2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 ——图形的对称、平移与旋转

2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 ——图形的对称、平移与旋转 学生版 知识清单梳理 知识点一　轴对称与轴对称图形 1.轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后能够 ，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴. 2.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够 ，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴. 【技法点拨】轴对称图形的判断步骤：①找对称轴；②图形沿对称轴折叠；③对称轴两边的图形完全重合. 3.轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴 ，对应线段 ，对应角 .成轴对称的两个图形是全等图形. 4.简单的轴对称图形 （1）线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴. （2）角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. （3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三角形的对称轴. 知识点二　中心对称与中心对称图形 5.中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转 ，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作它们的对称中心. 6.中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心. 【技法点拨】中心对称图形的判断步骤：①找对称中心；②图形绕对称中心旋转180°；③旋转前后的图形完全重合. 7.中心对称的性质：成中心对称的两个图形是全等图形，对应点所连线段经过 且被对称中心 . 【技法点拨】根据中心对称的性质，我们得到一个确定对称中心的方法：成中心对称的两个图形的对应点连成的线段的交点即对称中心. 8.常见的轴对称、中心对称图形 A.等腰三角形　B.等边三角形　C.平行四边形　D.菱形　E.矩形　F.正方形　G.正五边形　H.正六边形　I.圆 （1）是轴对称图形的是： . （2）是中心对称图形的是： . （3）既是轴对称图形又是中心对称图形的是： . 知识点三　图形的平移与旋转 9.图形的平移 （1）平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. （2）平移的性质 ①平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小（平移前后的图形全等）； ②一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且 ；对应线段平行（或在一条直线上）且 ，对应角 . （3）用坐标表示平移：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或左平移a个单位长度，可得到对应点（x＋a，y）或（ ，y），将点（x，y）向上或下平移b个单位长度，可得到对应点（x， ）或（x，y－b）. 10.图形的旋转 （1）旋转：在平面内，将一个图形绕一个顶点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. （2）旋转的性质 ①旋转不改变图形的形状和大小（旋转前后的图形全等）； ②对应点到旋转中心的距离 ； ③任意一组对应点与 的连线所成的角都等于旋转角； ④对应线段 ，对应角 . 高频考点过关 考点一　轴对称图形与中心对称图形 1.（2023济南）下图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　 　） A. B. C. D. 2.（2022济南）下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　 　） A. B. C. D. 考点二　图形的平移 3.（2020济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到△A'B'C'，那么点B的对应点B'的坐标为（　 　） A.（1，7） B.（0， 5） C.（3，4） D.（－3，2） 4.（2023天桥一模）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到 △A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4，若AA'＝1，则A'D＝ . 考点三　图形的旋转 5. （2024济阳二模）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝10，P是线段BC上一动点，连接AP并将AP绕P顺时针旋转90°得到线段PE.连接DE，直线DE交BC于F，若△PEF的面积为3，则线段BP的长度为 . 6. （2024历城二模）如图，在平面直角坐标系中，将等边△OAB绕点A旋转180°得到△O1AB1，再将△O1AB1绕点O1旋转180°得到△O1A1B2，再将△O1A1B2绕点A1旋转180°得到△O2A1B3，按此规律进行下去，若点B的坐标为（－2，0），则点B2 024的坐标为 . 7.（2024历城一模节选） 如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，若D是 △ABC内一点，将线段CD绕点 C顺时针旋转 90°得到CE，连接AD，BE. （1）如图1，判断AD与BE的位置关系并给出证明； （2）如图2，连接AE，BD，当 AE＝AB时，请直接用等式表示线段BD和CD的数量关系. 　　 考点四　图形的对称与折叠 8. （2024济南）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝，AD＝2，E为边AD的中点，点F在边CD上，连接 EF，将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D'，连接BD'.若BD'＝2，则DF＝ . 9. （2023济南）如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P.若∠ABC＝30°，AP＝2，则PE的长等于 . 10. （2024市中一模）如图，▱ABCD中，∠B＝60°，AD＝2AB＝4，E，F分别为边AD，BC上两点，连接EF， 将▱ABCD沿EF翻折，A，B对应点分别BC上两点，连接EF，将▱ABCD沿EF翻折，A，B对应点分别为A'，B'，点C在直线A'B'上，且A'E⊥AD，则AE＝ . 11.（2024济阳一模）在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABC沿AC翻折得到△AEC，F是DC上一点，连接EF， 若sin∠AEF＝，则线段EF的长度是 . 12.（2024商河一模节选）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，E是BC边上的一点，将矩形ABCD沿折痕AE折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处，PC＝4（如图1）. （1）求AB的长. （2）擦去折痕AE，连接PB，设M是线段PA上的一个动点（点M与点P，A不重合）.N是AB延长线上的一个动点，并且满足PM＝BN，过点M作MH⊥PB，垂足为H，连接MN交PB于点F（如图2）.若M是PA的中点，求MH的长. 　 达标演练检测 1.下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　 　） A. B. C. D. 2. （2024历下一模）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美.下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　 　） A. B. C. D. 3. （2023商河二模）如图，点A，B的坐标分别为（1，2）、（4，0），将△AOB沿x轴向右平移，得到三角形CDE，已知DB＝1，则点C的坐标为（　 　） A.（5，2） B.（4，2） C.（5，3） D.（4，3） 4.（2023市中二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，则点P的坐标为（　 　） A.（0，4）　　 B.（1，1） C.（1，2）　　 D.（2，1） 5. 如图，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF.若BC＝5，BE＝2，则CF的长是（　 　） A.2　 B.2.5　 C.3　 D.5 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上.将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C'处，连接BC'，则BC'的最小值为 . 7.在边长为4的正方形ABCD中，E是AD边上一动点（不与端点重合），将△ABE沿BE翻折，点A落在点H处，直线EH交CD于点F，连接BF，BE，BF分别与AC交于点P，Q，连接PD，PF.则以下结论中正确的有 （写出所有正确结论的序号）. ①PB＝PD；②∠EFD＝2∠FBC；③PQ＝AP＋QC；④△BPF为等腰直角三角形；⑤若连接DH，则DH的最小值为4－4. 8.（2023天桥一模）如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠BAC＝∠BDE＝30°，BC＝3，BE＝2. （1）如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：＝ ；直线AD与直线EC的位置关系是 ； （2）如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转一周的过程中，连接AD，EC，其所在直线相交于点F，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. 　　 提分微专题10　借助对称解决线段和差最值问题 模型一　两线段和最小值问题 1.两定点＋一动点，动点在直线上，讲解见第三章第八节. 2.一定点＋两动点，动点分别在两条直线上，讲解见第三章第八节. 跟踪练习 1.（2024章丘一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，CD边上的点，且EF的长为2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA＋PG的最小值为 . 　 2.（2021济南节选）如图，直线y＝x与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，－3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD. （1）求k的值并直接写出点B的坐标； （2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB＋GC的最小值. 模型二　两线段差最大值问题 两定点＋一动点，动点在直线上，讲解见第三章第八节. 跟踪练习 3.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝8，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则｜PA－PB｜的最大值为 . 4.如图，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为（6，1），点B的坐标为（2，a），动点P在y轴上运动，当线段PA与PB之差最大时，求点P的坐标. 模型三　n（n≥3）条线段和最小值问题 1.一定点＋两动点，动点分别在两条直线上，讲解见第三章第八节. 2.两定点＋两定点，动点分别在两条直线上，讲解见第三章第八节. 3.三个动点 已知点D，E，F分别为AB，AC，BC上的动点，先将点D视为定点，利用“一定点＋两动点”模型作出△DEF周长的最小值，对应的线段D'D″.当CD最小，即CD⊥AB时，△DEF的周长最小. 跟踪练习 5.如图，∠AOB＝45°，∠AOB内有一点P，OP＝6，点M是OA上一动点，点N是OB上一动点，则△PMN周长的最小值为（　 　） A.6　 B.3　 C.6　 D.6 6.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E，F，G，H分别在矩形的各边上，且点E，G分别是AB，CD的中点，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为 . 7.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝30°，AO＝4，点C是上一点，点D，E分别在OA，OB上，则△CDE周长的最小值为 . 模型四　动线段和最小值问题 1.“两定点＋定长”型异侧线段和最小值问题：如图，点A，B是两直线l1，l2两侧的两定点，在直线l1找一点P，在直线l2上找一点Q，且PQ（定长PQ＝d）垂直于两直线，使AP＋PQ＋BQ的值最小. 解题思路：将点A向下平移d个单位长度得到A'，连接A'B交直线l2于点Q，过点Q作PQ⊥l1于点P. 2.“两定点＋定长”型同侧线段和最小值问题：如图，点A，B是直线l同侧的两定点，定长线段PQ（PQ＝d）在直线l上运动，找点Q的位置，使AP＋PQ＋BQ的值最小. 解题思路：将点A沿着与直线L平行的方向平移d个单位长度得到A'，作A'关于直线l的对称点A″，连接A″B交直线l于点Q. 跟踪练习 8.如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E，F分别是AB，DC上的动点，EF∥BC，则AF＋CE的最小值是 . 9.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动.若EF＝1，则GE＋CF的最小值为 . 2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 ——图形的对称、平移与旋转 教师版 知识清单梳理 知识点一　轴对称与轴对称图形 1.轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后能够　完全重合　，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴. 2.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够　互相重合　，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴. 【技法点拨】轴对称图形的判断步骤：①找对称轴；②图形沿对称轴折叠；③对称轴两边的图形完全重合. 3.轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴　垂直平分　，对应线段　相等　，对应角　相等　.成轴对称的两个图形是全等图形. 4.简单的轴对称图形 （1）线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴. （2）角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. （3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三角形的对称轴. 知识点二　中心对称与中心对称图形 5.中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转　180° 　，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作它们的对称中心. 6.中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转　180° 　，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心. 【技法点拨】中心对称图形的判断步骤：①找对称中心；②图形绕对称中心旋转180°；③旋转前后的图形完全重合. 7.中心对称的性质：成中心对称的两个图形是全等图形，对应点所连线段经过　对称中心　且被对称中心　平分　. 【技法点拨】根据中心对称的性质，我们得到一个确定对称中心的方法：成中心对称的两个图形的对应点连成的线段的交点即对称中心. 8.常见的轴对称、中心对称图形 A.等腰三角形　B.等边三角形　C.平行四边形　D.菱形　E.矩形　F.正方形　G.正五边形　H.正六边形　I.圆 （1）是轴对称图形的是：　ABDEFGHI　. （2）是中心对称图形的是：　CDEFHI　. （3）既是轴对称图形又是中心对称图形的是：　DEFHI　. 知识点三　图形的平移与旋转 9.图形的平移 （1）平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. （2）平移的性质 ①平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小（平移前后的图形全等）； ②一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且　相等　；对应线段平行（或在一条直线上）且　相等　，对应角　相等　. （3）用坐标表示平移：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或左平移a个单位长度，可得到对应点（x＋a，y）或（　x－a　，y），将点（x，y）向上或下平移b个单位长度，可得到对应点（x，　y＋b　）或（x，y－b）. 10.图形的旋转 （1）旋转：在平面内，将一个图形绕一个顶点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. （2）旋转的性质 ①旋转不改变图形的形状和大小（旋转前后的图形全等）； ②对应点到旋转中心的距离　相等　； ③任意一组对应点与　旋转中心　的连线所成的角都等于旋转角； ④对应线段　相等　，对应角　相等　. 高频考点过关 考点一　轴对称图形与中心对称图形 1.（2023济南）下图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　A　） A. B. C. D. 2.（2022济南）下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　B　） A. B. C. D. 考点二　图形的平移 3.（2020济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到△A'B'C'，那么点B的对应点B'的坐标为（　C　） A.（1，7） B.（0， 5） C.（3，4） D.（－3，2） 4.（2023天桥一模）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到 △A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4，若AA'＝1，则A'D＝　2　. 考点三　图形的旋转 5. （2024济阳二模）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝10，P是线段BC上一动点，连接AP并将AP绕P顺时针旋转90°得到线段PE.连接DE，直线DE交BC于F，若△PEF的面积为3，则线段BP的长度为　3或2　. 6. （2024历城二模）如图，在平面直角坐标系中，将等边△OAB绕点A旋转180°得到△O1AB1，再将△O1AB1绕点O1旋转180°得到△O1A1B2，再将△O1A1B2绕点A1旋转180°得到△O2A1B3，按此规律进行下去，若点B的坐标为（－2，0），则点B2 024的坐标为　（－2 026，2 024）　. 7.（2024历城一模节选） 如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，若D是 △ABC内一点，将线段CD绕点 C顺时针旋转 90°得到CE，连接AD，BE. （1）如图1，判断AD与BE的位置关系并给出证明； （2）如图2，连接AE，BD，当 AE＝AB时，请直接用等式表示线段BD和CD的数量关系. 　　 （1）证明：AD⊥BE.证明如下：如图1，延长AD交CB于O点，交BE于H点.，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，由旋转的性质得CD＝CE，∠DCE＝90°，∵∠ACD＋∠DCB＝90°，∠BCE＋∠DCB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，又∵AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD＝∠CBE.又∵∠AOC＝∠BOH，∴△AOC∽△BOH，∴∠BHO＝∠ACO＝90°；∴AD⊥BE. 　　 （2）解：如图2，连接DE.由①得AD⊥BE，∵AB＝AC，∴HE＝HB，∴AH是EB的垂直平分线，∴DE＝DB，在等腰Rt△DEC中，CD＝CE，∠DCE＝90°，则∠CDE＝45°，∴DE＝＝CD，∴DB＝CD. 考点四　图形的对称与折叠 8. （2024济南）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝，AD＝2，E为边AD的中点，点F在边CD上，连接 EF，将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D'，连接BD'.若BD'＝2，则DF＝　－　. 9. （2023济南）如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P.若∠ABC＝30°，AP＝2，则PE的长等于　＋　. 10. （2024市中一模）如图，▱ABCD中，∠B＝60°，AD＝2AB＝4，E，F分别为边AD，BC上两点，连接EF， 将▱ABCD沿EF翻折，A，B对应点分别BC上两点，连接EF，将▱ABCD沿EF翻折，A，B对应点分别为A'，B'，点C在直线A'B'上，且A'E⊥AD，则AE＝　3－3 　. 11.（2024济阳一模）在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABC沿AC翻折得到△AEC，F是DC上一点，连接EF， 若sin∠AEF＝，则线段EF的长度是　　. 12.（2024商河一模节选）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，E是BC边上的一点，将矩形ABCD沿折痕AE折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处，PC＝4（如图1）. （1）求AB的长. （2）擦去折痕AE，连接PB，设M是线段PA上的一个动点（点M与点P，A不重合）.N是AB延长线上的一个动点，并且满足PM＝BN，过点M作MH⊥PB，垂足为H，连接MN交PB于点F（如图2）.若M是PA的中点，求MH的长. 　 解：（1）设AB＝x，则AP＝CD＝x，DP＝CD－CP＝x－4.在Rt△ADP中，AD2＋DP2＝AP2，即82＋（x－4）2＝x2，解得x＝10，即AB＝10. （2） ①如图，过点A作AG⊥PB于点G.由（1）中的结论可得：PC＝4，BC＝8，∠C＝90°，∴PB＝＝＝4，∵AP＝AB，∴PG＝BG＝PB＝2.在Rt△AGP中，AG＝＝＝4.∵AG⊥PB，MH⊥PB，∴MH∥AG.∵M是PA的中点，∴H是PG的中点，∴MH＝AG＝×4＝2. 达标演练检测 1.下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　A　） A. B. C. D. 2. （2024历下一模）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美.下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　A　） A. B. C. D. 3. （2023商河二模）如图，点A，B的坐标分别为（1，2）、（4，0），将△AOB沿x轴向右平移，得到三角形CDE，已知DB＝1，则点C的坐标为（　B　） A.（5，2） B.（4，2） C.（5，3） D.（4，3） 4.（2023市中二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，则点P的坐标为（　C　） A.（0，4）　　 B.（1，1） C.（1，2）　　 D.（2，1） 5. 如图，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF.若BC＝5，BE＝2，则CF的长是（　A　） A.2　 B.2.5　 C.3　 D.5 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上.将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C'处，连接BC'，则BC'的最小值为　3－3　. 7.在边长为4的正方形ABCD中，E是AD边上一动点（不与端点重合），将△ABE沿BE翻折，点A落在点H处，直线EH交CD于点F，连接BF，BE，BF分别与AC交于点P，Q，连接PD，PF.则以下结论中正确的有　①②④⑤　（写出所有正确结论的序号）. ①PB＝PD；②∠EFD＝2∠FBC；③PQ＝AP＋QC；④△BPF为等腰直角三角形；⑤若连接DH，则DH的最小值为4－4. 8.（2023天桥一模）如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠BAC＝∠BDE＝30°，BC＝3，BE＝2. （1）如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：＝　　；直线AD与直线EC的位置关系是　AD⊥EC　； （2）如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转一周的过程中，连接AD，EC，其所在直线相交于点F，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. 　　 解：（1）提示：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，∠A＝30°，∴AB＝BC＝3.在Rt△BDE中，∠BDE＝30°， BE＝2，∴BD＝BE＝2，∴EC＝1，AD＝， ∴＝，此时AD⊥EC. （2）（1）结论成立. 证明：∵∠ABC＝∠DBE＝90°， ∴∠ABD＝∠CBE. ∵＝＝， ∴＝，∴△ABD∽△CBE， ∴＝＝，∠ADB＝∠CEB. ∵∠ADB＋∠FDB＝180°， ∴∠FDB＋∠BEF＝180°， ∴∠DBE＋∠DFE＝180°， ∴∠DFE＝180°－∠DBE＝90°，∴AD⊥EC. 提分微专题10　借助对称解决线段和差最值问题 模型一　两线段和最小值问题 1.两定点＋一动点，动点在直线上，讲解见第三章第八节. 2.一定点＋两动点，动点分别在两条直线上，讲解见第三章第八节. 跟踪练习 1.（2024章丘一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，CD边上的点，且EF的长为2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA＋PG的最小值为　4－1　. 　 2.（2021济南节选）如图，直线y＝x与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，－3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD. （1）求k的值并直接写出点B的坐标； （2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB＋GC的最小值. 解：（1）将点A的坐标为（m，－3）代入直线y＝x中，得－3＝m，解得m＝－2，∴A（－2，－3），∴k＝－2×（－3）＝6，∴反比例函数表达式为y＝.由得或∴点B的坐标为（2，3）. （2）如图，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，∴BE∥CF，∴△DCF∽△DBE，∴＝.∵BC＝2CD，BE＝3，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴C（6，1）.作点B关于y轴的对称点B'，连接B'C交y轴于点G，则B'C即为BG＋GC的最小值，∵B'（－2，3），C（6，1），∴B'C＝＝2， ∴BG＋GC＝B'C＝2. 模型二　两线段差最大值问题 两定点＋一动点，动点在直线上，讲解见第三章第八节. 跟踪练习 3.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝8，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则｜PA－PB｜的最大值为　8　. 4.如图，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为（6，1），点B的坐标为（2，a），动点P在y轴上运动，当线段PA与PB之差最大时，求点P的坐标. 解：将点A（6，1）代入y＝中，得1＝，解得k＝6，∴反比例函数的表达式为y＝，∵点B（2，a）在反比例函数y＝的图象上，∴a＝＝3，∴点B的坐标为（2，3），设直线AB的表达式为y＝k'x＋b（k'≠0），将点A（6，1），B（2，3）代入y＝k'x＋b中，得解得∴直线AB的表达式为y＝－x＋4， 根据“三角形两边之差小于第三边”可知，当点P为直线AB与y轴的交点时，PA－PB有最大值，最大值是AB的长，把x＝0代入y＝－x＋4中，得y＝4， ∴点P的坐标为（0，4）. 模型三　n（n≥3）条线段和最小值问题 1.一定点＋两动点，动点分别在两条直线上，讲解见第三章第八节. 2.两定点＋两定点，动点分别在两条直线上，讲解见第三章第八节. 3.三个动点 已知点D，E，F分别为AB，AC，BC上的动点，先将点D视为定点，利用“一定点＋两动点”模型作出△DEF周长的最小值，对应的线段D'D″.当CD最小，即CD⊥AB时，△DEF的周长最小. 跟踪练习 5.如图，∠AOB＝45°，∠AOB内有一点P，OP＝6，点M是OA上一动点，点N是OB上一动点，则△PMN周长的最小值为（　C　） A.6　 B.3　 C.6　 D.6 6.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E，F，G，H分别在矩形的各边上，且点E，G分别是AB，CD的中点，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为　6　. 7.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝30°，AO＝4，点C是上一点，点D，E分别在OA，OB上，则△CDE周长的最小值为　4　. 模型四　动线段和最小值问题 1.“两定点＋定长”型异侧线段和最小值问题：如图，点A，B是两直线l1，l2两侧的两定点，在直线l1找一点P，在直线l2上找一点Q，且PQ（定长PQ＝d）垂直于两直线，使AP＋PQ＋BQ的值最小. 解题思路：将点A向下平移d个单位长度得到A'，连接A'B交直线l2于点Q，过点Q作PQ⊥l1于点P. 2.“两定点＋定长”型同侧线段和最小值问题：如图，点A，B是直线l同侧的两定点，定长线段PQ（PQ＝d）在直线l上运动，找点Q的位置，使AP＋PQ＋BQ的值最小. 解题思路：将点A沿着与直线L平行的方向平移d个单位长度得到A'，作A'关于直线l的对称点A″，连接A″B交直线l于点Q. 跟踪练习 8.如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E，F分别是AB，DC上的动点，EF∥BC，则AF＋CE的最小值是　10　. 9.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动.若EF＝1，则GE＋CF的最小值为　3　. 学科网（北京）股份有限公司 $$