重庆市长寿中学校2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

重庆市长寿中学校2024-2025学年高一上第三学月测试 数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知都是实数，则下列命题中，真命题是（   ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 3．当时，定义运算：当时，；当时，；当时，，则“，或，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 5．已知正数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数那么不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．设函数与均是定义在上的函数，有以下两个命题：①若是周期函数，且是上的减函数，则函数必为常值函数；②若对任意的a，，有成立，且是上的增函数，则是上的增函数．则以下选项正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列命题中正确的是（ ） A．若，，，则的最大值为 B．已知，，，则的最小值是 C．若，则的最小值为4 D．若，，，则的最小值为 10．下列说法正确的是（    ） A．方程组的解集是 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 11．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，我们发现可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的对称中心是 B．函数的对称中心是 C．类比上面推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数 D．类比上面推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．杰卡德距离经常用来度量两个有限集合的差异性，在机器学习、数据科学等领域有着广泛的应用.设和为有限集，定义杰卡德距离为： 其中表示中的元素的个数，，，为有限集.若，，则 ；若，，，，则的最大值为 . 13．规定：[x]表示不大于的最大整数.表示不小于的最小整数，表示最接近的整数（为整数），例如：，则下列说法正确的是 .（写出所有正确说法的序号） ①当时，； ②当时，； ③方程的解为； 14．已知函数，且，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(13分)已知集合，，. (1)求，，； (2)若，求的取值范围. 16．（15分）已知关于x的不等式的解集为. (1)求的值. (2)若正实数满足，求的最小值. 17．（15分）“守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位：万元）． (1)要使不超过11.2万元，求设备占地面积的取值范围； (2)设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值． 18．（17分）已知定义域为的奇函数． (1)求的值； (2)用函数单调性的定义证明函数在上是增函数． (3)若存在使成立，求实数的取值范围． 19．（17分）对于定义域为的函数，如果存在区间，使得函数在时，值域是，则称为的“倍美好区间”特别地，若函数函数在时值域是，则称为的“完美区间”． 证明：函数在定义域里存在“完美区间”； 如果二次函数在内存在“倍美好区间”，求出，； 是否存在实数，使得函数在区间单调，且为的“倍美好区间”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 试卷第2页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1-5．ADCCB 6-8.ACA 9.CD 10.CD 11.ABC 12． / 13．②③ 14． 15．解：（1）因为，， 所以，，或. （2）因为，，且， 所以，所以的取值范围是. 16．解：（1）由题意得是方程的两根， 则，解得. （2）由（1）得正实数满足， 所以， 当且仅当，且，即时等号成立， 所以的最小值为. 17．解：（1）由题意得， 令，即， 整理得，即， 解得， 所以设备占地面积的取值范围为； （2）， 当且仅当，即，时等号成立， 所以设备占地面积为25平方米时，的值最小，最小值为11万元. 18．解：（1）是定义域为的奇函数， ，即， ，即恒成立，解得 （2）由（1）知，，任取，且， 则， 由，可知，则，，， ，即 函数在R上是增函数． （3）由（2）结论，，整理得在时有解． 令，由，得， 设，则函数的对称轴为， 当时，函数取得最小值 ，即k的取值范围为 19．解：在与上均为增函数， 若存在完美区间， 则有，即为的两根， 即的根， 故，即存在“完美区间”； 若存在“倍美好区间”， 则设定义域为，值域为， 当时， 易得在区间上单调递减， 则 两式相减可得， 得， 则，即， 因为，解得，； ，图象如图所示， 令，解得或， (ⅰ)当时，， 由， 两式相除， ， ， ，可得， 与，范围矛盾，即实数不存在； (ⅱ)当时， ， 由可得， ， 即， ， 由，即， 解得， 又 由 ， 可得， 综上，符合条件的的取值范围为． 答案第2页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$