解三角形的综合问题 专项训练-2025届高三数学一轮复习

2025高考数学一轮复习-4.7.2-解三角形的综合问题-专项训练 【B级　能力提升】 1.如图,在四边形ABCD中,BD<AD,sin(-A) cos(+A)=. (1)求A; (2)若AB=,AD=3,CD=1,C=2∠CBD,求四边形ABCD的面积. 2.在△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,已知a2=3(b+c). (1)若A=,求△ABC周长的最大值; (2)若b=3,证明:A=2B. 3.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2(c-acos B)=b. (1)求角A; (2)若a=2,求△ABC面积的最大值. 4.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上, BDsin∠ABC=asin C. (1)证明:BD=b; (2)若AD=2DC,求cos∠ABC. 5.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD=1. (1)若∠ADC=,求tan B; (2)若b2+c2=8,求b,c. 【C级　应用创新练】 6.在①AB=2,②∠ADB=135°,③∠BAD=C这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,使得问题成立,并求BD的长和△ABC的面积.如图,在△ABC中,D为BC边上一点,AD⊥AC,AD=1, sin∠BAC=,　　　　,求BD的长和△ABC的面积.  参考答案 【B级　能力提升】 1.解:(1)因为(-A)+(+A)=, 所以sin(-A)=cos(+A), 所以sin(-A)cos(+A)=可化为sin2(-A)=, 由二倍角公式可得cos(-2A)=. 因为BD<AD,所以A∈(0,), 所以(-2A)∈(-,), 所以-2A=,解得A=. (2)在△ABD中,AB=,AD=3,A=, 由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A, 即BD2=3+9-2××3×=3, 所以BD=. 在△BCD中,由正弦定理得==,所以sin C=sin∠CBD. 又因为C=2∠CBD, 所以sin 2∠CBD= sin∠CBD, 即cos∠CBD=. 又因为∠CBD∈(0,π),所以∠CBD=, 从而C=2∠CBD=, 所以∠BDC=, 因此四边形ABCD的面积S=AB·AD·sin A+BD·CD=××3× +××1=. 2.(1)解:因为A=,且a2=3(b+c), 由余弦定理可知,a2=3(b+c)=b2+c2-bc, 所以(b+c)2-3(b+c)=3bc≤(b+c)2, 当且仅当b=c时,等号成立, 所以b+c≤12,所以a=≤6, 即△ABC周长的最大值为12+6=18. (2)证明:因为a2=3(b+c),且b=3, 所以a2=b2+bc, 由余弦定理可知,b2+bc=b2+c2-2bccos A, 所以b=c-2bcos A, 由正弦定理可知,sin B=sin C-2sin Bcos A, 因为A+B+C=π,所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A, 所以sin B=sin Acos B-sin Bcos A=sin(A-B), 又因为A,B∈(0,π),B+A-B=A≠π, 所以B=A-B,即A=2B. 3.解:(1)由2(c-acos B)=b及正弦定理, 得2(sin C-sin Acos B)=sin B, 所以2sin(A+B)-2sin Acos B=sin B, 即2cos Asin B=sin B, 因为sin B≠0,所以cos A=, 又0<A<π,所以A=. (2)法一　因为a=2,所以由正弦定理, 得b=4sin B,c=4sin C, 所以S△ABC=bcsin A=bc=4sin Bsin C, 因为C=π-(A+B)=-B, 所以sin C=sin(-B). 所以S△ABC=4sin Bsin(-B) =4sin B(cos B+sin B) =2sin Bcos B+2sin2B =sin 2B-cos 2B+ =2sin(2B-)+. 因为0<B<,所以-<2B-<, 所以-<sin(2B-)≤1, 所以0<S△ABC≤2+, 即△ABC面积的最大值是2+. 法二　S△ABC=bcsin A=bc, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, b2+c2-bc=4, 因为b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时,等号成立), 所以2bc-bc≤4,bc≤=4(2+), S△ABC=bcsin A=bc≤2+, 即△ABC面积的最大值是2+. 4.(1)证明:因为BDsin∠ABC=asin C, 所以由正弦定理,得BD·b=ac, 又b2=ac,所以BD·b=b2, 又b>0,所以BD=b. (2)解:如图所示,过点D作DE∥BC交AB于点E, 因为AD=2DC, 所以==2,=, 所以BE=,DE=a. 在△BDE中,cos∠BED====, 在△ABC中,cos∠ABC===. 因为∠BED=π-∠ABC, 所以cos∠BED=-cos∠ABC, 所以=-, 化简得3c2+6a2-11ac=0, 方程两边同时除以a2, 得3()2-11()+6=0, 解得=或=3. 当=,即c=a时, cos∠ABC===; 当=3,即c=3a时, cos∠ABC===>1(舍去). 综上,cos∠ABC=. 5.解:(1)在△ABC中,因为D为BC的中点,∠ADC=,AD=1, 则S△ADC=AD·DCsin∠ADC=×1×a·=a=S△ABC=,解得a=4, 在△ABD中,∠ADB=, 由余弦定理得c2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB, 即c2=4+1-2×2×1×(-)=7,解得c=,则cos B==, sin B===, 所以tan B==. (2)在△ABD与△ACD中,由余弦定理得 两式相加整理得a2+2=b2+c2,而b2+c2=8, 则a=2,又S△ADC=××1×sin∠ADC=, 解得 sin∠ADC=1, 而0<∠ADC<π,于是∠ADC=, 所以b=c==2. 【C级　应用创新练】 6.解:选条件①,sin ∠BAC=sin (90°+∠BAD)=cos ∠BAD=, 所以sin∠BAD==. 在△ABD中,由余弦定理,得 BD==. 在△ABD中,由正弦定理,得 =,即=, 所以sin∠ADB=. 所以sin∠ADC=,cos∠ADC=, 所以tan∠ADC=,所以AC=. 所以△ABC的面积为×2××=. 选条件②,sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos∠BAD=, 所以sin∠BAD==, 所以sin B=sin(∠BAD+135°)=×(-)+×=. 在△ABD中,由正弦定理,得==,得AB=,BD=. 因为∠ADB=135°,所以∠ADC=45°,所以AC=1, 所以△ABC的面积为××1×=1. 选条件③,sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos∠BAD=, 所以sin∠BAD==. 因为∠BAD=C,所以sin C=, 在Rt△ACD中,可得cos∠ADC=, 所以cos∠ADB=-,sin∠ADB=. 所以sin B=sin(∠BAD+∠ADB)=×(-)+×=. 在△ABD中,由正弦定理, 得==, 得AB=,BD=. 因为sin C=, 所以cos C=, 所以tan C=, 所以AC=2. 所以△ABC的面积为××2×=. 学科网（北京）股份有限公司 $$