精品解析：山西省朔州市怀仁市大地学校高中部2024-2025学年高二上学期第四次月考（12月）数学试题

怀仁市大地学校2024-2025学年度上学期第四次月考 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据与互相垂直列方程，由此求得的值. 【详解】， 由于与互相垂直， 所以. 故选：B 2. 已知数列{an}的首项为1，an = an-1 +2，则这个数列的通项公式为（ ） A. an = 3n -2 B. an = 2n -1 C. an = n + 2 D. an = 4n - 3 【答案】B 【解析】 【分析】易得该数列为等差数列,再利用等差数列通项公式求解即可. 【详解】因为,故是以1为首项,2为公差的等差数列.故. 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据等差数列的通项公式求解,属于基础题. 3. 已知直线与平行，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】由直线平行的条件求解即可. 【详解】因为，所以，解得或．当时，与重合．故． 故选：A 4. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别将，，代入递推关系式求出，，的值即可求解. 【详解】数列中，，， 令，可得， 令，可得， 令，可得， 故选：B. 5. 曲线与轴围成区域的面积为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方程两边平方，可化为，这条曲线与轴围成的区域是一个半径的半圆，可求面积. 【详解】曲线的方程化为，即， 所以这条曲线与轴围成的区域是一个半径的半圆，其面积为. 故选：B. 6. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得直线的斜率的范围，即可求出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的倾斜角为，则， ， 故倾斜角的取值范围是， 故选： 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，点为的中点，为坐标原点，,,的面积为，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据为的中点，由中位线定理可得，且，，再由双曲线的定义结合，可得，然后设双曲线的焦距为2c，在中由余弦定理，结合正弦定理的面积为求解. 【详解】由为的中点，所以，且， 故， ，故， 设双曲线的焦距为2c，在中， 由余弦定理可得， ， ， 的面积为， ，双曲线的方程为. 故选：C 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用及双曲线方程的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 8. 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，其准线为，过的直线交抛物线于，两点，作，，垂足分别为，.若，且的面积为，则抛物线的方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作交直线于点，交轴于点，设点、，当焦点在轴的正半轴时，设：，由得，然后可得，从而得到，，然后由可算出. 【详解】 过点作交直线于点，交轴于点. 设点、， 当焦点在轴的正半轴时，设：，由， 得，即①. 又因为，所以， 所以②. 由①②可解得，. 在中，，， 所以， 所以，解得，此时的方程为. 同理，当焦点在轴的负半轴时，得，此时的方程为. 综上所述，抛物线的方程为. 故选：D 【点睛】本题主要考查的是抛物线定义的应用，解题的关键是画出图形，分析出图形的特点. 二、多项选择题（在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）. A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理的知识确定正确答案. 【详解】依题意构成空间的一个基底， A选项，由于，所以，，共面. B选项，由于不存在实数使，所以，，不共面，B选项正确. C选项，，由于不存在实数使，所以，，不共面，C选项正确. D选项，由于，所以，，共面. 故选：BC 10. 是空间的一个基底，可以和，构成基底的另一个向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理逐个分析判断即可. 【详解】对于A，若，，共面，则， 因为是空间的一个基底，所以上式不成立，所以，，不共面，所以，，可以作为基底，所以A正确， 对于B，若，，共面，则， 因为是空间的一个基底，所以上式不成立，所以，，不共面，所以，，可以作为基底，所以B正确， 对于C，若，，共面，则， 因为是空间一个基底，所以上式不成立，所以，，不共面，所以，，可以作为基底，所以C正确， 对于D，若，，共面，则， 因为是空间的一个基底，所以上式不成立，所以，，不共面，所以，，可以作为基底，所以D正确， 故选：ABCD 11. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 两条异面直线和所成的角为 B. 直线与平面所成角等于 C. 点到面的距离为 D. 四面体的体积是 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系后借助空间向量逐项计算与判断即可得. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 对A：、、、， 则、，故， 故，即异面直线和所成的角为，故A错误； 对B：，由轴平面，故平面法向量可为， 则，故直线与平面所成的角为，故B正确； 对C：，，， 设平面的法向量为，则有， 令，则，故，故C正确； 对D：易得四面体为正四面体， 则，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在平面直角坐标系xOy中，曲线：（是参数），曲线：（是参数），若曲线与相交于A,B两个不同点，则|AB|=_______； 【答案】 【解析】 【分析】首先把方程转换为直角坐标方程，进一步利用方程组，根据一元二次方程根和系数的关系求出A、B的坐标，在求出|AB|的长． 【详解】曲线C1：（t是参数）， 转换为直角坐标方程为：x﹣y﹣1=0， 曲线C2：（θ是参数）， 转换为直角坐标方程为： ， 建立方程组： ， 得到：3x2﹣4x=0， 解得：x=0或 所以：A（0，﹣1），B（ ）， 所以：|AB|==． 故答案为 ． 【点睛】本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 13. 已知椭圆的焦距是，则的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据、、的关系可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】在椭圆中，，， 由已知可得，解得. 故答案为：. 14. 过三点、、的圆的方程为____________________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出AB,BC的中垂线所在直线方程，两直线交点为圆心D坐标，再求圆半径r=AD.即可写出圆的方程． 【详解】点、的中点为（2，5），，中垂线为x=2. 点、的中点为，，所以,中垂线为x-7y+5=0. 两直线交点为圆心D（2，1），r=AD=5.所以圆的方程为，也即 .填. 【点睛】求过不共线A,B,C三点的圆的方程常见两种方法：一是根据所求圆为的外接圆，即求任意两边的中垂线交点为圆心坐标，顶点到圆心距离为半径，即可求出圆的方程．二是待定系数法，设圆的一般方程，把三个点的坐标代入，求出待定系数D,E,F，即可求出圆的方程． 四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则即可求解. （2）由，利用向量加法的三角形法则即可求解. （3）利用向量减法的运算法则即可求解. （4）利用向量加法、减法的运算法则即可求解. 【详解】（1）． （2）． （3）． （4）． 16. 已知直线 （1）求直线的斜率； （2）若直线m与平行，且过点，求m的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）将直线变形为斜截式即可得斜率； （2）由平行可得斜率，再由点斜式可得结果. 【详解】（1）由，可得， 所以斜率为； （2）由直线m与平行，且过点， 可得m的方程为，整理得：. 17. 设直线方程为. （1）若不经过第二象限，求实数的取值范围； （2）证明：不论为何值，直线恒过某定点，并求出这个定点的坐标； （3）证明：不论为何值，直线恒过第四象限. 【答案】（1）；（2）证明见解析，定点；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）将直线方程化为斜截式，结合直线的性质即可得解； （2）将直线方程变为，令即可得证； （3）由直线过定点即可得证. 【详解】（1）将的方程化为，欲使不经过第二象限， 当且仅当或成立，所以， 故所求的取值范围为； （2）证明：直线方程可整理成， 令，解得， 当时，恒成立， 所以直线恒过点； （3）证明：由（2）知，直线恒过第四象限内的点， 所以不论为何值，直线恒过第四象限. 【点睛】本题考查了直线方程的应用及直线过定点的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 18. 已知圆过点，，，直线过点且与直线相互平行． （1）求圆的标准方程； （2）求直线与圆相交所得的弦长． 【答案】（1）；（2）8. 【解析】 【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组可得圆的一般式方程，再化为标准方程即可； （2）设出直线，求出，结合点到直线的距离和勾股定理可得弦长. 【详解】（1）设圆的方程为，, 则 解得 则圆的一般方程为， 所以圆的标准方程为． （2）设直线，代入可得，， 直线的方程为：， 故圆心到直线的距离, 故直线与圆形成的弦长为． 19. 如图，三棱锥中，，，，为中点，点满足. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）连接，可证，进而可证，，进而可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解； （3）假设存在点，设（），由线面夹角的向量公式即可求解. 【小问1详解】 证明：连接， ∵，， ∴是正三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在平面内， ∴平面； 【小问2详解】 由（1）得，，，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ∵， ∴， 显然是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，则， ∴. 取，则，， ∴， ∴， ∴由题可知二面角为钝角，故二面角的大小为； 【小问3详解】 假设存在点，设（），则， ∴， ∵直线与平面所成角的正弦值为， ∴， ∴或（舍去）， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀仁市大地学校2024-2025学年度上学期第四次月考 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知数列{an}的首项为1，an = an-1 +2，则这个数列的通项公式为（ ） A. an = 3n -2 B. an = 2n -1 C. an = n + 2 D. an = 4n - 3 3. 已知直线与平行，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 2或 4. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 曲线与轴围成区域的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，点为的中点，为坐标原点，,,的面积为，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C D. 8. 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，其准线为，过的直线交抛物线于，两点，作，，垂足分别为，.若，且的面积为，则抛物线的方程为 A. B. C. D. 二、多项选择题（在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）. A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 是空间一个基底，可以和，构成基底的另一个向量可以是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 两条异面直线和所成的角为 B. 直线与平面所成的角等于 C. 点到面的距离为 D. 四面体的体积是 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在平面直角坐标系xOy中，曲线：（是参数），曲线：（是参数），若曲线与相交于A,B两个不同点，则|AB|=_______； 13. 已知椭圆的焦距是，则的值是____． 14. 过三点、、的圆的方程为____________________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 16. 已知直线 （1）求直线的斜率； （2）若直线m与平行，且过点，求m的方程. 17. 设直线的方程为. （1）若不经过第二象限，求实数取值范围； （2）证明：不论为何值，直线恒过某定点，并求出这个定点的坐标； （3）证明：不论为何值，直线恒过第四象限. 18. 已知圆过点，，，直线过点且与直线相互平行． （1）求圆的标准方程； （2）求直线与圆相交所得弦长． 19. 如图，三棱锥中，，，，为中点，点满足. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $