精品解析：福建省莆田第二中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷

莆田二中2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理，结合函数单调性即可判断选项. 【详解】由题意可知：函数在定义域上单调递减，且函数单调递减，连续不断， 因为，， 所以函数的唯一零点所在的区间是. 故选：B 2. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，再结合指数函数的性质计算可得. 【详解】函数的定义域为，又当时，所以， 当时，所以， 所以函数的值域为. 故选：B 3. 设，现用二分法求关于的方程在区间内的近似解，已知，则方程的根落在区间（ ）内 A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理结合已知条件分析判断即可. 【详解】因为，，且的图象在上连续， 所以在上至少存在一个零点， 因为，所以在上存在零点， 因为，所以在上存在零点， 所以方程的根落在区间内， 故选：B 4. 设，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，结合对数函数的单调性判断. 【详解】因为，， 所以， 故选：C 5. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用当时即可排除选项B，D，利用基本不等式可得，可知的图象在的图象的下方，进而排除C. 【详解】当时，有，故B，D错误； 对任意，均有， 即的图象在的图象的下方，结合的图象特征可知C错误； 故选：A. 6. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域以及复合函数的单调性即可求解. 【详解】由于函数在上是增函数， 因为函数为减函数，则函数在区间上为减函数， 所以，得，当时，有，得， 因此实数的取值范围是． 故选：A. 7. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却．1min后物体的温度是，那么该物体的温度降至还需要冷却的时间约为（参考数据：）（ ） A. 2.9min B. 3.4min C. 3.9min D. 4.4min 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的函数模型，列式并借助对数运算求解即得. 【详解】依题意，由的物体，放在的空气中冷却，后物体的温度是， 得，解得， 该物体的温度降至需要冷却的时间为，则， 于是，两边取对数得， 所以该物体的温度降至还需要冷却的时间约为. 故选：D 8. 已知的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据的定义域为，且是奇函数，得到的图象关于对称，且，再根据的图象也关于对称，画出两个函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】解：因为的定义域为，且是奇函数， 所以，则的图象关于对称，且， 当时，， 又因为函数， 所以的图象关于对称， 所以方程的所有的根之和即为两个函数图象交点的横坐标和， 和的图象，如图所示： 由图象知：和的图象有5个交点，其中一个交点的横坐标为1，另外四个，两两分别关于对称， 所以5个交点的横坐标之和为， 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 在上单调递减 D. 的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求定义域再根据定义判断函数奇偶性判断A,B,应用复合函数单调性判断C,应用函数单调性及范围得出函数值域判断D. 【详解】对于函数，令，解得或， 即函数的定义域为， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数，所以A正确，B不正确； 又由， 因为在上单调递减，且在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，所以C正确； 当时，所以，即； 当时，所以，即， 所以的值域为，故D正确． 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知方程的解在内，则 B. 函数的零点是， C. 方程的一个实根在区间内，另一个实根大于，则实数的取值范围是. D. 若函数在区间上有零点，则一定有 【答案】AC 【解析】 【分析】构造函数，根据零点存在性定理可判断A； 求出函数的零点可判断B； 构造函数，根据二次函数的图象求出的范围，可判断C； 利用特殊函数可判断D. 【详解】对于A，令，显然为增函数， 因为，， 所以在内有唯一零点，所以方程在内有唯一解， 因为方程的解在内，所以，故A正确； 对于B，令，得或， 所以函数的零点是和，故B不正确； 对于C，令，依题意可得，即， 解得，故C正确； 对于D，因为在上有两个零点，但是，故D不正确； 故选：AC 11. 如果对于任意实数，函数满足，则称为“梓荫函数”，则下列结论中正确的是（ ） A. 为“梓荫函数” B. 为“梓荫函数” C. 若为“梓荫函数”，则 D. 若为“梓荫函数”，则在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】根据“梓荫函数”的定义进行验证即可． 【详解】选项A，，，，故A错； 选项B，对于任意实数， ，故B正确； 选项C，为“梓荫函数”，则 ，故C正确； 选项D，是“梓荫函数”，但它在上不是单调递增的，故D错． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若满足满足则等于________． 【答案】 【解析】 【分析】将所给式化简可得，，进而和是直线和曲线、曲线交点的横坐标.再根据反函数的性质求解即可 【详解】由题意，故有 故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标. 根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 故曲线和曲线的图象交点关于直线对称. 即点和点构成的线段的中点在直线上， 即，解得， 故答案为：. 13. 已知当时，有解，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出的范围，再分、两种情况讨论，结合对数函数的单调性，求出的范围，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】因为当时，， 当时，在上单调递增，且， 显然无解，故舍去； 当时，在上单调递减，且， 要使当时，有解，只需，解得； 综上可得实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】令，根据函数解析式以及零点解得或，分析可知与、共有3个不同的交点，结合图象分析求解即可. 【详解】令，则， 若，可得，解得或； 若，可得，无解； 综上所述：或，即或， 由题意可知：与、共有3个不同的交点， 作出的图象，如图所示， 显然，可得或， 解得或，所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）按指数幂的运算法则计算即可； （2）按对数的运算法则计算即可. 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 . 16. 设，且． （1）求的值及的定义域； （2）求在区间上的最值. 【答案】（1），定义域为 （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据代入求出的值，即可得到解析式，再根据对数的真数大于得到不等式组，求解即可； （2）首先分析函数的单调性，求出最大值与区间端点函数值，进而可得解. 【小问1详解】 因为，且， 所以，即，解得. 故, 令，解得, 故的定义域为. 【小问2详解】 因为，， 又，在上单调递增，在上单调递减， 在定义域上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 17. 2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据： 1 2 3 4 5 6 … (人数) … 6 … 36 … 216 … 若奥密克戎变异株的感染人数y与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择． （参考数据：，，，） （1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （2）求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人． 【答案】（1）， （2）11个 【解析】 【分析】（1）利用已知的三对数据代入函数模型进行验证得出结果； （2）根据指对互化以及对数运算求得结果. 【小问1详解】 若选，将，和，代入得，解得 得，代入有，不合题意． 若选，将，和，代入得， 解得，得．代入有，符合题意． 【小问2详解】 设至少需要x个单位时间，则，即， 则，又，， ，∵， ∴x的最小值为11，即至少经过11个单位时间不少于1万人． 18. 已知函数是定义在R上的奇函数，其中为指数函数，且的图象过定点． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明的单调性； （3）若对任意的，不等式，恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 函数在R上单调递减，证明如下： 设，则． 因为，所以，所以， 所以，即， 所以函数在R上单调递减． （3） 【解析】 【分析】（1）设(，且)，再代入求解可得，再根据奇函数满足求解即可； （2）根据题意结合单调性的定义分析证明； （3）根据函数的单调性与奇偶性可将不等式转化为对任意的，恒成立，再根据对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可. 【小问1详解】 设(，且)，则，所以 (舍去)或， 所以，． 又为奇函数，且定义域为R， 所以，即，所以，经检验符合题意， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 要使对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立． 因为为奇函数，所以恒成立． 又因为函数在R上单调递减， 所以对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立． 令，，二次函数对称轴为. 当时，成立； 当时，，所以，； 当，，无解； 综上，． 19. 已知函数． （1）若函数的零点在区间上，求正整数k的值； （2）记，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由零点存在性定理以及函数单调性的定义得出结果； （2）根据对数运算、对数函数的定义域以及参变分离结合基本不等式求得结果. 【小问1详解】 由， 得， 令，定义域为． 任取， ∵，∴，， ∴，在上单调递增． ，，由零点存在定理知． 【小问2详解】 由已知得恒成立，即， 显然，首先对任意成立，即， 由，得，所以． 其次，， 设，，则有，， 令，，， 由基本不等式知，，当且仅当时，等号成立 则有最大值1， ∴. 综上，实数a的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田二中2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 3. 设，现用二分法求关于的方程在区间内的近似解，已知，则方程的根落在区间（ ）内 A. B. C. D. 不能确定 4. 设，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却．1min后物体的温度是，那么该物体的温度降至还需要冷却的时间约为（参考数据：）（ ） A. 2.9min B. 3.4min C. 3.9min D. 4.4min 8. 已知的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 在上单调递减 D. 的值域为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知方程的解在内，则 B. 函数的零点是， C. 方程的一个实根在区间内，另一个实根大于，则实数的取值范围是. D. 若函数在区间上有零点，则一定有 11. 如果对于任意实数，函数满足，则称为“梓荫函数”，则下列结论中正确的是（ ） A. 为“梓荫函数” B. 为“梓荫函数” C. 若为“梓荫函数”，则 D. 若为“梓荫函数”，则在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若满足满足则等于________． 13. 已知当时，有解，则实数的取值范围是________． 14. 已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数m的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 16. 设，且． （1）求的值及的定义域； （2）求在区间上的最值. 17. 2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据： 1 2 3 4 5 6 … (人数) … 6 … 36 … 216 … 若奥密克戎变异株的感染人数y与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择． （参考数据：，，，） （1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （2）求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人． 18. 已知函数是定义在R上的奇函数，其中为指数函数，且的图象过定点． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明的单调性； （3）若对任意的，不等式，恒成立，求实数k的取值范围． 19. 已知函数． （1）若函数的零点在区间上，求正整数k的值； （2）记，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $