精品解析：海南省定定安县2025届高三上学期联考一数学试题

定安县2024-2025学年第一学期高三联考 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集直接求解即可. 【详解】因为集合，， 所以． 故选：B 2. 若：“”，：“”，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据由充分、必要条件的概念判断即可. 【详解】由：，即，：， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知向量，，，若，则实数的值为（ ） A. 7 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再根据两个向量垂直的坐标公式计算求解即可. 【详解】因为，， 所以， 由，得， 则，解得. 故选：B. 4. 斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：，，记此数列为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，，，进而结合递推关系求解即可. 【详解】由题意得，，，， 则. 故选：C. 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，将分别与中间值比较大小即得. 【详解】因函数是减函数，故， 又是增函数，故， 而函数在上是增函数，故， 故得. 故选：A. 6. 已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系结合题设可得，进而结合两角和的正切公式计算即可. 【详解】由，得，解得， 所以. 故选：D. 7. 已知，若，则（ ） A. 在区间内是减函数 B. 在区间内是减函数 C. 在区间内是增函数 D. 在区间内是减函数 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，再根据对数型复合函数的单调性计算可得. 【详解】因，所以， 对于函数，令，解得， 所以的定义域为， 又函数在上单调递增，在上单调递减，在定义域上单调递增， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 故选：B 8. 已知函数，且有两个不同的零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化问题为函数和有两个交点，画出函数的图象，结合图象及导数的几何意义分析求解即可. 【详解】令，即， 由题意，函数和有两个交点， 画出函数的图象，如图， 当时，显然函数和没有两个交点，不符合题意， 则，当时，函数和有一个交点， 则当时，和只有一个交点. 设与相切于点，， 由，得，即， 又，则，解得， 因此，要使当时，和只有一个交点， 则，即的取值范围为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分． 9. 设函数，若，则的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】分，代值求解即可. 【详解】当时，，解得； 当时，，解得（舍去）或. 综上所述，或. 故选：CD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期 B. 在区间单调递增 C. 在区间有两个极值点 D. 直线是函数的对称轴 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质判断各选项即可. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，当时，， 因为函数在上不单调， 所以区间上不单调，故B错误； 对于C，当时，， 因为函数在上有2个极值点， 所以在区间有两个极值点，故C正确； 对于D，因为， 所以直线是函数的对称轴，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知定义在上的函数满足，是偶函数，且对任意的，，当时，都有，则以下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 函数的最小正周期是4 C. 函数在上单调递增 D. 直线是图象的对称轴 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题设可得，函数关于对称，且、在上单调递减，再进一步判断函数的奇偶性、周期性、区间单调性和对称性，进而判断各选项即可. 【详解】由，得，所以函数为奇函数， 由是偶函数，得函数关于对称， 则直线是图象的对称轴，故D正确； 且，则， 所以，则， 所以函数的周期为8，故B错误； 对于A，由，若，则，故A正确； 对任意的，，当时，都有， 即，所以在上递减， 结合奇函数知，函数在上递减，即函数上函数递减， 由于函数关于对称， 所以函数在上单调递增，故C正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题设得到，函数关于对称，且、在上单调递减，进而判断各选项即可. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算法则计算出复数，再计算复数的模. 【详解】由题意知， 所以. 故答案为：. 13. 如图，中，，且的面积为，点在边上，，则的长度等于_____. 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角形面积公式求出的大小，再根据等腰三角形得到的大小，最后在中利用正弦定理即可求解. 【详解】因为中，，且的面积为， 所以，解得， 所以或， 当时，因为，所以， 又，所以，不符合题意； 当时，因为，所以， 又，所以在中，由正弦定理可得， 即. 故答案为： 14. 已知函数，若，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】判断给定函数的奇偶性和单调性，利用函数性质求出的关系，再借助基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由，定义域为，， 则， 所以函数为奇函数， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由，则， 所以，即，则， 又，，则，， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用基本不等式最值的方法与技巧： （1）在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件； （2）利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得，从而确定角. （2）根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 由 得，而为三角形内角， 故,得，而为三角形内角，或 【小问2详解】 由得， 又，∴， ，故 ， 由（1）得，故， ∴，而为三角形内角， ∴. 又即， 又，而为三角形内角，故， . 16. 在计算机领域中，有真随机与伪随机两种随机概念．真随机是伴随物理实验，例如：掷硬币、掷骰子、电子元件噪声、核裂变等，其结果符合三个特点：1．随机性：2．不可预测性3．不可重复性；伪随机是通过多种不同的算法，获取随机值，不是真的随机．在日常使用计算中情景中，如音乐随机播放、壁纸随机切换、电脑模拟硬币正反面等都是伪随机．假设有一个抽奖活动，主办方给出了两种抽奖方式，第一种抽奖方式为真随机，即每次抽中的概率为，每次抽奖的结果都是相互独立的．第二种抽奖方式为伪随机，第一次抽中的概率为，若第一次不中，第二次抽中的概率增加，即若某次抽奖不中那么下一次中奖概率会增加，直到．若已中奖，则下一次抽中的概率恢复到． （1）分别计算两种抽奖方式抽两次中奖一次的概率； （2）如果你有抽奖3次的机会，那么你选择抽奖方式是第一种还是第二种？请说明理由． 【答案】（1）两种抽奖方式抽两次中奖一次的概率都为0.48 （2）选第一种抽奖方式，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意结合独立事件概率乘法公式直接求解即可； （2）分别求出两种抽奖方式的中奖次数的分布列及数学期望，进而求解 【小问1详解】 第一种抽奖方式抽两次中奖一次的概率为， 第二种抽奖方式抽两次中奖一次的概率为. 【小问2详解】 选第一种抽奖方式，理由如下： 第一种抽奖方式，抽奖3次，设中奖次数为，的可能取值为， 则， ， ， ， 所以. 第二种抽奖方式，抽奖3次，设中奖次数为，可能取值为， 则， ， ， ， 所以. 综上所述，由于，所以选第一种抽奖方式. 17. 如图，在三棱柱中，四边形是菱形，、分别是、的中点，平面平面，，． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，可证得，由面面垂直证明平面，可得⊥，进而证得平面，即可证得结论. （2）由已知可证得知MC，ME，MF两两垂直，即可建立空间直角坐标系，进而求得平面的法向量，利用线面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，， 所以，又因为，所以， 因为四边形是菱形，是的中点，，所以⊥， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以⊥， 因为平面，所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形， 所以四点共面，则平面. 【小问2详解】 由（1）知四边形为平行四边形，所以，所以平面， 平面，所以， 故MC，ME，MF两两垂直，如图，建立空间直角坐标系 因为，，所以，， 则，， 于是，设平面的法向量为， 则有，可取， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆：上的点到焦点距离最短为，到焦点距离最长为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆交于，两点，且椭圆的左、右焦点分别为，，，的面积分别为，，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而解出，求得，进而求解即可； （2）当直线的斜率不存在，可得，当直线的斜率存在时，联立直线和椭圆方程，由韦达定理以及三角形面积公式表示出，进而结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意，， 解得，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 当直线的斜率不存在时，，则； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，得， 设，则， 所以，， 由于异号，所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为． 综上所述，的最大值为． 19. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若，，讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，结合切点易求得切线方程； （2）将函数求导，根据参数进行分类讨论导函数的正负，即得函数的单调性. 【小问1详解】 ，，则， 则，即切线斜率， 故切线方程为，即； 【小问2详解】 函数的定义域为，， ， 当时，，由，可得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数上单调递减； 当时，， ①当时，，当或时，， 即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减； ②当时，则对任意的，即函数在上单调递增； ③当时，， 当或时，，即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 定安县2024-2025学年第一学期高三联考 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若：“”，：“”，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，，，若，则实数的值为（ ） A. 7 B. C. 2 D. 4. 斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：，，记此数列为，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 设，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 7. 已知，若，则（ ） A. 在区间内是减函数 B. 在区间内是减函数 C. 在区间内是增函数 D. 在区间内是减函数 8. 已知函数，且有两个不同的零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分． 9. 设函数，若，则的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 10. 已知函数，则下列说法正确是（ ） A. 最小正周期 B. 在区间单调递增 C. 在区间有两个极值点 D. 直线是函数的对称轴 11. 已知定义在上的函数满足，是偶函数，且对任意的，，当时，都有，则以下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 函数的最小正周期是4 C. 函数在上单调递增 D. 直线是图象的对称轴 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______． 13. 如图，中，，且的面积为，点在边上，，则的长度等于_____. 14. 已知函数，若，且，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 16. 在计算机领域中，有真随机与伪随机两种随机概念．真随机是伴随物理实验，例如：掷硬币、掷骰子、电子元件噪声、核裂变等，其结果符合三个特点：1．随机性：2．不可预测性3．不可重复性；伪随机是通过多种不同的算法，获取随机值，不是真的随机．在日常使用计算中情景中，如音乐随机播放、壁纸随机切换、电脑模拟硬币正反面等都是伪随机．假设有一个抽奖活动，主办方给出了两种抽奖方式，第一种抽奖方式为真随机，即每次抽中的概率为，每次抽奖的结果都是相互独立的．第二种抽奖方式为伪随机，第一次抽中的概率为，若第一次不中，第二次抽中的概率增加，即若某次抽奖不中那么下一次中奖概率会增加，直到．若已中奖，则下一次抽中的概率恢复到． （1）分别计算两种抽奖方式抽两次中奖一次的概率； （2）如果你有抽奖3次的机会，那么你选择抽奖方式是第一种还是第二种？请说明理由． 17. 如图，在三棱柱中，四边形是菱形，、分别是、的中点，平面平面，，． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角正弦值. 18. 已知椭圆：上的点到焦点距离最短为，到焦点距离最长为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆交于，两点，且椭圆左、右焦点分别为，，，的面积分别为，，求的最大值． 19. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若，，讨论函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$