假期作业(12)函数的应用-【百汇大课堂·寒假作业】2024-2025学年高一数学假期作业

★文 高一寒假·数学 假期作业(十二) 函数的应用 续表 知识梳理 f(x)=ba十c(a,b,c为常数, 1.函数零点的概念 指数函数模型 0,a>0且a去1) (1)定义:对于函数y三f(x),把使① 的实数x叫做函数一f(x)的零点 f(x)一blogx十c(a,b,c为常数, 对数函数模型 (2)意义:方程f(x)一0有实根→函数y 70,a>0且a≠1) f(x)的图象与② 有交点→函数 f(x)=ax”十b(a,b为常数,且a y-f(x)有③ 寡函数模型 z0) 2.函数零点的判定(零点存在定理) 一般地,如果函数y三f(x)在区间[a,]上 5.三种增长型函数性质的比较 的图象是连续不断的一条曲线,并且有 函数 y-logx -af -。 ④ ,那么函数y一f(x)在区间 (a>1) 性质 (a>1) (a>0) 内有零点,即存在c(a,b),使 得 ,这个 也就是方程 在(0,十o) ④ f(x)一0的根.我们把这一结论称为零点存 上的增减性 在定理. 增长速度 相对平稳 3.二分法的定义 对于在区间[a,6上图象⑧ 随x增大逐随x增大逐 夕 随a值变 图象的 渐表现为与渐表现为与 9 的函数y一f(x),通过不断地把 化而各有 变化 # 它的零点所在区间 ,使所得 不同 平行 平行 区间的两个端点逐步逼近 ,进而 得到零点近似值的方法叫做二分法 存在一个x。,当x>x。时,有log 值的比较 4.几种常见的函数模型 <*<a 函数模型 函数解析式 ·习题精练· f(x)-ax十b(a,b为常数,且a子 一次函数模型 0) 一、选择题 f(x)-a十(a,b为常数,且b 反比例 1.函数f(x)-2x^②-3x十1的零点是 ) 函数模型 2 f(x)=ax*十bx十c(a,b,c为常 二次函数模型 数,且a-0) 26 假期作业 *★ 2.用二分法求方程x-2x-5=0在区间[2 6.函数f(x)=(2ax-1)②-log.(ax十2)在区 #间0}# ( 3门内的实根,下一个有根区间是 ) 上恰有一个零点,则实数a的取值 A.[2,2.5] B.[2.5,3] 范围是 ( _ C.[2,2.25] D.[2.75,3] A.(,1)# B.(1,2]U[3,+) 3.下列区间不能用函数零点存在定理判断函 C.(1,2)U[3,+) D.[2,3) 二、填空题 A.[-2,0] B.[0,2] 7.某农场种植一种农作物,为了解该农作物的 C.[2,4] D.[4,6] 产量情况,现将近四年的年产量f(x)(单 4.(多选)为预防新冠病毒感染,某学校每天定 位:吨)与年份x(记2015年为第1年)之间 时对教室进行喷酒消毒,教室内每立方米空 的关系统计如下表: 气中的含药量y(单位:mg)随时间x(单位; 2 2 h)的变体情况如图所示,在药物释放过程 /(x) 4.00 5.62 7.00 8.86 中,v与x成正比,药物释放完毕后,v与。 则f(x)近似符合以下三种函数模型之一; 的函数关系式为y-一()(a为常数),则 ①f(x)=ax+b;②f(x)=2*+a;③f(x)= r*十.你认为最适合的函数模型的序号是 ( 22-,c<2, 8.已知函数f(x)一 若关 log(x十1),x>2, 于x的方程f(x)一m有两个不同的实根 00.2 则实数n的取值范围是 A. 当x→0.2时,y-(1)-0.1 三、解答题 9.某城市现有人口总数为100万,如果年自然 B.当0<x<0.2时,y-5x 增长率为1.2%,试解答下面的问题 (1)写出x年后该城市的人口总数v(万人) 与年数x(年)的函数关系式 量可降低到0.25mg以下 D. 药量可降低到0.0625mg以下 5.已知函数f(x)的定义域为(-,0)U(0. 十o),f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x) -x2-x十a.若函数g(x)=f(x)一x的零 点恰有两个,则实数a的取值范围是( ) A.(-o,0) B.(-o,0] C.(-oo,1] D.(-oo,0]U(1) 27 高一寒假·数学 (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到 10.某公司生产某种电子仪器的固定成本为 0.1万); 20000元,每生产一台仪器需增加投入 (3)计算大约多少年以后该城市人口总数将 100元,已知总收入R(单位:元)关于月产 达到120万(精确到1年). 量x(单位:台)满足函数 参考数据:(1十1.2%)10~1.127,(1十 R- 1.2%)1~1.196,(1+1.2%)6~1.21 80000,x>400. (1)将利润P(x)(单位:元)表示为月产量 x的函数,(利润一总收入一总成本) 2 (单位:元),当月产量x为何值时,公司所 获月平均单件利润最大?最大月平均单件 利润为多少元? 28假期作业法 5.BD[函数f(x)=log+(2-x)-log2(x+4)=-log影[(2- x)(r+4)]. 当a>1时，号学3>0，解得0<<号我1<<2 由2-x>0,x十4>0可得一4<x<2,故函数f(x)定义域为 (一4,2)，A选项错误： 故当0<a<1时，f)≥l0g3)的解集为[号，1]： y=f(x-1)=-log2[(3-x)(.x+3)]的定义域为(-3.3)， 当。>1时≥lcg（8)的解集为(o,号]U01.2》. 设g(x)=-log2[(3-x)(x+3)], 10.解(1)：f(x)是定义在R上的奇函数， 所以g(-x)=一log2[(3十x)(-x+3)]=g(x),即y= f(x一1)是偶函数，B选项正确： f(0)=0.∴2-1=0，解得t=2, f(.x)=-log[(2-x)(x+4)]=-log2(-x2-2.x+8)= 则0r=-1,此时f-)=a1=4-4 a -loge[-(x+1)2+9]=log+[-(x+1)2+9], 当x∈[-1,2)时，t=一(x十1)2+9是减函数，而y=1og1 1一=一x,满足题意， a 也是减函数，所以函数f(x)在区问[一1,2)上是增函数，故C 而f(2x2-x)十f(x2-k)>0等价于f(2.x2-x)>-f(x2 选项错误， -k)=f(k-x2), 由f(-2-x)=-log2[(x+4)(2-x)]=f(x),可得f(x)的 图象关于直线x=一1对称，故D选项正确.] 若f1)>0.则2二1>0，结合>0且a≠1，解得0>1， 6.D[作出函数f(r)的图象 如图所示： 对fr)=2-1=a-上(a>1D为增西数， a a 设1<x<0<r<1<x y=llogl =x+川 结合f(2x2-x)>f（k-x2),可得2x2-x>k-x2, 且1+2=2×(-1)= 根据意，3x2一x一>0对xER恒成立， 一2， 1 当|log2|=1log2x4|时， 剥△=1+12k<0,解得<-2： 印-log2x3-logzr4, 所以log2x3十log2:x4=log2（.x3·x)=0. (2):面数(x)的国象过点(1，号)小， 所以x3·r,=1, 1 =1=g a 当1og影x=1时，解得=2山=2， 解得a=一1（不符，舍去）或a=2, 所以1<x1<2. 设1=十=1+1， ∴g6)=log(2e-+i小 又菌数y=十子在1，十∞)上单调港增， “y=2-+1在[0，门上单满港增， g(x)在x∈[0,1]上单调递增 所以2=1+<=+<2+- 对于任意的x1x2∈[0,1门， 5 即2<十≤2· 都有|g(x1)一g(x2)≤M, 且g(x)在区间[0,1门上恒有g(x)>0, 所以-2+2<n+++,≤-2+号， ∴.Mg(x)mx一g(r)min 则g(x)n=g(0)=0,g(r）ms=g1)=0g:2: 5 即0<+t十≤7] 5 5 7.解析当x=4时，y=10g(4一3)一2=一2，函数图象过的定 则M≥log起号-0=log: 点是(4，一2). 5 答案(4，-2) 即M的最小值为log?之 8.解析若函数f(x)= 3-x,≤2：的值域为1，+o),且a llogr.r>2 假期作业（十二） >0u≠1，当x<2时y=3-x≥1.所以1ogr≥1， x>2, 可得1< 知识梳理 ①f(x)=0②.x轴③零点④f(af(b)<0⑤(a,b) a≤2. ⑥f(c)=0⑦e⑧连续不断⑨f(a)f(b)<0①一分为二 答案(1,2] ①零点②增函数⑧增函数①增函数⑤越来越快⑩越 9解(1)要使函载有意义，则2+>0， 来越慢⑦y轴⑧x轴 12-x>0, 习题精练 解得-2<x<2. 故函数f(x)的定义城为（一2,2） 1.B[方程22-3x中1=0的两根分别为-1-立，所 (2)Hx∈(-2,2)，-x∈(-2,2)， f(-x）=l0g(2-x)-log(2+x) 以函数f)=22-3r十1的零点是号1.] =-[1og(2+x)-log(2-x)]=-f（x), 2.A[令f(x)=x2-2x-5,f(2)=-1<0,f(3)=16>0, 所以函数f(x)为奇函数， f2.5)=5.625>0,f(2)f(2.5)<0.所以由零点存在定理可 2十x (3)f()=log (2+)-log.(2-r)=log. 知下-个有根区间是[2,2.5]，] 所以不等式)>lg(a)可化为级孕>g(n, .C[面数x)=名3的定义城为(-0,3U(3.十∞)，所 当0<a<1时，0<号3，解得号<<1： 以函数y=f(.x)的图象在区间[2,4]上不是一条连续的曲线， 故不能用函数零点存在定理来判新是否存在零点，] 63 有女代落高一寒假·数学 4.BCD[当r≥0.2时，起(0.2,1)代入y=(日）厂将 由图象可知当m∈(1，十c∞)时，关于x的方程f(x)=m有两 个不同的实根，故答案为(1.十∞). (信)心一=1，解得a=0,2则y=(日)）厂2故A错误： 答案(1，十∞) 9.解(1)1年后该城市人口总数为 当0≤x≤0.2时，设y=k.r,则1=0.2k,k=5,所以y=5.r,故 y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%): B正确； 2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1十 令（传）<0.25.(3）-0”<(）》°，3x-0.2> 1.2%)×1.2%=100×(1十1.2%)2， 2,解得>授故C正确： 3年后该城市人口总数为y=100×(1十1.2%)3：： x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%),x∈N. 当>器*（信）》<（传）=（传）-（传） (2)10年后该城市人口总数为y=100×(1十1,2%)0 100×1.01210≈112.7（万）. 0.0625,故D正确.] (3)令y=120,则有100×(1+1.2%)r=120, 5.D[因为f(x)是奇函数，所以g(x)=f(x)一x也是奇函数， 解方程可得15<x<16. 所以要使函数g(x)=f(x)一x的零点恰有两个，则只需要当 故大约16年后该城市人口总数将达到120万. x>0时，函数g(x)=f(x)一x的零点拾有一个即可.由g(x) 10.解(1)当1≤x≤400时， =f(x)-x=0,得g(x)=x2-x十a-r=x2-2x+a=0,若 利期P0=400r-立2-200-100x=-72+30r △=0，即4一4a=0,解得a=1.若△>0，要使当x>0时，函数 -20000: g(r)只有一个零点，则g(0)=a≤0，所以此时 当x>400时，利润P(.x)=80000一20000-100.x △=4-4a>0解得a≤0.综上可得a≤0或a=1.门 =-100x+60000, a≤0， 6D[宾葛意：通数)在区同[0，]上有零点的完分条件 故P(x) 72+300x-20000,1≤r≤400， 1 -100x+60000,x>400. 为f0f(日)<0， (2)因为gr)=P」 即(1-log.2)(1-log3)≤0， 之吸38发-限好得2<a<3,由比可提 号+300-20000 1≤x≤400， 1-log.3≤0， 所以g(x)= 除A,B.C -100+60000 x>400. 又当a=3时r)=(6r-1)2-1og(3x+2),星然f(号)】 当1r≤400时g)=-受+30-2000 -1-1=0.o)=1-1g2>0/(号）-号-log子-9 =-(号+2000)+30. -10g7<0,则f(x)在(0，号)上有一个零点，故此时函数 国为号+2000>2侵×2000-20，当且仅音r-200 f(x)有两个零点，不符合题意，故选D.] 时取等号， 7.解析若模型为②，则f(1)=2十a=4,解得a=2,于是f(x) =2+2.此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与表格中的数 所以8)-（告+2000）+300≤10.当-200时. 据相差太大，不符合：若模型为③，则f(1)=1十b=4,解得b g(.x)取最大值100： =3,于是f(x)=x2+3,此时f(2)=7,f(3)=12,f(4)=19, 与表格中的数据相差太大，不符合：若模型为①，则根据表中 当>400时，g6x)=-100+000,g()为单周提戒 a=3 函数， 数据得/)=4·即a+=4:解得 2 此时g(x)<g(400)=50, 经检验是最适 f(3)=7, 13a+b=7, 5 =2' 综上所述，当月产量为200时，月平均单件利润最大，最大月 平均单件利润为100元. 合的函数模型， 答案① 假期作业（十三） 2-,x<2 8.解析由题意作出函数f(x)= 的图象，如 知识梳理 l0g(r+1),.x≥2. 图所示。 ①端点②正角③象限角④半径长⊙（⊙er 2 @ 5 习题精练 4 1.D[集合A中锐角0满足0°<0<90°：集合B中0<90°，可 以为负角；集合C中0满足k·360°<0<k·360°十90°，k Z:集合D中9满足0°<<90°.故A=D.] -112345678910x 2.D[a的终边和60°角的终边相同，3的终边与120°角的终边 相同，：180°-120°=60°，∴角a与3的终边的位置关系是关 则关于x的方程∫(x)=m有两个不同的实根等价于函数 于y轴对称，放选D.] f(x)= 22-x<2, 的图象与直线y=m有两个不同 3.A[:a是第三象限角，.k·360°+180<a<k·360°+ 10g(x十1)，x≥2， 的交点， 270(k∈)k180°+90*<号<k·180+135(k∈Z0. 64