2025年山东济南中考数学二轮复习重难题型探究——专题六 圆的综合题

2025年山东济南中考数学二轮复习重难题型探究 ——专题六　圆的综合题 教师版 题型分类过关 类型一　圆与勾股定理结合 跟踪练习 1.（2024历城一模） 如图，AB是☉O的直径，C是☉O上一点，过点C作☉O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作 AE⊥CD于点 E. （1）若∠DAC＝25°，求∠EAC的度数； （2）若OB＝4，BD＝2，求CE的长. 2.（2024天桥一模）如图，AB是☉O的直径，点D在射线BA上，DC与☉O相切于点C，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E，连接BC，OC. （1）求证：BC是∠ABE的平分线； （2）若DC＝8，DA＝4，求AB长. 类型二　圆与三角函数结合 跟踪练习 3.（2024济阳一模）如图，☉O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，DF是☉O的切线，交BC的延长线于点F. （1）求证：∠F＝∠BAC； （2）若tan∠DAE＝，CF＝1，求☉O的半径. 4.（2024东南片区一模）如图，AB是☉O的直径，点C，E在☉O上，过点E作☉O的切线与AB的延长线交于点F，且∠AFE＝∠ABC. （1）求证：∠CAB＝2∠EAB； （2）若BF＝1，sin∠AFE＝，求BC的长. 5.（2024历下一模）如图，AB为☉O的直径，点D为☉O上一点，点E是的中点，连接BE，AE，过点A的切线与BE的延长线交于点C，弦BE，AD相交于点F. （1）求证：∠ADE＝∠CAE； （2）若∠ADE＝30°，AE＝，求BF的长. 类型三　圆与相似三角形结合 跟踪练习 6.如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是☉O的直径，AB与CD交于点E，P是AB延长线上一点，＝，∠BCD＝∠BCP. （1）求证：CP是☉O的切线； （2）若BP＝2，CP＝4，求☉O的直径. 7.（2024莱芜一模）如图，AB为☉O的直径，BE与☉O相交于点C，过点C的切线CD⊥AE，垂足为点D. （1）求证：AE＝AB； （2）若AB＝6，CB＝4，求CD的长. 8.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的☉O交BC于点D，过点D作☉O的切线交AB的延长线于点F，交AC于E. （1）求证：DE⊥AC； （2）若AE＝6，FB＝4，求☉O的半径. 9.（2023历城一模）如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上两点，且＝，过点D的切线EF交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD，OE交于点G. （1）求证：AE⊥EF； （2）若＝，☉O的半径为2，求BF的长. 10.（2023钢城二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为 直径作☉O与AC交于点E.过点A作☉O的切线交BC的延长线于点D. （1）求证：∠D＝∠EBC； （2）若CD＝2BC，AE＝3，求☉O的半径. 类型四　等面积法的运用 跟踪练习 11.（2024平阴二模）如图1，在☉O中，AB为☉O的直径，点C为☉O上一点，AD为∠CAB的平分线交☉O于点D，连接OD交BC于点E. （1）求∠OEB的度数； （2）如图2，过点A作☉O的切线交BC的延长线于点F，过点D作DG∥AF交AB于点G.若☉O的半径为7，AD＝2，求DG的长. 　 类型五　阴影部分的面积 跟踪练习 12.（2024山东）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，AB＝BC＝2AD＝2.以点A为圆心，以AD为半径作交AB于点E，以点B为圆心，以BE为半径作所交BC于点F，连接FD交于另一点G，连接CG. （1）求证：CG为所在圆的切线； （2）求图中阴影部分面积.（结果保留π） 类型六　其他 跟踪练习 13.（2023莱芜一模）如图，在△ABC中，以AB为直径的☉O与BC相交于点D，DE是☉O的切线，DE⊥AC于点E. （1）求证：AB＝AC； （2）若☉O的半径为4，∠C＝30°，求AE的长. 2025年山东济南中考数学二轮复习重难题型探究 ——专题六　圆的综合题 教师版 题型分类过关 类型一　圆与勾股定理结合 跟踪练习 1.（2024历城一模） 如图，AB是☉O的直径，C是☉O上一点，过点C作☉O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作 AE⊥CD于点 E. （1）若∠DAC＝25°，求∠EAC的度数； （2）若OB＝4，BD＝2，求CE的长. 解：（1）连接OC. ∵☉O与CD相切于点C，∴ OC⊥CD，∠OCD＝90°. ∵AE⊥CD，∴∠AEC＝90°， ∴∠AEC＝∠OCD，∴ AE∥OC， ∴∠EAC＝∠ACO.又∵ OA＝OC， ∴∠DAC＝∠ACO，∴∠EAC＝∠DAC＝25°. （2）∵OC＝OB＝4，BD＝2，∴OD＝OB＋BD＝6， ∴CD＝＝2.∵OC∥AE，∴ ＝， ∴ ＝， ∴ CE＝. 2.（2024天桥一模）如图，AB是☉O的直径，点D在射线BA上，DC与☉O相切于点C，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E，连接BC，OC. （1）求证：BC是∠ABE的平分线； （2）若DC＝8，DA＝4，求AB长. （1）证明：∵DC与☉O的切线，∴OC⊥DC.∵BE⊥DC， ∴OC∥BE，∴∠OCB＝∠CBE. ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC， ∴∠OBC＝∠CBE，即BC是∠ABE的平分线. （2）解：设☉O的半径为r，则OD＝r＋4，在Rt△OCD中，OD2＝OC2＋CD2，即（r＋4）2＝r2＋82，解得r＝6，则AB＝2r＝12. 类型二　圆与三角函数结合 跟踪练习 3.（2024济阳一模）如图，☉O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，DF是☉O的切线，交BC的延长线于点F. （1）求证：∠F＝∠BAC； （2）若tan∠DAE＝，CF＝1，求☉O的半径. （1）证明：∵DF是☉O的切线，∴OD⊥DF， ∴∠ODF＝90°， ∴∠F＋∠DBC＝90°.∵BD是☉O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠BAC＋∠DAC＝90°.∵∠DBC＝∠DAC， ∴∠BAC＝∠F. （2）解：连接CD.∵BD是☉O的直径，DF是☉O的切线，∴∠DCF＝∠DCB＝90°，OD⊥DF，∴∠BDC＋∠FDC＝∠DBC＋∠BDC＝90°，∴∠CDF＝∠DBC.又∵∠DAC＝∠DBC， ∴∠CDF＝∠DBC＝∠DAE，∴在Rt△DCF中，tan∠DAE＝tan∠CDF＝＝.又∵CF＝1，∴DC＝2.在Rt△BDC中，tan∠DBC＝＝.∵DC＝2，∴BC＝4.在Rt△BDC中，由勾股定理，得BD2＝BC2＋CD2＝42＋22＝20∴BD＝2，∴☉O的半径为. 4.（2024东南片区一模）如图，AB是☉O的直径，点C，E在☉O上，过点E作☉O的切线与AB的延长线交于点F，且∠AFE＝∠ABC. （1）求证：∠CAB＝2∠EAB； （2）若BF＝1，sin∠AFE＝，求BC的长. （1）证明：如图，连接OE.∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠FOE＝∠OAE＋∠OEA＝2∠EAB.∵EF为☉O的切线，∴OE⊥EF，∴∠OEF＝90°.∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠AFE＝∠ABC，∴90°－∠AFE＝90°－∠ABC，即∠FOE＝∠CAB，∴∠CAB＝2∠EAB. （2）解：在Rt△EOF中，设半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r＋1.∵sin∠AFE＝＝＝，∴r＝4，∴AB＝2r＝8.在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝sin∠AFE＝，AB＝8，∴AC＝×8＝，∴BC＝＝. 5.（2024历下一模）如图，AB为☉O的直径，点D为☉O上一点，点E是的中点，连接BE，AE，过点A的切线与BE的延长线交于点C，弦BE，AD相交于点F. （1）求证：∠ADE＝∠CAE； （2）若∠ADE＝30°，AE＝，求BF的长. （1）证明：∵AC与☉O相切于点A，∴AB⊥AC，∴∠BAE＋∠CAE＝90°.∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠CAE.∵∠ABE＝∠ADE， ∴∠CAE＝∠ADE. （2）解：∵E是的中点，∴＝，∴AE＝DE， ∴∠DAE＝∠ADE＝30°.∵∠AEB＝90°，∴∠AFE＝60°.∵AE＝，∴AF＝＝2.∵∠ABE＝∠ADE＝30°，∴∠BAF＝60°－∠ABE＝30°，∴∠BAF＝∠ABE， ∴BF＝AF＝2. 类型三　圆与相似三角形结合 跟踪练习 6.如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是☉O的直径，AB与CD交于点E，P是AB延长线上一点，＝，∠BCD＝∠BCP. （1）求证：CP是☉O的切线； （2）若BP＝2，CP＝4，求☉O的直径. （1）证明：连接OC. ∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90°， 即∠ACO＋∠OCB＝90°. ∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠A. ∵＝，∴∠BCD＝∠A. ∵∠BCD＝∠BCP，∴∠BCP＝∠A＝∠ACO， ∴∠BCP＋∠OCB＝90°，即∠PCO＝90°，∴OC⊥CP. ∵OC是☉O的半径，∴CP是☉O的切线. （2）解：∵∠BCP＝∠A，∠P＝∠P， ∴△BCP∽△CAP， ∴＝，∴＝，∴AP＝8， ∴AB＝AP－PB＝8－2＝6， ∴☉O的直径是6. 7.（2024莱芜一模）如图，AB为☉O的直径，BE与☉O相交于点C，过点C的切线CD⊥AE，垂足为点D. （1）求证：AE＝AB； （2）若AB＝6，CB＝4，求CD的长. （1）证明：连接OC. ∵CD是☉O的切线，∴OC⊥CD. 又∵CD⊥AE，∴AE∥OC， ∴∠E＝∠OCB. ∵OC＝OB， ∴∠B＝∠OCB， ∴∠E＝∠B，∴AE＝AB. （2）解：连接AC. ∵AB为☉O的直径， ∴∠ACB＝90°，即AC⊥BE， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝＝2. ∵AB＝AE，AC⊥BE，∴∠EAC＝∠BAC. 又∵∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴＝，即＝，∴CD＝. 8.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的☉O交BC于点D，过点D作☉O的切线交AB的延长线于点F，交AC于E. （1）求证：DE⊥AC； （2）若AE＝6，FB＝4，求☉O的半径. （1）证明：连接AD，OD，如图. ∵AB为☉O的直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC. ∵AB＝AC，∴BD＝CD.又∵OA＝OB， ∴OD为△ABC 的中位线，∴OD∥AC. ∵EF是☉O的切线，∴OD⊥EF， ∴EF⊥AC，即DE⊥AC. （2）解：设☉O的半径为R. ∵OD∥AE，∴△FOD∽△FAE，∴＝， ∴＝，∴R＝4或R＝－3（舍去）， ∴☉O的半径为4. 9.（2023历城一模）如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上两点，且＝，过点D的切线EF交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD，OE交于点G. （1）求证：AE⊥EF； （2）若＝，☉O的半径为2，求BF的长. （1）证明：如图，连接OD. ∵DE是☉O的切线，∴DE⊥OD， ∴∠ODF＝90°. ∵＝，∴∠CAD＝∠DAB. ∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ODA， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴OD∥AE， ∴∠AEF＝∠ODF＝90°，∴AE⊥EF. （2）解：∵∠CAD＝∠ODA，∠AGE＝∠OGD， ∴△OGD∽△EGA， ∴＝＝. ∵∠AEF＝∠ODF＝90°，∠F＝∠F， ∴△ODF∽△AEF，∴＝＝， ∴＝， ∴BF＝2. 10.（2023钢城二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为 直径作☉O与AC交于点E.过点A作☉O的切线交BC的延长线于点D. （1）求证：∠D＝∠EBC； （2）若CD＝2BC，AE＝3，求☉O的半径. （1）证明：∵AB为☉O的直径， ∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠BAC＝90°. 又∵AD为☉O的切线，∴∠DAB＝90°， ∴∠DAC＋∠BAC＝90°，∴∠DAC＝∠ABE. 又∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC. ∵∠ACB为△ADC的一个外角， ∴∠ACB＝∠D＋∠DAC， ∴∠D＋∠DAC＝∠ABC＝∠ABE＋∠EBC， ∴∠D＝∠EBC. （2）解：设半径为a，则AB＝AC＝2a，则CE＝2a－3. 由（1）得，∠DAB＝∠BEC＝90°，∠D＝∠EBC， ∴△ADB∽△EBC， ∴＝，即＝＝， 得6a－9＝2a，解得a＝，∴☉O的半径为. 类型四　等面积法的运用 跟踪练习 11.（2024平阴二模）如图1，在☉O中，AB为☉O的直径，点C为☉O上一点，AD为∠CAB的平分线交☉O于点D，连接OD交BC于点E. （1）求∠OEB的度数； （2）如图2，过点A作☉O的切线交BC的延长线于点F，过点D作DG∥AF交AB于点G.若☉O的半径为7，AD＝2，求DG的长. 　 解：（1）∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵AD平分∠CAB， ∴∠BAC＝2∠BAD. ∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA， ∴∠BOD＝∠BAD＋∠ODA＝2∠BAD， ∴∠BOD＝∠BAC， ∴OD∥AC， ∴∠OEB＝∠ACB＝90°. （2）如图，连接BD. ∵☉O的半径为7，∴AB＝14， ∴BD＝＝ ＝2. ∵AF是☉O的切线，∴AF⊥AB. ∵DG∥AF，∴DG⊥AB， ∴S△ABD＝AD·BD ＝AB·DG， ∴DG＝＝＝2. 类型五　阴影部分的面积 跟踪练习 12.（2024山东）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，AB＝BC＝2AD＝2.以点A为圆心，以AD为半径作交AB于点E，以点B为圆心，以BE为半径作所交BC于点F，连接FD交于另一点G，连接CG. （1）求证：CG为所在圆的切线； （2）求图中阴影部分面积.（结果保留π） （1）证明：连接BG，如图. 根据题意可知：AD＝AE，BE＝BF. 又∵AB＝BC，∴CF＝AE＝AD. ∵BC＝2AD，∴BF＝BE＝AD＝AE＝CF. ∵AD∥BC，∴四边形ABFD是平行四边形， ∴∠BFD＝∠DAB＝60°. ∵BG＝BF， ∴△BFG是等边三角形， ∴GF＝BF，∴GF＝BF＝FC， ∴G在以BC为直径的圆上，∴∠BGC＝90°， ∴CG为所在圆的切线. （2）解：过点D作DH⊥AB于点H. 由图可得：S阴影＝S▱ABFD－S扇AED－S扇BEG－S△BFG. 在Rt△AHD中，AD＝1，∠DAB＝60°， ∴DH＝AD·sin∠DAB＝1×＝， ∴S▱ABFD＝AB·DH＝2×＝. 由题可知：扇形ADE和扇形BGE全等， ∴S扇AED＝S扇BGE＝＝＝， S△BFG＝GF·DH＝×1×＝， ∴S阴影＝S▱ABFD－S扇AED－S扇BEG－S△BFG＝－－－＝－. 类型六　其他 跟踪练习 13.（2023莱芜一模）如图，在△ABC中，以AB为直径的☉O与BC相交于点D，DE是☉O的切线，DE⊥AC于点E. （1）求证：AB＝AC； （2）若☉O的半径为4，∠C＝30°，求AE的长. （1）证明： 如图，连接OD.∵DE是☉O的切线，∴DE⊥OD.∵DE⊥AC，∴AC∥OD，∴∠C＝∠ODB.∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，∴∠C＝∠B，∴AB＝AC. （2）解：如图，连接AD.∵☉O的半径为4，AB是☉O的直径，∴AB＝8，∠ADB＝∠ADC＝90°.∵∠C＝30°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴AD＝AB＝4.∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠C＋∠DAE＝∠DAE＋∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠C＝30°，∴AE＝AD＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$