假期作业(6)奇偶性-【百汇大课堂·寒假作业】2024-2025学年高一数学假期作业

假期作业 &五万1 假期作业(六) 奇偶性 知识梳理 ) 21011L A.x轴对称 B.y轴对称 函数的奇偶性 C.原点对称 D.直线x-1对称 定义 图象特点 3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当 x0时,f(x)=x,则f(2)的值是( 如果对于函数/(x)的定 ) 偶 A.8 关于② 图 义域内任意一个x,都有 B.-8 . ① 数 对称 那么函数f(x)是偶函数 4的图象大致为 如果对于函数f(x)的定 关于④ 义域内任意一个x,都有 数 对称 那么函数f(x)是奇函数 提醒:函数的定义域关于原点对称是函数具 有奇偶性的前提条件, [常用结论] 函数奇偶性的常用结论 C。 (1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x) 。 f(lx). 5.偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减 (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的 则有 ( ) 单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相 A.f(-1)>#()>f(-) 反的单调性. (3)在公共定义域内有:奇士奇一奇,偶士偶 B./#()>f(-1)>f(-) 一偶,奇×奇一偶,偶×偶一偶,奇×偶 C.f(-)>f(-1)>f()# 一奇, .习题精练 D.f(-1)>f(n)>f(^) 一、选择题 6.设f(x)为定义在R上的函数,函数f(x十1)是 1.下列四个函数中为偶函数的是 ( ) 奇函数,对于下列四个结论; ①f(1)-0; A.y-2x ②f(1一x)=-f(1十x); C.y-x2-2x D.y-|xl ③函数f(x)的图象关于原点对称 13 #1## 高一寒假·数学 ④函数f(x)的图象关于点(1,0)对称 10.若函数y三f(x)对任意实数x,y都有 ( 其中,正确结论的个数为 ) f(xy)一f(x)f(y),则称其为“保积函数” A.1 B.2 (1)请写出两个“保积函数”的函数解析式; C.3 D.4 (2)若“保积函数”y一f(x)满足f(-1) 二、填空题 1.判断其奇偶性并证明; 7.若函数f(x)=x^{}十(a+5)x十b是偶函数 (3)对于(2)中的“保积函数”,若x 定义域为a,2],则a十26 [0,1)时,f(x)E[0,1),且f(81)-27,试 8.已知v=f(x)是定义在R上的奇函数,当x 求不等式f(x)<3/③的解集 >0时,f(x)=x2-2x,则f(x)在R上的解 析式为 三、解答题 9.已知函数(x)-x十4. (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)指出该函数在区间(0,2)上的单调性,并 用函数单调性定义证明; (f(x),x>0. (3)已知函数g(x)-5,x-0, 当E -f(x),x<0. [一1,时,g(x)的取值范围是[5,十),求 实数,的取值范围 14有女代高一寒假·数学 4.C[函数y=f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(一m+ ③当a+1≥2，即a≥1时，g(x)mim=g(2)=2-4a, 9),所以2m>-m十9，解得m>3.] 则2-如=一子，得=品，此时不成立 5.BD[函数f(x)=√a.x2+bx,可得a.x2+bz≥0， 若a=0,则a≥0，f(x)的定义城不为[m,n]: 1 综上可得u= 若a>0,则f(x)的定义域也不为[m,n],所以a<0: 10.解(1)令4=b=1,则f(1)+1=2f(1), 若a<0,b=0,则a.x2+bx≥0的解集为{0}，也不成立： 所以1)=1， 者a<0.bK0,则ar2+br>≥0约解集为[-台.0]，这与 所以202+f(22)-/(2021×22)+1-/ 的值域为[m,n],且f(x)≥0矛盾，所以a<0,b<0也不 +1=1十1=2.函数f(x)在(0，十∞)上是增通数， 成立： 证明如下：设x2>x1>0, 所以4<0,6>0，则ar+≥0的都集为[0，一合]，所以 剥)-)=f[(停）]-f) =0,n=- a =f()+fx)-f)-1=f(g）-1 图为导>1，所以货)>1，黄)-f>0. 所以f(x)>f(1),所以函数f(x)在(0，十∞)上是增 函数. 所以a2=-4a,解得a=-4,至于b,仅能推断出b>0, (2)因为f(a)+f(b)=f(ab)十1， 所以选项B,D一定正确，选项A,C不一定正确.] 所以f(kx-3)+f(x)=f(kx2-3x)+1>2,又因为f(1) .C[由题意知，f(x)=e2C,∫(r)=一e士g白 =1,则可化为f(kx2-3x)>1=f1). 2 由(1)知函数f(.x)在(0，十∞)上是增函数， 2当≥0时广(x)>0,即面数/x)在区间(0，十阿 k.x-3>0, 所以(x>0, 对任意的x∈[1,3]恒成立， 上单得灣增，-1)=2= kx2-3x>1. :0<2<1<2∴(2）<f1)<f2),即m<p<] 所以>十是对任意药1.]根底立 7.解析函教)=占在（一0，D上单调港减，在1 所以>（+）说=∈[合] 十∞)上单调道减，：最小值号>0，“0>1,6>1，且函数 g(10=t2+3, )在区同a,]上单调递减.心。马-1小占一合解得 1 =次面数g)在区问[片]上为增面数， 所以g(t)x=g(1)=4,所以k>4. a=2,b=4,.a+b=6. 因此，实数k的取值范图是(4，十∞)， 答案6 8.解析由题意知函数f(x)在[1，十o)上单调递增，且f(x) 假期作业（六） ≥0，m≠0.若m>0,由函数f(x)的单调性可知f(m.x)和 知识梳理 mf(x)均单调递增，此时不符合题意.若m<0,则f(mx)+ ①f(一x)=f(x)②y轴③f(一x)=一f(x)④原点 m<0可化为mr一品十m-经<0.所以2m 习题精练 x 1,D[由题意知A为奇函数：B中，函数的定义域为{xx≠1， (m+品）小·<0，摩1+<2.图为y-2r在r[1. 故y一芹力非车半得西质： 十四)上的最小值为2，所以1+京<2，厚㎡>1，所以m< C中，f-x)≠-f(x),f(x)≠f(-x), 故y=x2一2.x为非奇非得函数： -1. D中，函数的定义域为R, 答案（一0○，一1） 9.解(1)设f(x)=kx+b(k≠0)，则3f(x十1)-2f(x-1)= f(-x)=|-x=x=f(x), k.x十(5k十b). 故y=x为偶函数.] :3fx+1)-2f(x-1)=x+3, 2.C[函数f(x)的定义减为rx≠01，f(-x)=-1 -x .k=1且5k十b=3, .b=-2,.f(x)=x-2. -1=一r),则函数f)为奇函数，因此图象关于原 (2)当x∈[1.2]时，g(x)=x2-2r-2ax+2=r2-2(1+a)x 点对称，故选C.门 +2, 3.B[因为函数f(x)是定义在R上的偶函数， ·函数g(x)图象的对称轴方程为x=a十1. 所以f(2)=f(-2)=(-2)3=-8,放选B.] ①当a十1≤1，即a≤0时，g(x)mm=g(1)=1-2a 则1一2a=-子得a=名，此时不成立： 4A[令)=年周)的定义线为R,且-)= ②当1<a+1<2,即0<a<1时，g(x)amm=g(a+1)=-a 二=一x),因此，函载为奇通数，持除C,D.当=1时， x2+1 -2a+1则-2-2a+1=-号，得a=号攻a=-受（会： f1)=2=2,排降B] 58 假期作业 5.A[因为f(x)为偶函数， 因为fx)=fF·m)=fF)·fwF)>0, 所以f(-π)=f(π)，f(-1)=f(1). 所以f八9)=33， 因为f(x)在区间[0,4们上单调通减， 所以1)>f(答)>f 设任意的0≤1<x2<1,则0≤<1， 所以-1)>f(）>f-.] 所以0f(华)1， 6.C[令g(x)=f(x十1)，①因为g(x)为R上的奇函数，所以 所以)=f(倍·)=/份)r g(0)=f(0+1)=0,所以f(1)=0,故正确；②因为g(x)为R 所以f(,x)在(0，十)是单调递增酒数且是偶函数， 上的奇函数，所以g(-x)=一g(x),所以f(一x+1)= 一f(x+1),即f(1一x)=-f(1十x),故正确：因为y= 所以不等式f(x)≤3√3等价于f(x)≤f(9), 可得|x|≤9，解得一9≤r≤9， f(x十1)的图象由y=∫(x)的图象向左平移一个单位得到 的，又y=f(x十1)的图象关于原点对称，所以y=f(x)的图 所以不等式fx)≤33的解集为[-9,9]. 象关于点(1,0)对称，故③错误④正确.] 假期作业（七） 7.解析 :f(x)是偶函数，.函数f(x)的定义域关于愿点 对称， 知识梳理 .a+2b=0. ①=ar+r+ca0)@[an,+）@-会 答案0 8.解析y=f(x)是定义在R上的奇函数， ①被⑤增©1如c-花⑦y=￥⑧自变量回常数 4a f-x)=-f(x. ⑩(0,0)①(1,1)@R⑧[0，+∞)8[0，+∞)5奇 设x0,则一x>0, 6奇⑦奇⑧增9增@(0,0)(1,1)①(1.1) .f-x)=(-x)2-2·(-x)=x2+2x. 习题精练 ∴.fx)=-f(-x)=-x2-2x, 1 |x2-2.x,x>0, L.B[因为y一子=工，所以是暴面数：由千y=2出现系 .f(x)= 1-x2-2x,x<0. 数2，因此不是幂函数：y=2十x是两项和的形式，不是幂函 |r2-2r,x≥0， 数：y=1=x°(x≠0)，可以看出，常教函数y=1的图象比暴 答案f(x)= 1-x2-2rr<0 函数y=x”的图象多了一个点(0,1)，所以常数函数y=1不 9.解(1)易知 是暴函数.门 f(x)的定义城 2,A[由已知可得该通数图象的对称轴为x=2,又二次项系数 为(-∞，0)U 为1>0，所以f(x)在（一∞，2]上是递减的，在[2，十∞）上是 (0,+0),关于 递增的。门 原点对称， 3.B[由于(0)=0，所以排除C,D选项.又f(-x)=(-x) f(-x)=-x- =-r)==fx),且f(x)的定义城为R, =一f(r,所 所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称.] 4.B[,r8(.x-2)=x(x-2)+2.r+x-2<0 以f(x)是奇5432-1012345 .x2+x-2<0,即(r-1)(x+2)<0, 函数。 解得-2<x<1,故选B.] (2)单调递减，证明如下：任取x1,x2∈(0,2]且x1<x2, 5.A[不等式4[x]2-63[x]+45<0, 所以)-x)=(+）厂(+号)=(n-) 即为(4[x]-3)·([x]-15)<0, +4二)--40-，因为0<1<≤2 解得子<[]<15， 则[x]∈1,2,3，…，14}，因此，1≤x<15,故选A.] 所以x12-4<0,1-x2<0,x1>0,所以f八)-f(x) 6.ABD[因a.r2+br+c>0的解集是(-2,3)，则一2,3是关 >0, 于x的方程ax2+br十c=0的两个实数根，且a<0,于是得 印f(x1)>f(.x2),所以f(x)在(0,2]上单调递减. (3)作出g(x)的图象如图所示，可知当值城为[5，十∞)时， 么=1,6三6，即=-a,e=6aa<0 te[0,1]. 对于A,不等式cx2+bx+a<0化为6x2十x-1<0, 10.解(1)若f(x)=x,则f(xy)=xy,f(x)f(y)=xy,可得 得-<<日A正确： )=ú)特合“保积菌数”的定义，若f代)=子，测 对于B6>0:异+6=异+日(6+4)-音≥ )-女0-·-女5得)-a 12 3=3 (y)符合“保积函数”的定义，所以两个“保积函数”的函数 解新式可以是y=,y=子（答素不唯一） 当里软当片=36十0，甲6=号时等号成立，B正确： (2)函数y=(x)是偶函数，证明如下：令y=一1，则f(一x) +}在1. 对于C.>0,令V+3=>尽，则什4 =f八z)f(一1)=fx)对任意实数x,y都成立，所以“保积函 +6∞)上单调递增， 数”y=f(x)满足f(-1)=1,则y=f(.x)是偶函数. 年有>去因心-m>片有解，㎡-m> 4 (3)f(81)=f(9×9)=f(9)2-27=(33)2, √b+33 6+3 59