精品解析：广东省东莞市重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

广东省东莞市重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） （2023高二上·东莞月考） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线化为斜截式方程得出斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可得出答案. 【详解】将直线化为斜截式方程为，斜率. 设直线的倾斜角为，则. 又，所以. 故选：C. （2023高二上·东莞月考） 2. 已知，，且，则的值为（　　） A. B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，再利用空间向量坐标运算求解即可. 【详解】已知，，且， 则，所以， 所以，解得， 则的值为6. 故选：C （2023高二上·东莞月考） 3. 下列叙述正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. 数列0，1，2，3，…的一个通项公式为 C. 数列0，0，0，1，…常数列 D. 数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列 【答案】A 【解析】 【分析】作差即可判断A项；代入检验，即可判断B项；根据常数列以及数列的概念，即可判断C、D. 【详解】对于A项，设， 则对恒成立， 所以，数列是递增数列.故A正确； 对于B项，当时，与第一项为0不符.故B项错误； 对于C项，数列中的项并不完全相同.故C项错误； 对于D项，根据数列的概念，数列与顺序有关. 所以，数列2，4，6，8与数列8，6，4，2不是相同的数列.故D项错误. 故选：A. （2023高二上·东莞月考） 4. 已知直线与垂直，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】将化为斜截式方程得出斜率，根据直线垂直，列出方程求解，即可得出答案. 【详解】将化为斜截式方程可得，. 因为， 所以，解得. 故选：B. （2023高二上·东莞月考） 5. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则能得出的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中面面、线面、线线的位置关系判断即可. 【详解】对于A：因为，，则或或与相交， 又，当时，当时，当与相交时与可能平行、相交、异面，故A错误； 对于B：因为且，所以，又且、是两条不同的直线，所以，故B错误； 对于C：因为，，所以，又，所以，故C正确； 对于D：因为，，则或或与相交， 又，当时与可能平行、异面， 当时与可能平行、相交， 当与相交时与可能相交、异面，故D错误； 故选：C （2023高二上·东莞月考） 6. 已知椭圆C:的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的内切圆半径的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】寻找的内切圆半径与三角形面积之间的关系，根据面积的取值范围可以得到的内切圆半径的取值范围. 【详解】设的内切圆半径为r，椭圆方程为， 则，，，即， 又， 所以， 由于， 所以. 故选：D （2023高二上·东莞月考） 7. 设抛物线，直线与抛物线交于、两点且，则的中点到轴的最短距离为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设直线的方程并联立抛物线方程，可得根与系数关系，结合化简可得的关系式，表示出的中点到轴的距离的表达式，换元后利用函数的单调性即可求得答案. 【详解】由题意知直线l的斜率存在，设直线的方程为， 与抛物线方程联立得，，需满足， 设，，则， 则由弦长公式得， 两边平方得，，因为， 代入得，， 令，，则，而根据对勾函数性质知在单调递增， 因此当时，， 即的中点到轴的最短距离为， 故选：A （2023高二上·东莞月考） 8. 下列数列中，其前项和可能为1028的数列是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式可判断A；利用裂项求和求出数列的前n项和可判断B；讨论n的奇偶性，分别求数列的和，可判断C；利用等比数列的前n项和公式，结合单调性可判断D. 【详解】A选项：因为，设数列的前项和为， 则随n的增大而增大， 令，由于，， 故方程无正整数解，故A错误； B选项：因为， 设数列的前项和为， 则， 令，即，方程无正整数解，故B错误； C选项：因为，设数列的前项和为， 当为偶数时，， ， 所以当为偶数时，和不可能为1028； 当为奇数时，， ， 令，即， 此时 故方程无正奇数解，故C错误； D选项：因为，设数列的前项和为， 则， 由于随n的增大而增大， 当时，，故数列的前10项的和为1028，故D符合题意． 故选：D 二、多选题：（本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） （2023高二上·东莞月考） 9. 已知双曲线，下列对双曲线判断正确是（ ） A. 实轴长是虚轴长的2倍 B. 焦距为4 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据方程求出值，即可得出双曲线的性质. 【详解】由已知可得，，， 所以，，，. 对于A项，实轴长，虚轴长为，故A正确； 对于B项，焦距为，故B错误； 对于C项，离心率，故C项正确； 对于D项，双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为. 整理可得，.故D项正确. 故选：ACD. （2023高二上·东莞月考） 10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若点在函数（，为常数）的图象上，则为等差数列 B. 若为等差数列，则为等比数列 C. 若为等差数列，，，则当时，最大 D. 若，则为等差数列 【答案】AB 【解析】 【分析】结合等差数列、等比数列的知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】A，依题意，则，所以为等差数列，A正确. B，依题意，， 则，所以为等比数列，B正确. C，， 所以或，最大，C错误. D，，， 所以不是等差数列. 故选：AB （2023高二上·东莞月考） 11. 已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为、，且直线恒过定点，则（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 的最小值为 C. 圆上的点到直线的距离的最大值为 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】设，以为直径的圆的方程，结合已知圆的方程求直线的方程，进而确定的轨迹方程，由直线所过定点、圆的性质求最短弦长、圆上点到直线距离的最大值，讨论的位置，结合圆的切线性质研究角的范围，从而可求解. 【详解】对于A项：设，以为直径的圆的方程为，化简得， 与联立，两式相减得：直线的方程为，又因为直线恒过定点， 所以的轨迹方程为，即，故A项错误； 对于B项：因为，当时弦长最小，所以，故B项错误； 对于C项：因为直线恒过定点，所以圆上点到直线距离的最大值为，故C项正确； 对于D项：如图，圆心到直线的距离为，记为：， 当运动到时，，则，则， 当位于直线的其它位置时，，，则，则， 综上所述，故D项正确. 故选：CD. （2023高二上·东莞月考） 12. 如图（1）是一副直角三角板．现将两个三角板沿它们的公共边翻折成图（2）的四面体，设，与面所成角分别为，，在翻折的过程中，下列叙述正确的是（ ） A. 若，当时，点到面的距离是2 B. 存在某个位置使得 C. 若，当二面角时，则 D. 当在面的射影在三角形的内部（不含边界），则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等体积法求点面距离判断A，根据射影的性质判断B，根据空间点的坐标求两点间的距离判断C，分类讨论点在平面上射影的位置判断D. 【详解】当时，，， ，， 当时，又，平面， 所以平面，设点到面的距离为，因为， 所以，即，解得，故A正确； 若，因，平面， 故平面，而平面，故， 这与矛盾，故B错误； 以原点，建立如图示的空间直角坐标系， 当时，，三角形斜边上的中线为， 取中点，中点，连接， 则由平面图可知，则为二面角的平面角， 二面角知，， 所以，， 则，，故，故C正确； 由C的证明可得，而平面， 故平面，而平面，故平面平面， 如图，过作，因为平面平面， 平面，故平面， 故为与平面所成的角，为与平面所成的角， 又， ， 故，故即， 而为锐角，故，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） （2023高二上·东莞月考） 13. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据曲线方程表示的曲线类型列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知方程表示焦点在轴上的椭圆， 故，解得， 故答案为： （2023高二上·东莞月考） 14. 假设每次用相同体积的清水漂流一件衣服,且每次能洗去污垢的,那么至少要清洗_______次才能使存留的污垢在以下. 【答案】 【解析】 【分析】设每次用升清水漂流一件衣服,通过题意可知, 存留的污垢是以为首项, 为公比的等比数列,最后列出存留的污垢与洗涤次数之间的关系,最后结合已知求出的值即可. 【详解】设每次用升清水漂流一件衣服, 洗涤次数,通过题意可知, 存留的污垢是以为首 项, 为公比的等比数列,所以有,由题意可知: ,所以至少要清洗4次才能使存留的污垢在以下. 故答案为：4 【点睛】本题考查了等比数列的实际应用,考查了数学阅读能力和数学运算能力. （2023高二上·东莞月考） 15. 如图，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的正方形，是等腰三角形，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点为，中点为，连接，根据面面垂直的性质定理即可得出平面.以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，进而求出平面的法向量，根据向量法求出点到平面的距离，即可得出答案. 【详解】如图，取中点为，中点为，连接， 因为，中点为， 所以，且. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面. 又为中点，所以. 因为为正方形，所以，. 连接，交于点，则即为的中心 如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 所以，，，. 设是平面的一个法向量， 则，即， 取，则. 所以，点到平面的距离. 显然，即为平面上任意一点到底面中心的距离的最小值. 故答案为：. （2023高二上·东莞月考） 16. 过双曲线（，）的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点（、均在轴右侧）.已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用已知条件结合三角形与内切圆的位置关系得出点M在的角平分线上，利用线线垂直证出四边形进而证出MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离结合双曲线a，b，c三者的几何意义，利用直线的斜率与倾斜角的关系式得出的值，结合双曲线的离心率与的关系式得出双曲线的离心率. 【详解】如图， 设的内切圆的圆心为M，则M在的平分线Ox上， 过点M分别作于，于， 由得出四边形MTAN为正方形， 设，直线：，则. 又因为，所以. 因为，所以. 因为， 所以双曲线的离心率为. 故答案：. 四、解答题：（本题共6小题，共70分.17题10分，18~22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （2023高二上·东莞月考） 17. 已知直线和圆． （1）判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； （2）求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】（1）相交，截得的弦长为2. （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解； （2）利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解. 【小问1详解】 由圆可得，圆心,半径， 圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交， 直线被圆截得的弦长为. 【小问2详解】 若过点的直线斜率不出在，则方程为， 此时圆心到直线的距离为，满足题意； 若过点且与圆相切的直线斜率存在， 则设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以切线方程为，即， 综上，过点且与圆相切的直线方程为或. （2023高二上·东莞月考） 18. 已知数列满足，． （1）证明：是等差数列； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知整理可得，进而作差得出，即可得出证明； （2）根据（1）求出，代入根据裂项法化简可得，相加整理即可得出答案. 【小问1详解】 由已知，可得，， 则 . 又， 所以是首项为1，公差为1的等差数列． 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 所以，则， 故 ． （2023高二上·东莞月考） 19. 已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，弦被点平分. （1）求直线的方程； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知中点坐标可用点差法解决，将点代入曲线作差，再结合中点坐标公式和两点斜率公式，可得直线斜率，再用点斜式可得直线方程。 （2）利用已知条件，将直线与椭圆联立，再结合韦达定理和三角形的面积公式，进而得出三角形的面积. 【详解】（1）解：因为弦被点平分，所以 设交点坐标，，，， 又将，代入椭圆得，两式相减可得：， 所以直线的斜率，故直线的方程为， 即为. （2）解：，联立椭圆与直线方程，得， 所以，，所以， 又因为直线过点， 所以. 【点睛】本题主要考查直线与曲线相交问题，其中中点问题常用点差法解决，属于中档题. （2023高二上·东莞月考） 20. 如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，四边形是菱形，，是的中点，平面平面． （1）若是线段的中点，求证：平面； （2）若是线段的一点（如图），且，二面角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，根据已知得出.进而根据面面垂直以及线面垂直的性质定理得出.然后根据菱形的性质得出.进而即可根据线面垂直的判定定理，得出证明； （2）连接，先根据已知推得面.以为原点，建立直角坐标系．设，得出各点的坐标，根据向量共线得出点坐标，求出平面以及平面的法向量.根据已知列出方程，结合图象，即可得出的值. 【小问1详解】 连接， 因为为正三角形且是的中点，所以. 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 因为平面， 所以. 因为四边形是菱形， 所以. 又，所以. 因为平面，平面，且， 所以平面． 【小问2详解】 连接， 因为四边形是菱形， 所以，. 又，所以为等边三角形. 又是的中点，所以. 平面平面，平面平面，平面， 所以，面. 以为原点，所在直线为轴、所在直线为轴、所在直线为轴，如图建立直角坐标系． 设，则，，， 所以，，，. 又，所以. 设面法向量为， 因为，， 所以，即， 取，得. 设，则，， 由得，， 即，即， 则，则，. 设为面法向量，则 ，所以有，即， 取可得，. 由已知可得，解得或5． 因为二面角为锐二面角，所以由图可知，． （2023高二上·东莞月考） 21. 已知数列，满足，为数列 的前项和，，，记的前项和为，的前项积为且. （1）求数列，的通项公式； （2）令 ，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据累加法及累乘法化简可得，利用与的关系求解即可； （2）根据等比数列和等差数列的前项和公式代入即可求的前项和. 【小问1详解】 因为的前项和为，且， 所以， 因为前项积为，且， 所以， 且，所以，即， 又因为，所以， 因为，所以， 因为符合， 所以，所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以. （2023高二上·东莞月考） 22. 已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，左顶点为，直线过左焦点，与双曲线的左，右两支依次交于，两点．当轴时，，． （1）求双曲线的标准方程； （2）点和点关于轴对称（两个点不重合），直线与轴交于点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据轴时，，，设，利用三角形面积公式求解； （2）设出直线，然后与双曲线的方程联立，再结合根与系数的关系，从而可求解. 【小问1详解】 当轴时，不失一般性，不妨设 ， 由题得，则，则双曲线的方程为， 故双曲线的标准方程为：. 【小问2详解】 设直线，，，， 联立双曲线方程，得， 于是，得， 由于直线，令，则， 由于， 那么，于是 ， 令，则，那么， 从而. 故的取值范围为. 【点睛】关键点睛：（2）问中合理设出直线的方程并与双曲线联立，然后结合根与系数关系并利用换元法求出的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省东莞市重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） （2023高二上·东莞月考） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. （2023高二上·东莞月考） 2. 已知，，且，则的值为（　　） A. B. C. 6 D. （2023高二上·东莞月考） 3. 下列叙述正确的是（ ） A. 数列递增数列 B. 数列0，1，2，3，…的一个通项公式为 C. 数列0，0，0，1，…常数列 D. 数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列 （2023高二上·东莞月考） 4. 已知直线与垂直，则（ ） A. B. C. D. 1 （2023高二上·东莞月考） 5. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则能得出的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， （2023高二上·东莞月考） 6. 已知椭圆C:的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的内切圆半径的取值范围为（ ） A. B. C. D. （2023高二上·东莞月考） 7. 设抛物线，直线与抛物线交于、两点且，则的中点到轴的最短距离为（ ） A. B. 1 C. D. 2 （2023高二上·东莞月考） 8. 下列数列中，其前项和可能为1028的数列是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） （2023高二上·东莞月考） 9. 已知双曲线，下列对双曲线判断正确的是（ ） A. 实轴长是虚轴长的2倍 B. 焦距为4 C. 离心率 D. 渐近线方程为 （2023高二上·东莞月考） 10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若点在函数（，为常数）的图象上，则为等差数列 B. 若为等差数列，则为等比数列 C. 若为等差数列，，，则当时，最大 D. 若，则为等差数列 （2023高二上·东莞月考） 11. 已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为、，且直线恒过定点，则（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 的最小值为 C. 圆上的点到直线的距离的最大值为 D. （2023高二上·东莞月考） 12. 如图（1）是一副直角三角板．现将两个三角板沿它们的公共边翻折成图（2）的四面体，设，与面所成角分别为，，在翻折的过程中，下列叙述正确的是（ ） A. 若，当时，点到面的距离是2 B. 存在某个位置使得 C. 若，当二面角时，则 D. 当在面的射影在三角形的内部（不含边界），则 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） （2023高二上·东莞月考） 13. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________． （2023高二上·东莞月考） 14. 假设每次用相同体积清水漂流一件衣服,且每次能洗去污垢的,那么至少要清洗_______次才能使存留的污垢在以下. （2023高二上·东莞月考） 15. 如图，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的正方形，是等腰三角形，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为__________． （2023高二上·东莞月考） 16. 过双曲线（，）的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点（、均在轴右侧）.已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为_______. 四、解答题：（本题共6小题，共70分.17题10分，18~22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （2023高二上·东莞月考） 17. 已知直线和圆． （1）判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； （2）求过点且与圆相切的直线方程． （2023高二上·东莞月考） 18. 已知数列满足，． （1）证明：是等差数列； （2）设，求数列的前项和． （2023高二上·东莞月考） 19. 已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，弦被点平分. （1）求直线的方程； （2）求的面积. （2023高二上·东莞月考） 20. 如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，四边形是菱形，，是的中点，平面平面． （1）若是线段的中点，求证：平面； （2）若是线段的一点（如图），且，二面角的余弦值为，求的值． （2023高二上·东莞月考） 21. 已知数列，满足，为数列 的前项和，，，记的前项和为，的前项积为且. （1）求数列，通项公式； （2）令 ，求数列的前项和. （2023高二上·东莞月考） 22. 已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，左顶点为，直线过左焦点，与双曲线的左，右两支依次交于，两点．当轴时，，． （1）求双曲线的标准方程； （2）点和点关于轴对称（两个点不重合），直线与轴交于点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $