D. 的最小值为 11. 在平面直角坐标系中有一点 ， 到定点与轴距离之积为一常数 ， 点构成的集合为曲线 ，已知 在或分别为连续不断的曲线，则下列说法正确的是：（ ）. A. 曲线 关于直线对称 B. 若，则时 到轴距离的最大值为 C. 若， 如图，则 D. 若 与 轴正半轴交于，则与 轴负半轴的交点横坐标在区间内 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是______. 13. 已知数列的前项和为，满足，函数定义域为，对任意都有，若，则的值为_______. 14. 已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过的直线 与双曲线的右支交于 、 两点（其中 在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线 的斜率为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知数列，其前项和为，对任意正整数恒成立，且. （1）证明：数列为等比数列，并求实数的值； （2）若，数列前项和为，求证：； （3）当时，设集合，.集合中元素的个数记为，求数列的通项公式. 16. 已知点是边长为2的菱形 所在平面外一点，且点在底面 上的射影是 与的交点 ，已知是等边三角形． （1）求证：； （2）求二面角； （3）若点 是线段 上的动点，问：点 在何处时，直线与平面所成的角的正弦值最大？求出最大角正弦值，并说明点 此时所在的位置． 17. 某口罩生产厂商不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于的为二级口罩，质量指标值不低于的为一级口罩． （1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第百分位数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取 个口罩，再从中抽取 个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差； （3）在年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲､乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值． 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，直线的倾斜角为 （1）求直线的方程及椭圆 的方程. （2）若椭圆 上的两动点A，B均在 轴上方，且，求证：的值为定值. （3）在（2）的条件下求四边形的的面积 的取值范围. 19. 解答下列问题： （1）求函数的极小值； （2）若，函数为上严格增函数，求实数的取值范围； （3）已知，，且只有一个极大值点，求实数 的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $