辽宁省沈阳四十三中学2022-2023学年上学期九年级期末数学试题　

2022-2023学年辽宁省沈阳四十三中九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下面图中所示几何体的左视图是(    ) A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是(    ) A. B. C. D. 3. 已知是线段的黄金分割点，且，那么下列比例式能成立的是(    ) A. B. C. D. 4. 在中，，，，则的值为(    ) A. B. C. D. 5. 如图，和是直立在地面上的两根立柱，米，某一时刻在阳光下的投影米，在阳光下的投影长为米，则的长为米．(    ) A. B. C. D. 6. 下列说法中，不正确的是(    ) A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 7. 线段，，，是成比例线段，已知，，则(    ) A. B. C. D. 8. 如图，是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点在轴上，的面积为，则的值为(    ) A. B. C. D. 9. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. B. 且 C. 且 D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，有下列个结论：；；；是任意实数其中正确结论的个数是(    ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 11. 如图，直线且与直线、相交于点、、、、、，若，，，则______． 12. 在一个不透明的袋子中有个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中白球有______个． 13. 在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为人，则根据题意可列方程为______． 14. 在中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点在第四象限的对应点的坐标是______． 15. 如图，在平行四边形中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，过，两点作直线，与交于点，与交于点，连接，，则四边形的周长为______． 16. 如图，边长为的正方形中，点、分别在射线、上，在边上，与交于点，，，，则的最小值为______． 三、计算题（本大题共1小题，共6.0分） 17. 解方程： 四、解答题（本大题共8小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18. 本小题分 计算． 19. 本小题分 在一个不透明的布袋里有四个小球，球表面分别标有、、、四个数字，它们的材质、形状、大小完全相同．从中随机摸出一个小球记下数字作为，再从剩下的三个球中随机摸出一个球记下数字作为，记点的坐标为． 从中随机摸出一个小球，标号为的概率是______． 运用画树状图或列表的方法，求出点在反比例函数图象上的概率． 20. 本小题分 如图，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点． 求证：四边形是矩形； 连接，交于点，当，时，直接写出的长． 21. 本小题分 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． 求反比例函数和一次函数的解析式； 点在线段上，且：：，直接写出点的坐标； 设直线交轴于点，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，若，直接写出的取值范围． 22. 本小题分 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件赢利元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件．求： 若商场平均每天要赢利元，每件衬衫应降价多少元？ 每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 23. 本小题分 数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知经测量，得到其它数据如图所示．其中，，，请你根据以上数据计算的长．结果保留根号 24. 本小题分 在中，，，以为顶点作等腰直角三角形连接，射线交线段于点． 如图，，，点，，在一条直线上，直接写出线段和线段的数量关系和位置关系； 如图，点，，在一条直线上时，，． 求证：； 若，，求的长； 若，将绕点逆时针旋转，在旋转过程中射线交直线于点，当是直角三角形时，直接写出的长． 25. 本小题分 如图，已知直线与轴，轴交于，两点，抛物线经过点，． 求抛物线的表达式； 点为线段上一个动点，过点作垂直于轴的直线交抛物线于点，交直线于点设点的横坐标为． 时，求点的坐标． 点是直线上方抛物线上一点，当∽时，直接写出的值． 若点在平面内，当以、、、为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的纵坐标． 答案和解析 1.【答案】  【解析】 【分析】 本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】 解：图中所示几何体的左视图是． 故选：．   2.【答案】  【解析】解：方程移项得：， 配方得：， 整理得：． 故选：． 方程移项后，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后得到结果，即可作出判断． 此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3.【答案】  【解析】 【分析】 本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点． 【解答】 解：根据黄金分割定义可知： 是和的比例中项， 即， ． 故选：．   4.【答案】  【解析】解：中，，，， 则， 故选：． 根据三角函数定义即可得． 本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：如图， 在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为， ∽，，，， ， ， ． 故选：． 根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，构建方程即可解决问题． 本题考查了平行投影，解题的关键是记住在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例． 6.【答案】  【解析】解：、正确．两组对边分别平行的四边形是平行四边形； B、错误．比如等腰梯形，满足条件，不是平行四边形； C、正确．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形； D、正确．有一组邻边相等的矩形是正方形； 故选：． 根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定即可一一判断． 本题考查平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 7.【答案】  【解析】解：：：， ， ，，， ， ． 故选：． 根据成比例线段的概念，可得：：，再根据比例的基本性质，即可求得的值． 此题考查了成比例线段，解题时一定要严格按照顺序写出比例式，再根据比例的基本性质进行求解． 8.【答案】  【解析】解：如图，连， 轴， ， ， ， 反比例函数图象过第二象限， ． 故选：． 由于轴，则，于是有，然后根据的几何意义易得的值． 本题考查了反比例函数的系数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作坐标轴的垂线，所得的矩形面积为也考查了待定系数法求函数的解析式． 9.【答案】  【解析】 【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【解答】 解：根据题意得且， 解得且． 故选C．   10.【答案】  【解析】解：抛物线开口向下， ； 抛物线的对称轴为直线， ； 抛物线与轴的交点在轴的上方， ， ，所以错误； 当时，，即， ，所以不正确； 当时，，即，所以正确； 抛物线的对称轴为直线， 时，有最大值， ， ，所以正确． 故选：． 由抛物线开口向下得到；由抛物线的对称轴为直线得到；由抛物线与轴的交点在轴的上方得到，则；观察图象得到当时，，即；当时，，即；根据二次函数的最值问题得到时，有最大值，则，变形得到 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数的图象为一条抛物线，当，抛物线的开口向下，当时，函数值最大；抛物线与轴的交点坐标为． 11.【答案】  【解析】 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 根据平行线分线段成比例，由得到，然后根据比例性质求． 【解答】 解：， ， 即， 解得， 故答案为   12.【答案】  【解析】 【分析】 用袋中球的总个数乘以摸到白球的频率，据此可得． 此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率． 【解答】 解：估计袋中白球有个， 故答案为：．   13.【答案】  【解析】解：设有人参加聚会，则每人送出件礼物， 由题意得，． 故答案是：． 设有人参加聚会，则每人送出件礼物，根据共送礼物件，列出方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 14.【答案】  【解析】解：以原点为位似中心，相似比为，把缩小，点的坐标为， 点的对称点的坐标为或，即或， 点在第四象限的对应点的坐标是． 故答案为：． 根据位似变换的性质计算，判断即可． 本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 15.【答案】  【解析】分析：根据勾股定理得到，由作图可知，是线段的垂直平分线，求得，，推出，根据平行四边形的性质得到，，，同理证得，于是得到结论． 解：，，， ， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， 同理证得， 四边形的周长， 故答案为：． 本题考查了平行四边形的性质，作图复杂作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质．利用勾股定理列出方程是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：取的中点，作垂直于点， ，，， ≌， ， 又，， ， ， ， 所以在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 当落在上时，取到等号 即达到最小，最小值为． 本题关键搞清的运动轨迹，有，，可知，所以到的中点的距离始终相等，在根据三角形三边的关系可得的范围，从而确定它的最小值． 本题考查正方形的基本性质，和全等直角三角形的判定，解决此类问题的关键是判断动点的运动轨迹，然后利用三角形三边的关系判断何时取到最值． 17.【答案】解：， ， 则或， 解得：或．  【解析】利用因式分解法求解可得． 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18.【答案】解：原式 ．  【解析】把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 本题考查的是实数的运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 19.【答案】  【解析】解：球表面分别标有、、、四个数字，它们的材质、形状、大小完全相同， 中随机摸出一个小球，标号为的概率为． 故答案为：； 依题意列表得：     由上表可得，点的坐标共有种结果，其中点在反比例函数图象上的有种： 、、、， 点在反比例函数上的概率为． 直接根据概率公式即可得出结论； 根据反比例函数图象上点的坐标特征可判断有个点在函数图象上，然后根据概率公式求解． 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 20.【答案】证明：，， 四边形是平行四边形． 又菱形， ， ． 四边形是矩形． 解：中，， ， ，， ，， ．  【解析】先证四边形是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到，根据矩形的定义即可判定四边形是矩形． 根据含度角直角三角形的性质、勾股定理来求的长度即可． 本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键． 21.【答案】解：反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点， ， ，， 点， 反比例函数的解析式为， 由题意可得：， 解得：， 一次函数解析式为； 连接，，， 令代入， 解得， 一次函数与轴的交点坐标为 ， 点在线段上， 设点为， 点，点， ， ：：， ， ， ， 解得， ， 点的坐标为； 直线交轴于点， 点， ， ， ， ．  【解析】将点，点坐标代入反比例函数的解析式，可求和的值，利用待定系数法可求一次函数解析式； 连接，，，求得的长，根据，：：，求得进而求得点的坐标； 先求出点坐标，由面积关系可求解． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，反比例函数的性质等知识，求出两个解析式是解题的关键． 22.【答案】解：设每件衬衫降价元，商场平均每天盈利元， 则， 当时，， 解得，， 经检验，，都是原方程的解，但要尽快减少库存， 所以， 答：每件衬衫应降价元； ， 当时，的最大值为， 答：当每件衬衫降价元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是元．  【解析】设每件衬衫降价元，商场平均每天盈利元，可得每件盈利元，每天可以售出件，进而得到商场平均每天盈利元，依据方程即可得到的值； 用“配方法”即可求出的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元． 此题主要考查了二次函数的应用以及“配方法”在求函数的最大值的问题中的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数每件盈利每天销售的利润是解题关键． 23.【答案】解：延长交于点，则，如图所示， 设，则， 在和中，，， ，， ， ， ， 解得：， ， ． 答：的长为．  【解析】延长交于点，则，设，则，通过解直角三角形可得出，，结合可得出关于的方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可求出结论． 本题考查了解直角三角形的应用，由，找出关于的长的一元一次方程是解题的关键． 24.【答案】解：，； 理由：， ， ， ，， ≌， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， 即，； 证明：如图，过点作，交于点， 是等腰直角三角形， ，， ，， ，， ，， ， ≌， ， ，， ， ； 解：，，， ， ， 在中，根据勾股定理得，； 解：在中，， ， Ⅰ、当时，如图，此时点与点重合， 是等腰直角三角形，， ； Ⅱ、当时，如图， ，， ， ， ， 即的长为或．  【解析】先判断出≌，得出，，再求出，进而求出，即可得出结论； 如图，过点作，交于点，由等腰直角三角形的性质，可求，，即可证，，根据“”可证 ≌，可得，根据等腰直角三角形的性质可得，即可证； 由题意可求出，进而求出，最后用勾股定理即可求出答案； 分，两种情况讨论，根据等腰直角三角形的性质可求的长． 本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形判定和性质以及分类思想，判断出是本题的关键． 25.【答案】解：当时，， 点的坐标为； 当时，， 解得：， 点的坐标为． 将，代入，得：， 解得：， 这个抛物线的解析式为． 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ， 解得或舍， ； 当∽相似时，如图． 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ， ∽， ：：，即：：， 解得：，舍去，，舍去， 或， 当∽时，点的坐标为或； ，，， ，，， 若以、、、为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形，需要分以下三种情况： 当时，， 解得舍或舍或， ，，， 由菱形的性质可知，点的坐标为； 当时，， 解得舍或舍或， 此时， 由菱形的性质可知，，即； 当时，， 解得舍或， 此时， 由菱形的性质可知，，即； 综上，点的坐标为：或或  【解析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，由点，的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，根据建立方程求出的值即可得出结论； 由可得出，，由相似三角形的性质即可得出关于的方程，解之即可得出的值，进而可得出点的坐标； 若以、、、为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形，分，，，三种情况分别讨论即可． 本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，坐标系内两点间距离，解方程，菱形的性质．其中第题对菱形存在性的讨论，将菱形的存在性转化为等腰三角形的存在性是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$