期末专题02 直线与圆大题专练【9大题型42个题】- 【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学常考题专练（新高考）

【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学常考题专练（新高考） 期末专题02 直线与圆大题专项训练 模块一 题型·解读 【题型1】点关于直线对称，三线相关计算 4 【题型2】求切线方程 7 【题型3】弦长问题 9 【题型4】双切线问题 11 【题型5】圆与圆的位置关系问题 14 【题型6】面积相关计算 16 【题型7】最值问题 19 【题型8】阿氏圆等轨迹类问题 22 【题型9】定值定点问题 23 模块二 基础知识·梳理 知识点01 距离公式 一、两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 二、点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 三、两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 知识点02 坐标系中三角形三线的处理策略 要点阐述：中线处理策略：设点坐标，再表示出中点坐标，带入中线方程 高线处理策略：斜率之积为－1，角平分线处理策略：把一个顶点关于角平分线做对称 知识点03 圆的切线方程的求法 要点阐述：点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上 知识点04 弦长公式 要点阐述：利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法 知识点05 圆与圆的位置关系，公切线及公共弦 要点阐述：1、圆和圆的五种位置关系：相离、外切、相交、内切、内含，它们的公切线条数各不相同 2、若两圆相交，则它们方程相减即为公共弦所在直线的方程 知识点06 双切线模型与切点弦方程 切点弦方程（二级结论）：圆外一点向圆作切线，两个切点A,B的连线方程为（类似的其余圆锥曲线都有此类方程） 双切线性质：OP⊥l时候 切线长最小；②切点四边形面积最小；③切点弦AB最短；④切线夹角最大；⑤AB平行l 切点弦的方程的常规求法：如图，易知PAOB四点共圆，且PO为圆的直径，而AB为两圆的公共弦 知识点07 定点，定值，定线模型 常考模型一：模型（极点极线背景） 形态1：如图，已知圆O：，M，N为圆O与x轴左右交点，直线AB交圆O于A,B两点直线AM与直线BN交于点P 结论一：若点P在直线上运动，连接PM得到点A,连接PN得到点B，则直线AB过定点 结论二：若直线过定点，则P点轨迹为 形态2：如图，已知圆O：，直线AB交圆O于A,B两点，交x轴于Q点，点K为圆外x轴上一点 结论：①点；②点；③(即x轴平分∠AKB)，以上3个条件知二得一 形态3：如图，已知圆O：，直线AB交圆O于A,B两点，交x轴于点K，点Q为圆内x轴上一点 结论：①点；②点；③(即∠1=∠2)，以上3个条件知二得一 常考模型二：手电筒模型（平移齐次化） 如图， P，A,B为圆上三点（P点也可以在圆外） 结论一：若直线AB过定点，则或为定值 结论二：若或为定值则直线AB过定点 模块三 核心题型·训练 【题型1】点关于直线对称，三线相关计算 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求第三个顶点的坐标． 2．（22-23高二上·湖北黄冈·期末）已知直线，，且. (1)求与之间的距离； (2)一束光线从出发经反射后平行于轴射出，求入射光线所在的直线方程. 3．（21-22高二上·广东珠海·期末）已知圆过点，，且圆心在直线：上. (1)求圆的方程； (2)若从点发出的光线经过轴反射，反射光线刚好经过圆心，求反射光线的方程. 4．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知圆过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若从点发出的光线经过轴反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程. 5．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程 (2)一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程． 【题型2】求切线方程 6．（22-23高二上·江苏连云港·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程；(2)过点作圆的切线，求该切线的方程. 7．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程；(2)若过点作圆的切线，求该切线方程. 8．（23-24高二上·广东·期末）已知动点到两个定点，的距离的比 (1)求动点的轨迹的方程；(2)过点作曲线的切线，求切线的方程. 9．（22-23高二上·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，动点满足 (1)求动点的轨迹的方程(2)若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程 【题型3】弦长问题 10．（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切． (1)求圆的方程；(2)若过点的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 11．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知圆C经过两点，，且圆心在直线上． (1)求圆C的方程；(2)过点作直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l的方程． 12．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知圆过点和点，圆心在直线上. (1)求圆的方程，并写出圆心坐标和半径的值； (2)若直线经过点，且被圆截得的弦长为4，求直线的方程. 13．（22-23高二上·江苏徐州·期末）已知圆，圆. (1)判断与的位置关系； (2)若过点的直线被、截得的弦长之比为，求直线的方程. 14．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知圆C的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线l：与圆C相交于M，N两点，且满足 ，求实数k的值． 在下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答. ①②为正三角形 ③直线l将圆C分成的两段弧的弧长之比为 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【题型4】双切线问题 15．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知点和圆Q：，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B， (1)求切线的长；(2)求直线的方程. 16．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知圆C的圆心为（且），，圆C与x轴、y轴分别交于A，B两点（与坐标原点O不重合），且线段为圆C的一条直径． (1)求证：的面积为定值； (2)若直线经过圆C的圆心，设P是直线l：上的一个动点，过点P作圆C的切线，，切点为G，H，求线段长度的最小值． 17．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆O：，直线． (1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值； (2)若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值． 18．（23-24高二上·湖北·期末）已知圆心为的圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，当最小时，求的值． 19．（22-23高二上·浙江舟山·期末）已知点，圆C：. (1)若过点.A可以作两条圆的切线，求m的取值范围； (2)当时，过直线上一点P作圆的两条切线PM､PN，求四边形PMCN面积的最小值. 【题型5】圆与圆的位置关系问题 20．（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆的方程为. (1)求的取值范围；(2)当时，求圆与圆的公共弦的长. 21．（23-24高二上·广东珠海·期末）圆内有一点，过P的直线交圆于A，B两点． (1)当P为弦AB中点时，求直线AB的方程； (2)若圆O与圆相交于E，F两点，求EF的长度． 22．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 23．（23-24高二上·广东肇庆·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，（），圆M：． (1)若，过点A作圆M的切线，求此切线的方程； (2)若在圆M上存在唯一一点P，使，求t的值． 24．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知圆的半径为3，圆心在直线上，点. (1)若圆心在轴上，过点A作圆的切线，求切线方程； (2)若在圆上存在点，满足（为坐标原点），求圆心的横坐标的取值范围. 【题型6】面积相关计算 25．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程. 26．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知的三个顶点，，． (1)求边上中线所在直线的方程； (2)已知点满足，且点在线段的中垂线上，求点的坐标． 27．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知的一条内角平分线的方程为，一个顶点为，边上的中线所在直线的方程为． (1)求顶点的坐标；(2)求的面积． 28．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知圆． (1)若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程； (2)设不过圆心的直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值． 29．（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知直线与圆相交于两点，是坐标原点，且三点构成三角形．    (1)用表示弦长，并求的取值范围； (2)记的面积为，求的最大值及取最大值时的值． 【题型7】最值问题 30．（22-23高二上·江苏南京·期末）如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为. (1)若，求切线所在直线方程；(2)求的最小值. 31．（22-23高二上·广东清远·期末）已知的顶点分别为． (1)求外接圆的方程； (2)设P是直线上一动点，过点P作外接圆的一条切线，切点为Q，求最小值及点P的坐标． 32．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆. (1)过点作的切线，求的方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的切线，记切点为，当取最小值时，求的大小. 33．（21-22高二上·广东揭阳·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B； (1)求直线AB的方程； (2)若M为圆上的一点，求面积的最大值． 34．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上且与轴相切，圆被直线截得的弦长为4. (1)求圆的标准方程； (2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且，求的最小值. 35．（22-23高二上·广东·阶段练习）已知圆上的动点M在x轴上的投影为N，点C满足． (1)求动点C的轨迹方程C； (2)过点的直线l与C交于A，B两个不同点，求面积的最大值． 【题型8】阿氏圆等轨迹类问题 36．已知圆C：，直线l：. 设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程； 若定点分弦AB为，求此时直线l的方程. 37．如图，已知的方程为，点，过点A作的切线AP，P为切点. 求AP的长； 在x轴上是否存在点B（异于A点），满足对上任一点C，都有为定值？若存在，求B点的坐标；若不存在，请说明理由. 38．已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． 求圆的标准方程． 已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在（2）的条件下，若点，试求 的最小值. 【题型9】定值定点问题 39．已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点. 求圆C的标准方程； 直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值. 39．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知圆C与直线相切于点，且圆心C在x轴的正半轴上. 求圆C的方程； 过点作直线交圆C于M，N两点，且M，N两点均不在x轴上，点，直线BN和直线OM交于点G.证明：点G在一条定直线上，并求此直线的方程. 40．在平面直角坐标系xOy中，已知圆和直线（其中和均为常数，且），为l上一动点，为圆与轴的两个交点，直线与圆的另一个交点分别为. 若，M点的坐标为,求直线方程；求证：直线过定点，并求定点的坐标． 41．（23-24高二上·福建三明·期中）已知圆C：与圆的相交弦长为 求圆C的半径R的值； 若对于的圆，已知点，点，在圆C上，直线不经过点，且直线，的斜率之和为2，求证：直线MN经过一定点，并求出该定点的坐标. 42．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知在平面直角坐标系xOy中，已知A、B是圆O：上的两个动点，P是弦AB的中点，且； 求点P的轨迹方程； 点P轨迹记为曲线τ，若C，D是曲线τ与x轴的交点，E为直线l：上的动点，直线CE，DE与曲线τ的另一个交点分别为M，N，判断直线MN是否过定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由． 末尾 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学常考题专练（新高考） 期末专题02 直线与圆大题专项训练 模块一 题型·解读 【题型1】点关于直线对称，三线相关计算 4 【题型2】求切线方程 9 【题型3】弦长问题 13 【题型4】双切线问题 19 【题型5】圆与圆的位置关系问题 25 【题型6】面积相关计算 32 【题型7】最值问题 38 【题型8】阿氏圆等轨迹类问题 46 【题型9】定值定点问题 49 末尾 56 模块二 基础知识·梳理 知识点01 距离公式 一、两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 二、点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 三、两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 知识点02 坐标系中三角形三线的处理策略 要点阐述：中线处理策略：设点坐标，再表示出中点坐标，带入中线方程 高线处理策略：斜率之积为－1 角平分线处理策略：把一个顶点关于角平分线做对称 知识点03 圆的切线方程的求法 要点阐述：点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上 知识点04 弦长公式 要点阐述：利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法 知识点05 圆与圆的位置关系，公切线及公共弦 要点阐述：1、圆和圆的五种位置关系：相离、外切、相交、内切、内含，它们的公切线条数各不相同 2、若两圆相交，则它们方程相减即为公共弦所在直线的方程 知识点06 双切线模型与切点弦方程 切点弦方程（二级结论）：圆外一点向圆作切线，两个切点A,B的连线方程为（类似的其余圆锥曲线都有此类方程） 双切线性质：OP⊥l时候 切线长最小；②切点四边形面积最小；③切点弦AB最短；④切线夹角最大；⑤AB平行l 切点弦的方程的常规求法：如图，易知PAOB四点共圆，且PO为圆的直径，而AB为两圆的公共弦 知识点07 定点，定值，定线模型 常考模型一：模型（极点极线背景） 形态1：如图，已知圆O：，M，N为圆O与x轴左右交点，直线AB交圆O于A,B两点直线AM与直线BN交于点P 结论一：若点P在直线上运动，连接PM得到点A,连接PN得到点B，则直线AB过定点 结论二：若直线过定点，则P点轨迹为 形态2：如图，已知圆O：，直线AB交圆O于A,B两点，交x轴于Q点，点K为圆外x轴上一点 结论：①点；②点；③(即x轴平分∠AKB)，以上3个条件知二得一 形态3：如图，已知圆O：，直线AB交圆O于A,B两点，交x轴于点K，点Q为圆内x轴上一点 结论：①点；②点；③(即∠1=∠2)，以上3个条件知二得一 常考模型二：手电筒模型（平移齐次化） 如图， P，A,B为圆上三点（P点也可以在圆外） 结论一：若直线AB过定点，则或为定值 结论二：若或为定值则直线AB过定点 模块三 核心题型·训练 【题型1】点关于直线对称，三线相关计算 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求第三个顶点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称列方程组求点即可； （2）根据点关于直线对称列方程组求点即可. 【详解】（1）设点关于直线的对称点的坐标为， 则有，解得，故点的坐标为 （2）设，则有，解得，故点的坐标为. 2．（22-23高二上·湖北黄冈·期末）已知直线，，且. (1)求与之间的距离； (2)一束光线从出发经反射后平行于轴射出，求入射光线所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平行条件得出的值，再由距离公式求解； （2）由关于的对称点得出反射光线的方程，并与直线联立得出入射点，进而由两点式写出方程. 【详解】（1）由可得：，解得：或 当时，，，此时与重合，舍去 当时，，，此时，符合题意 故与之间的距离为. （2）设关于的对称点为，则 解得：，∴ 联立，解得：，∴入射点为. 故入射光线所在的直线方程为，即. 3．（21-22高二上·广东珠海·期末）已知圆过点，，且圆心在直线：上. (1)求圆的方程； (2)若从点发出的光线经过轴反射，反射光线刚好经过圆心，求反射光线的方程. 【答案】(1)； (2) 【分析】(1)根据题意设圆心，利用两点坐标公式求距离公式表示出，解出，确定圆心坐标和半径，进而得出圆的标准方程； (2)根据点关于坐标轴对称的点的特征可得，利用直线的两点式方程即可得出结果. 【详解】（1）圆过点，，因为圆心在直线：：上， 设圆心，又圆过点，， 所以，即， 解得，所以，所以 故圆的方程为：； （2）点关于轴的对称点， 则反射光线必经过点和点， 由直线的两点式方程可得， 即：. 4．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知圆过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若从点发出的光线经过轴反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求的垂直平分线方程，联立直线的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程； （2）根据点关于轴对称的求得对称点，利用直线点斜式方程即可得出结果. 【详解】（1）由，得直线的斜率为， 线段中点所以，直线的方程为， 即，联立，解得，即，' 所以半径， 所以圆的方程为 （2）关于轴的对称点为， 由恰好平分圆的圆周，得经过圆心 ，的方程为：，即. 5．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程 (2)一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设点，由得方程，化简整理即可 （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率存在讨论即可求解． 【详解】（1）设，由得， 化简得，动点的轨迹方程为：； （2）光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点， 故入射光线的斜率不为0，故反射光线的斜率不为0， 当入射光线的斜率不存在时，此时反射光线方程为， 此时直线与无交点，不合要求，舍去， 当入射光线的斜率存在时，点关于轴的对称点 由题意知反射光线所在的直线经过点，其斜率也一定存在， 设其方程为，即为， 设圆心到反射直线的距离设为，则， 所以，解得舍去或． 所以反射光线所在直线的方程为． 【题型2】求切线方程 6．（22-23高二上·江苏连云港·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求该切线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）圆心在线段的垂直平分线上，利用两线交点求得圆心坐标、进而求出半径，写出标准方程； （2）分别讨论切线斜率存在与否，其中斜率存在时，由点线距离列式可解得斜率. 【详解】（1）由题意，，圆心在线段的垂直平分线，即上. 由，解得，即，从而， 所以圆的标准方程为. （2）i.当切线的斜率不存在时，即，满足题意； ii.当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即， 则，解得，所以切线方程为. 综上所述，该切线方程为或. 7．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点作圆的切线，求该切线方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先设圆的标准方程，再代入点的坐标及圆心在直线上即可求参； （2）设直线方程，利用直线与圆的位置关系计算即可求解. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以 ，解得： ， 所以圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为5，等于半径，故满足题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 则点到直线的距离为圆的半径， 即，解得，此时. 综上，直线l的方程为或. 8．（23-24高二上·广东·期末）已知动点到两个定点，的距离的比 (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作曲线的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，根据题中几何关系得，再利用两点间距离公式从而可求解. （2）由（1）求出圆心，半径，设出直线方程，再结合直线与圆相切从而可求解. 【详解】（1）设，由题意得，即，化简得， 所以动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知化简为标准方程为，圆心为，半径， 设直线的斜率为，即直线方程为，因为直线与圆相切， 所以，解得或， 所以直线的方程为或. 9．（22-23高二上·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，动点满足 (1)求动点的轨迹的方程 (2)若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，根据动点满足，用两点间距离公式化简求解. （2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径可得答案. 【详解】（1）设，则由， 即， 化简得， 所以P点的轨迹方程为． （2）当直线l的斜率不存在时，方程为， 圆心到直线l的距离为2，又因为圆的半径为2，所以相切； 当直线l的斜率存在时，设， 即， 由到l的距离，解得， 所以直线方程为，即， 综上，l的方程为或. 【题型3】弦长问题 10．（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切． (1)求圆的方程； (2)若过点的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据题意设圆心，结合所过点、与直线相切列方程求参数，即可得圆心和半径，进而写出圆的方程； （2）由题意直线l与圆C的距离，讨论直线斜率，并设直线方程，应用点线距离求参数，求直线方程 【详解】（1）由题意，设圆心，圆经过点，与直线相切， 所以，化简得，解得， 则圆心，半径， 所以圆的方程为． （2）由题意，直线l与圆C的距离， 若斜率不存在，即，显然满足要求； 若斜率存在，设直线l方程为，则，解得，则； 直线l的方程为或． 11．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知圆C经过两点，，且圆心在直线上． (1)求圆C的方程； (2)过点作直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）设出圆的标准方程，利用待定系数法求解； （2）根据弦长及圆的半径求出弦心距，据此分直线斜率存在与不存在两种情况求解即可. 【详解】（1）设圆C的方程为， 则，解得， 所以圆C的方程为． （2）设圆心到直线l的距离为d，则，则． 当直线l的斜率不存在时，直线l：，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 所以，解得， 此时，直线l的方程为，即． 综上所述，直线l的方程为或． 12．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知圆过点和点，圆心在直线上. (1)求圆的方程，并写出圆心坐标和半径的值； (2)若直线经过点，且被圆截得的弦长为4，求直线的方程. 【答案】(1)圆：，圆心， (2)或 【分析】（1）设圆的方程为，由圆心所在直线和圆过点和点可得方程组，求解即可； （2）由被圆所截弦长可得圆心到直线l的距离d，后由点到直线距离公式可得答案，但要注意直线斜率不存在的情况. 【详解】（1）设圆的方程为，则， 解得， 所以圆的方程为：， 圆心为，半径为； （2）由（1）知，圆心到直线的距离为， 于是当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当直线斜率存在时，不妨设直线方程为， 即，令， 解得，直线方程是， 综上所述，直线的方程是：或. 13．（22-23高二上·江苏徐州·期末）已知圆，圆. (1)判断与的位置关系； (2)若过点的直线被、截得的弦长之比为，求直线的方程. 【答案】(1)外切 (2)或 【分析】（1）计算出，利用几何法可判断两圆的位置关系； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直线验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用勾股定理结合点到直线的距离公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）解：圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为. 因为，所以圆与圆外切. （2）解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线与圆相离，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为， 所以，直线被圆截得的弦长为， 直线被圆截得的弦长为， 由题意可得， 即，解得或， 经检验，或均符合题意. 所以直线的方程为或. 14．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知圆C的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线l：与圆C相交于M，N两点，且满足 ，求实数k的值． 在下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答. ①②为正三角形 ③直线l将圆C分成的两段弧的弧长之比为 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)条件选择见解析， 【分析】（1）利用圆心到A的距离等于半径即得； （2）由（1）知，根据①或②或③的条件分别求出，然后利用弦心距等于圆心到直线的距离，求解即可. 【详解】（1）因为圆心在直线上，与直线相切， 故设圆心，由题意可得：＝， 解得 所以圆C的标准方程为． （2）选①：由（1）和已知条件可得 因为，所以， 则, 因为，所以， 所以弦心距． 所以圆心到直线的距离为＝， 解得 . 选②： 因为为正三角形，所以， 所以弦心距． 所以圆心到直线的距离为＝， 解得 选③： 因为直线l将圆C分成的两段弧的弧长之比为 ， 所以， 所以弦心距． 所以圆心到直线的距离为＝， 解得. 【题型4】双切线问题 15．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知点和圆Q：，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B， (1)求切线的长； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，，结合勾股定理即可得解. （2）将原问题转换为求以为直径的圆和已知圆的公共弦方程来求解即可. 【详解】（1）圆的圆心为，半径，， 因为 故 所以，的长都是. （2）因为，，所以A、B都在以为直径的圆上， 圆心为的中点，半径长为， 所以圆的方程为，即， 由得，故直线的方程为. 16．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知圆C的圆心为（且），，圆C与x轴、y轴分别交于A，B两点（与坐标原点O不重合），且线段为圆C的一条直径． (1)求证：的面积为定值； (2)若直线经过圆C的圆心，设P是直线l：上的一个动点，过点P作圆C的切线，，切点为G，H，求线段长度的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）求出圆的方程，分别令，求出，，即可求出的面积，即可证明； （2）因为直线经过圆的圆心，所以，结合，即可解出，可求出求圆的方程；由题意可得然P，G，C，H四点共圆，且为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆，可得圆的方程，由点到直线的距离、圆的弦长公式表示出，再由二次函数的性质即可求出求线段长度的最小值. 【详解】（1）设圆的方程为，由题可知点在圆上， 则圆的方程为， 整理得， 因为圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合）， 令，解得：；令，解得：； 则，． 所以，为定值． （2）因为直线经过圆的圆心，所以． 又，且，解得． 所以圆的方程为． 过点作圆的切线，，切点为，， 显然P，G，C，H四点共圆，且为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆，， 则圆的方程为， 即，① 又圆的半径，方程可化为，② ①－②，得圆与圆的相交弦所在直线的方程为 ． 点到直线的距离， 所以 ， 所以当时，取得最小值， 故线段长度的最小值为． 17．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆O：，直线． (1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值； (2)若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理得圆心到直线距离，再利用点到直线距离公式求解； （2）将四边形的面积的最小值转化为求的面积最小值，根据求其最小值即可. 【详解】（1）当时，由垂径定理得圆心到直线的距离为， 则， 解得； （2）当时，直线，即 由已知得 又， 所以的最小值为， 又因为四边形的面积的为，所以其最小值为 18．（23-24高二上·湖北·期末）已知圆心为的圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，当最小时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆的弦和圆心的性质求出圆心所在直线，与已知联立得出圆心坐标，进而得到半径，即可求解； （2）由可知当取最小值时最小，此时，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）因为圆心为的圆经过点，， 所以圆心在线段的中垂线上， 因为，线段中点为， 所以圆心在直线，即上， 联立得圆心，圆的半径为， 所以圆的方程为. （2）由题意可知， 所以， 所以当取最小值时最小，此时， 所以此时． 19．（22-23高二上·浙江舟山·期末）已知点，圆C：. (1)若过点.A可以作两条圆的切线，求m的取值范围； (2)当时，过直线上一点P作圆的两条切线PM､PN，求四边形PMCN面积的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用点在圆外代入得到不等式，结合曲线方程表示圆即可解答； （2）首先得到，再根据点到直线的距离公式求出的最小值，最后得到四边形面积的最小值. 【详解】（1）由题意得在圆外，则，即 又，即或 所以或. （2）时，圆方程为，则圆的半径，圆心， 直线方程为，设圆心到直线的距离为， ， 【题型5】圆与圆的位置关系问题 20．（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆的方程为. (1)求的取值范围； (2)当时，求圆与圆的公共弦的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把圆的方程化为标准式，建立不等式，解出即可； （2）先判断两圆相交，两圆方程相减，得到公共弦所在直线方程，利用勾股定理计算即可. 【详解】（1）因为圆的方程为 化为标准方程为 所以，解得 所以的取值范围为. （2）当时，圆的方程为， 所以圆的圆心坐标，半径, 已知圆， 所以圆的圆心坐标，半径, 根据两点公式可得， 又因为，所以两圆相交， 联立， 两式相减并化简可得其公共弦方程为， 由点到直线的距离为： ， 设弦长为，则 ， 所以 所以圆与圆的公共弦的长为. 21．（23-24高二上·广东珠海·期末）圆内有一点，过P的直线交圆于A，B两点． (1)当P为弦AB中点时，求直线AB的方程； (2)若圆O与圆相交于E，F两点，求EF的长度． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知结合圆的性质，求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）求出两圆的公共弦所在直线方程，再利用圆的弦长公式计算即得. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 由P为圆的弦AB中点，得，而直线的斜率为2， 因此直线的斜率为，方程为，即， 所以直线的方程为. （2）圆的圆心，半径，而， 即圆与圆相交，两圆方程相减得直线的方程：， 点到直线的距离， 所以弦的长. 22．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线的性质，结合勾股定理即可由点到直线的距离公式求解， （2）根据两圆相减可得相交弦所在直线方程，即可根据点到直线的距离公式，结合弦长公式求解. 【详解】（1）设圆的半径为，过向圆所作切线的一个切点为， 由知，当最小时，切线段的长度有最小值，自圆心向直线引垂线段，此时有最小值． 圆心到直线的距离．即． ． 圆的方程为． （2）由圆：和圆：， 由于两圆的圆心距为， 故两圆相交， 两圆方程相减得，公共弦所在直线方程为． 圆心到直线的距离为． 弦长． 23．（23-24高二上·广东肇庆·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，（），圆M：． (1)若，过点A作圆M的切线，求此切线的方程； (2)若在圆M上存在唯一一点P，使，求t的值． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】（1）设出圆的切线方程，根据圆心到切线的距离等于半径，列式求解，即可得答案； （2）设，由题意可求得P点的轨迹方程，根据P点的唯一性，分类讨论，结合两圆的内切和外切，求得参数，即得答案. 【详解】（1）由题意得，圆M的半径为1，在圆M外，， 过点A作圆M的切线，则切线斜率存在，设为k， 则切线方程为，即， 所以，解得或， 故切线方程为或； （2）设，由于，所以， 整理得，即，（）， 即P点在以为圆心，为半径的圆上， 由题意可知P是唯一的，只有当圆与圆M相切时，符合题意； 当两圆外切时，则， 整理得，解得，（舍去）， 故； 当两圆内切时，则， 整理得，解得，（舍去），即， 综上，可得或. 24．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知圆的半径为3，圆心在直线上，点. (1)若圆心在轴上，过点A作圆的切线，求切线方程； (2)若在圆上存在点，满足（为坐标原点），求圆心的横坐标的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）由已知求出圆心，以及圆的方程.分切线斜率不存在，以及斜率存在两种情况，分别求解即可得出答案； （2）由已知求出点满足的轨迹为圆，并求出圆的方程.根据已知得出圆与圆有公共点，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】（1）联立可得圆心， 所以，圆的方程为. 当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到的距离，满足题意； 当切线斜率存在时，设切线斜率为， 切线方程为，即. 因为与圆相切， 所以有到的距离， 即，整理可得，解得， 所以，切线方程为，整理可得. 综上所述，切线方程为或. （2）设圆心，， 则，. 由可得，， 整理可得，，即， 所以，点在以为圆心，为半径的圆上. 由已知可得，圆与圆有公共点， 所以，，即， 平方整理可得，，解得或. 【题型6】面积相关计算 25．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】 （1）设出圆心，借助点到直线距离公式可解得圆心坐标，即可得方程； （2）结合三角形面积与点到直线距离公式及勾股定理计算即可得. 【详解】（1）由已知可设圆心， 则， 解得或（舍）， 所以圆的方程为； （2）设圆心到直线的距离为， 则， 即，解得， 又， 所以或， 所以直线的方程为或. 26．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知的三个顶点，，． (1)求边上中线所在直线的方程； (2)已知点满足，且点在线段的中垂线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先得中点坐标，进一步求得所在直线的斜率，结合点斜式化简即可求解； （2）首先得，直线的方程为，结合以及点到直线的距离公式得点所在直线方程为或，进一步求得线段的中垂线方程，联立即可得解. 【详解】（1）由题意中点， 所以所在直线的斜率， 所以所在直线的方程为， 即边中线所在直线的方程； （2）因为，，所以， ，所以直线的方程为，即， 设点到直线的距离，则由题意， 所以点到直线的距离， 则点所在直线方程为或， 因为，， 所以，线段中点坐标为， 所以线段的中垂线为，即， 所以联立或， 所以点的坐标为：或. 27．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知的一条内角平分线的方程为，一个顶点为，边上的中线所在直线的方程为． (1)求顶点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点在直线上，设，由为边上的中线，得出线段的中点在直线上，根据中点公式求出中点，代入直线的方程即可求解； （2）由是的一条角平分线，得出点关于直线的对称点在直线上，由点关于直线对称得出坐标，结合点的坐标求出直线的方程，再与直线联立求出的坐标，由两点之间距离公式求出，由点到直线距离公式求出到直线的距离，即可根据三角形面积公式代入计算即可． 【详解】（1）因为直线的方程为， 设，又， 所以线段的中点坐标为， 因为线段的中点在直线上， 所以，整理得，即， 所以． （2）因为是的一条角平分线， 所以点关于直线的对称点在直线上， 设， 则，解得， 所以， 所以直线的方程为，整理得， 联立直线与直线的方程，， 解得，即， 所以， 点到直线的距离， 所以． 28．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知圆． (1)若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程； (2)设不过圆心的直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值． 【答案】(1)； (2)，；. 【分析】（1）根据给定条件，求出圆心坐标，再利用圆的性质求解作答. （2）利用点到直线的距离公式，求出边AB上的高，再求出弦AB长即可求解作答. 【详解】（1）圆圆心，半径，显然点在圆C内， 由圆的性质知，当为圆C弦的中点时，该弦所在直线垂直于直线， 直线的斜率，则有所求直线斜率为1，方程为：，即， 所以该直线的方程为. （2）直线与圆相交时，圆心C到直线l的距离，解得， 又直线l不过圆心，即，因此且， ， 的面积， 因为且，则，当，即或时，， 所以，，当或时，. 29．（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知直线与圆相交于两点，是坐标原点，且三点构成三角形．    (1)用表示弦长，并求的取值范围； (2)记的面积为，求的最大值及取最大值时的值． 【答案】(1)， (2)的最大值为2，取得最大值时 【分析】（1）由题意得的取值范围，利用勾股定理求圆的弦长； （2）法一：由三角形面积公式，，用表示出，利用基本不等式求最值；法二：同上，设，求最值；法三：由三角形面积公式，，利用正弦函数最值可求最值. 【详解】（1）圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交于不重合的两点，且三点构成三角形， 所以，得，解得且， 所以的取值范围为 （2）法一： 所以，且 当且仅当，时取到等号 所以的最大值为2，取得最大值时 法二：设，则， 所以 所以当，即，即时， 所以的最大值为2，取得最大值时 法三：， 当且仅当时取到等号，此时． 【题型7】最值问题 30．（22-23高二上·江苏南京·期末）如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为. (1)若，求切线所在直线方程； (2)求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）假设切线方程，由圆心到直线距离等于半径可构造方程求得斜率，由此可得切线方程； （2）设，可得，结合可求得最小值. 【详解】（1）由题意知：切线的斜率存在，可设切线方程为，即， 由圆的方程知：圆心为，半径， 则圆心到切线的距离，解得：或， 所求切线方程为：或. （2）连接交于点， 设，则， 在中，， ，，，. 31．（22-23高二上·广东清远·期末）已知的顶点分别为． (1)求外接圆的方程； (2)设P是直线上一动点，过点P作外接圆的一条切线，切点为Q，求最小值及点P的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设出圆的一般方程将三点坐标代入，利用待定系数法即可求得外接圆的方程；（2）根据切线长公式可知，当与圆心之间的距离最小时，切线长最小，根据点到直线距离公式和两直线垂直关系即可求得最小值及点P的坐标. 【详解】（1）设外接圆的方程为， 将分别代入圆方程可得，解得， 所以△ABC外接圆的方程为. （2）外接圆的圆心为,半径； 因为，所以要使最小，只需最小即可， 当时，最小，所以， 所以； 设，则； 解得， 即点P的坐标为. 32．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆. (1)过点作的切线，求的方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的切线，记切点为，当取最小值时，求的大小. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据点到直线的距离公式，利用相切即可求解直线方程， （2）根据切线性质，结合勾股定理可将问题转化为当取最小值时，根据垂直即可求解.. 【详解】（1）因为圆的圆心为，半径为， 当的斜率不存在时，满足条件. 当的斜率存在时，不妨设其方程为， 即， 圆心到的距离为，解得， 可得的方程为， 综上所述，的方程为或. . （2）， 当最短时，即时，取得最小值， 此时， ，又， . 33．（21-22高二上·广东揭阳·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B； (1)求直线AB的方程； (2)若M为圆上的一点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出以为直径的圆的方程，结合已知圆的方程，将两圆方程相减可求得两圆公共弦所在直线方程； （2）求出圆上的点M到直线AB的距离的最大值，求出，利用三角形面积公式求得答案. 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径为1， 则的中点坐标为，， 以为圆心，为直径的圆的方程为， 由，得①， 由，得②， ①②得：． 直线的方程为； （2）圆心 到直线的距离为 故圆上的点M到直线的距离的最大值为 ， 而 , 故面积的最大值为 . 34．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上且与轴相切，圆被直线截得的弦长为4. (1)求圆的标准方程； (2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆心，半径为，则圆方程为，通过弦长公式列方程求得值，即可得圆的方程； （2）由，得点的轨迹方程，将的最小值转化为的最小值，即点到直线的距离为所求. 【详解】（1）因为圆心在上且与轴相切， 所以设圆心，半径为， 所以圆方程为， 又圆心到直线距离， 圆被直线截得弦长为4， 所以有：，解得， 所以圆方程为：； （2）解法一：因为，又因为，所以， 设，则，即， 所以点轨迹方程为. 因为， 所以的最小值就是的最小值， 即为点到直线的距离， 所以的最小值为. 解法二：因为，又因为，所以， 设，则，即，， ， 当时，取得最小值：， 所以的最小值为. 35．（22-23高二上·广东·阶段练习）已知圆上的动点M在x轴上的投影为N，点C满足． (1)求动点C的轨迹方程C； (2)过点的直线l与C交于A，B两个不同点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出点，根据已知列式得出点与点坐标的关系，即可根据点是圆上的动点，代入化简即可得出答案； （2）设，，若直线l的斜率不存在，根据已知得出，且点到直线l的距离为，得出面积；若直线l的斜率存在，设过点直线l的方程为，联立根据韦达定理结合弦长公式得出，再根据点的直线距离得出点到直线l的距离，即可得出面积的式子，在根据函数单调性得出最值，综上，即可得出答案. 【详解】（1）设，，则， 则，， ， ，即， 点是圆上的动点， ，整理得， 则动点C的轨迹方程C为：. （2）设，， 若直线l的斜率不存在，则过点直线l的方程为， 与C：联立得，解得， 则， 则， 若直线l的斜率存在，设过点直线l的方程为， 与C：联立得：，整理得，， 则，， 则， 点到直线l的距离， 则， 令，则，则， 在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递减，则， 综上所述，面积的最大值为. 【题型8】阿氏圆等轨迹类问题 36．已知圆C：，直线l：. 设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程； 若定点分弦AB为，求此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，根据已知列式化简，即可得解； （2）联立方程组应用韦达定理结合向量关系求出直线方程. 【详解】（1）∵直线l：过定点，斜率一定存在， 而在圆C：内， ∴直线l与圆C总有两个不同的交点； 圆C：的圆心为， 所以M与P不重合时，连接CM，CP，则， ∴. 设，则， 化简得：； （2）设，， 由，得， ∴，化简得，① 又由，消去y得. ∴，② 由①②解得，代入（*）解得. ∴直线l的方程为或. 37．如图，已知的方程为，点，过点A作的切线AP，P为切点. 求AP的长； 在x轴上是否存在点B（异于A点），满足对上任一点C，都有为定值？若存在，求B点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)4； (2)存在点B，为定值. 【分析】（1）利用勾股定理求出切线长. （2）设出点、点坐标，根据题意列出等式化简，转化为恒成立问题求解即可. 【详解】（1）依题意，，且，而， 所以. （2）设，则， 假设存在这样的点，使得为常数，且，则， 即，将代入消去, 得对恒成立， ，而，解得， 所以存在点B ，使得对于上任一点，都有为定值. 38．已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． 求圆的标准方程． 已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在（2）的条件下，若点，试求 的最小值. 【答案】(1) (2)存在， (3)5 【分析】（1）根据直线与圆相切，可求圆心，可得方程； （2）假设存在定点，设，表示，讨论是否存在定值； （3）由（2）知，，故所求转化为、、三点共线问题． 【详解】（1）由题意设圆心坐标为，则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以， 故圆的标准方程为； （2）假设存在定点，设， 设，则， 则， 当，即舍去）时，为定值，且定值为， 故存在定点使得为定值， 的坐标为；    （3）由（2）知，故，从而， 当且仅当、、三点共线时，最小， 且． 所以的最小值为5. 【题型9】定值定点问题 39．已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点. 求圆C的标准方程； 直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）根据给定条件，求出圆C的半径即可作答. （2）设出直线AM，AN的方程，与圆C的方程联立，求出点M，N的坐标，再用斜率坐标公式计算作答. 【详解】（1）依题意，圆C的半径， 所以圆C的标准方程是：. （2）设直线方程为：，由消去y并整理得：， 则有点，而直线：，同理， 于是得直线的斜率， 所以直线m的斜率是定值，该定值为. 39．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知圆C与直线相切于点，且圆心C在x轴的正半轴上. 求圆C的方程； 过点作直线交圆C于M，N两点，且M，N两点均不在x轴上，点，直线BN和直线OM交于点G.证明：点G在一条定直线上，并求此直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）设圆心，利用垂直关系求出圆心坐标，从而利用距离公式求出半径，即可求出圆的方程； （2）设直线MN方程，与圆方程联立，得到韦达定理式，求出直线OM和直线BN的方程，联立求得，即可证明. 【详解】（1）由圆心C在x轴的正半轴上设圆心， 又圆C与直线相切于点，则，解得， 所以，半径，所以圆C的方程为：. （2）设，，直线MN方程为：， 联立得， ，，， 直线OM方程为：，直线BN方程为：，联立， 可得， 所以点G在直线上. 40．在平面直角坐标系xOy中，已知圆和直线（其中和均为常数，且），为l上一动点，为圆与轴的两个交点，直线与圆的另一个交点分别为. 若，M点的坐标为,求直线方程； 求证：直线过定点，并求定点的坐标． 【答案】(1)． (2)证明见解析，过定点． 【分析】（1）解法一：通过， ，求出．然后推出坐标，即可求直线方程； 解法二：通过， ，求出．直线与的方程，由在曲线，求出直线的方程． （2）证明法一：设，设，求出直线的方程，直线的方程，通过直线与圆的方程联立，求出直线的方程，然后说明经过定点，求定点的坐标；法二：设得，设，求出直线的方程，与圆的交点,设为，求出直线的方程，与圆的交点设为．点，在曲线上，有，在圆上，求出公共弦方程，说明经过定点，求定点的坐标． 【详解】（1）解法一：当，，则， 则直线的方程：，即， 解得． 同理可得直线的方程：，解得． 由两点式得直线方程为：，即． 解法二：通过， ，求出， 则直线的方程：，即， 解得． 同理可得直线的方程：，解得． 由在曲线， 则当时，求出直线方程为． （2）证法一：由题设得．设， 直线的方程是：，直线的方程是：．解得． 解得． 于是直线PQ的斜率， 直线PQ的方程为． 上式中令，得是一个与无关的常数． 故直线PQ过定点． 证法二：由题设得，．设M(a，t)， 直线MA1的方程是：，与圆的交点,设为， 直线MA2的方程是：,与圆的交点设为, 则点，在曲线上， 化简得   ① 又有，在圆上，圆② ①－×②得 化简得： ． 所以直线的方程为,    ③ 在③中令，得是一个与无关的常数． 故直线过定点． 41．（23-24高二上·福建三明·期中）已知圆C：与圆的相交弦长为 求圆C的半径R的值； 若对于的圆，已知点，点，在圆C上，直线不经过点，且直线，的斜率之和为2，求证：直线MN经过一定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)或 (2)证明见解析，. 【分析】（1）根据题意，联立两圆的方程，结合勾股定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分直线斜率存在与不存在讨论，联立直线与圆的方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）∵依题意可知两圆的相交弦与x轴垂直 联立方程组 得故有 化简得 故得或 故圆的半径为或 （2）由（1）及可知，则圆的方程为， 设，， 当直线的斜率存在，则可设直线的方程为， 代入圆方程可得：，则， 得， 且，， 所以 . 又∵直线，斜率之和为2，∴ 化简得 代入，得， ∴直线恒过定点. 当直线的斜率不存在时，，，， ∵直线，斜率之和为2， ∴，解得， 但，且，故不合题意，舍去. 综上，直线恒过定点. 42．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知在平面直角坐标系xOy中，已知A、B是圆O：上的两个动点，P是弦AB的中点，且； 求点P的轨迹方程； 点P轨迹记为曲线τ，若C，D是曲线τ与x轴的交点，E为直线l：上的动点，直线CE，DE与曲线τ的另一个交点分别为M，N，判断直线MN是否过定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)过定点． 【分析】（1）设点为曲线上任意一点，根据几何关系得到，得到轨迹方程. （2）设，分别计算，的直线方程，联立圆方程得到交点坐标，考虑直线斜率存在和不存在两种情况，计算直线方程得到答案. 【详解】（1）设点为曲线上任意一点，P是弦AB的中点，且， 圆O：的半径，则， 故点P的轨迹方程为：． （2）不妨取，，设， 则直线CE的方程为，直线的方程为， 联立，得， 则，即，， 所以． 联立，得， 则，即，， 所以． ①当时，直线MN的斜率， 则直线MN的方程为，即， 直线过定点，所以； ②当时，直线MN垂直于x轴，方程为，也过定点． 综上所述：直线MN恒过定点． 末尾 1 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $$