假期作业(16)等差数列及其前n项和-【百汇大课堂·寒假作业】2024-2025学年高二数学假期作业

#1&&# 高二寒假·数学 假期作业(十六) 等差数列及其前n项和 6. 等差数列与函数的关系 ·知识梳理 (1)等差数列a。的图象:均匀地分布在 1.等差数列 相应函数y=dx十(a一d)图象上的一些 (1)概念:一般地,如果一个数列从 孤立的点,a的几何意义是相应直线的 起,每一项与它的前一项的差等干 斜率; ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常 (2)等差数列a的前n项和S。的图象:当 数叫做等差数列的公差(常用字母“d”表 d子0时,分布在相应函数y二 示). (a1-):图象上的一些孤立的点. (2)递推关系:a+1-a-d 2.等差数列的通项公式 7.判断一个数列是不是等差数列的常用方法 (1)a+1-a=d(d为常数,n-N*)→(a 3.等差数列的主要性质 是等差数列; (1)a-an=(n-m)d(m,nEN*); (2)2a+1=a+a+2(néN*)→a是等 (2)若m+n=p+q(m,n,,aEN*) 差数列; 则a_+a-a十a; (3)a =kn+b(,b为常数,n N*)→a (3)若m+n=2p,则a+a.=2a 是等差数列. 4.等差数列的前n项和公式 但若要说明一个数列不是等差数列,则只需 举出一个反例即可. 习题精练 5.等差数列前n项和S.的性质 (1)S。存在最大值或最小值 一、选择题 (2)在等差数列a。中,前n项和设为S。,则 S,S2-S,S3n-S2m,...依次成等差 1.在等差数列a中,a=2,a3+a5=10,则 数列; a7等于 ( ) (3)记等差数列a.的前偶数项和为S,前 A.5 B.8 奇数项和为S奇. C.10 D.14 当项数为2n时,则有S偶一S哥=nd,且S2 2.已知等差数列a。中,a。十a8一8,则该数列 -n(a+a2)-n(a+an+1); 的前9项和S。等于 ( ) 当项数为2n-1时,则有S2-1=(2n- A.18 B.27 Da_. C.36 D.45 32 假期作业 #1 3.记S.为等差数列a的前n项和.若a4 三、解答题 _ a-24,S-48,则a的公差为 ) A.1 9.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前 B.2 C.4 项和为S,且S-110. D.8 (1)求a及的值; 4.中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名 题:“九百九十六斤(1斤三0.5千克)绵,赠分 八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来 列是等差数列,并求其前n项和T。 言”,题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠 按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的 比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的 绵是 ( ) A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤 5.(多选)已知数列a.的前n项和为S,若a -10.a-a.+3,则下列说法正确的是 ) A.a是递增数列 B. 10是数列a。中的项 C.数列S中的最小项为S D.数列/ 11 6.等差数列a。的前n项和为S。.已知a -2a十1. (1)证明:a。)是等差数列; a (2)若a4,a,a。成等比数列,求S。的最 列)的 ,。 _ 小值. A.最小项为b B.最大项为b C.最小项为 D.最大项为b 二、填空题 7.设S.是等差数列a。的前”项和,So=16 Soo-Soo-24,则S1oo-_. 8.设等差数列a。)的前n项和为S.,若a。三-3 S.--10,则a5- ,S.的最小值为 2有女久气高三寒假·数学 3.B[由f(x)=x+1得f(x)=(n十1)x”,切线方程为y 10.解(1)当n=1时，a1=S1=2-a1,.a1=1.当n=2 1=(a+1D红-10，令y=0得x升放· 时01+a2=Sg=2X2-a2∴ag=号，当n=3时a1十 7 Xg·x4··x2019= a2ta3=53=2X3-agag=千，当n=4时a1十a2十 4,ACD[数列{an}满足a1=2,a+1=1 1(n∈N),可 a u+a4=5=2X4-a4e4=号，当=5时a1十ag十 .1 得a2=2ag=-1a4=2,a3=2…,所以a+3=a,数 aas2X5s 列的周期为3，a2019=u672×3+3=a3=一1，S6=3,S2019 (2)a=1 21-1-322-1 29 1524-1_31_25-1 5.AC [由题意得a一点十名十…十骨 1 a4=8=2-a6=162 2-1 1+2+3十…十4= 由此猜想a,-二，nEN n+1 21 假期作业（十六）】 gn4(日) 1 知识梳理 2 1.(1)第2项 同一个常数2.a1+(n-1)d ∴.数列{bn}的前n项和Sn=b1十b2十bg十…十bn 4.n(ata) =4[(-+(合吉)+（分）++（日] 2 a1+n(n-1)d 2 习题精练 =4(-)0 1.B[设等差数列{an}的公差为d,则ag十a5=2a1十6d=4十 6.C[因为am+1=an一am-1(n≥2)，a1=m,a2=n, 6d=10,所以d=1,a=a1十6d=2+6=8.] 所以a3=1-m,a1=n一m-n=一m,a5=一m-(n一m） 2.c[s,-号a1+ag)-号ae+as)-36.] =一，a6=一十m,a7=一n十m十n=m,a8=m一(-十 3.C[设等差数列{an}的公差为d,a4十a5=a1+3d十a1+ m)=1, 可以得出数列{am}是周期数列，周期为6. 4d=24.S=6u1+6X5ad=48,联立2a1+71=2.0 2 16a1+15d=48,② 所以a2021=a5=一1， ①×3-②得：(21-15)d=24,6d=24,∴.d=4.] 因为a1十a2十a3十a4+a5十a6=0, 4.B[用a1a2,,ag表示8个儿子按照年龄从大到小得 所以S2o21=S5=1一m.] 到的绵数，由题意得数列a1,a2,…,ag是公差为17的等 7.解析由数列的前3项的规律可知 19 差数列，且这8项的和为096，a十8×17=96，解 m-1=8, 解得 m=2 之得a1=65.∴a8=65+7×17=184,即第8个儿子分到 m+n=11, 3 的绵是184斤.] 2 5.AD [.an+1=an+3..an-an=3, 故实数对(m,m)为（受，2）》 .数列{an}为首项为一10，公差为3的等差数列， 则am=-10+(n-1)×3=3n-13, 答案 (唱》 an+1一an=3>0,.{an}为递增数列，A正确：令10 8.解析设数列{an}的前n项积为Tn,则Tm=n2,当n≥2 3-13,得m-号，不满足周意：故B错误：01=-1<0， T 时，am一Tx一1 n a5=2>0,且{aw》为递增数列， (n-1)2 ∴.数列{S,》中的最小项为S4,故C错误： 答案 n2 (n-1)2 :S.=(3m-13-10)m_3m2-23m 2 9.解(1)由n2-5n十4<0，解得1<n<4. 因为n∈N*,所以n=2,3, :受-警受则新列丹是等差数列，故D正确] 所以数列中有两项是负数，即为a2,a3. 6.C[由题意，设等差数列{an)的公差为d,因为a1=-5, 图为a,=-5n+4=(-》'-是 a=-1可得d=g=←》-2 2 由二次函数性质，得当n=2或n=3时，am有最小值，其 所以a。=-5+(n-1)×2=2m-7,5n=na+a）- 2 最小值为a2=a3=一2. (2)由an+1>a,知该数列是一个递增数列，又因为通项公式 n(-5+2m-72=n2-6n, 2 a,=㎡十km十4，可以有作是关于n的二次函数，考虑到n∈ N,所以一合<号解得>一8 用么-各-号可得么=9=9，= 2×3-7 所以k的范围是（一3，十∞）. 42-6X4=一8， 2×4一7 66 假期作业产广 所以b>b4,可排除A、D: 解得a1=-12. 设e=号e,)u(号+) 所以s.=-12n+2=”2=(-）月 2 2 则f(r)=2x-6)(2x-7)-(.x2-6x)x2 625 (2x-7)2 8 _2(.x2-7.x+21) 所以当n=12或13时，S,取得最小值，最小值为一78. (2x-7)2 假期作业（十七） 因为△=(-7)2-4×1×21<0，所以f(x)>0, 所以f(x)在区间[1，)和（子十∞）上都是单调递增 知识梳理 函数， 1.(1)第2项 同一个常数2.ag141二a 1-q 即当n=1,2,3时，数列{b,}为递增数列， a(1-) 当n≥4，n∈N°时，数列{b,}也为递增数列， 1-q 习题精练 共中=1h=号6=9.=-86= 3…, 1.C[因为a3十4S2=0,所以a1g+4a1十4a1q=0,因为a 例如当=25时，可得6=霜>，所以B不正确， ≠0，所以g2+4g十4=0，所以q=一2.] 2.C[设等比数列{an)的公比为q(q>0),由题意，得 C正确.] 3 7.解析依题意，S1o,S20一S10,S30-S20·,S1o0一S0依 a1+2a19=3, ·解得 a1=2' 所以a4=a1g3= 次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10=16, (a1g2)2=4a1q·a1q 2 S10w-Sg0=24,因此S10m-S90=24=16+(10-1)d=16 +91,解得d=8,因此5w=10So十10X94=10×16+ 是×（侵》广=品 2 3.C[因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以 10X9×8-20, 2 a1a23a4a5a6a7 agaga10@11a12,…也成等比数列.不妨令b 答案200 -aah-aa,则会比9一会-号-a所以么=4以 8.解析设等差数列(an}的公差为d,由题意得a2=a1十d 3-1.令6n=324,即4×31=324，解得m=5,所以5=324， =-3,S5=5a1+10=-10,解得a1=-4,d=1,所以a5 即a13aua5=324.所以n=14.] =a1+4d=0,故an=a1十(n-1)d=n-5.令an≤0，则n 4.D[因为a+1=S+1-Sw,所以Sn=2a+1=2(S+1 ≤5，脚数列{aw}中前4项为负，a5=0,第6项及以后项为 正.Sn的最小值为S4=S5=一10. 5,所以。=号所以货列S,是以5=a=1为首 答案0一10 9.(1)解设该等差数列为{an},则a1=a,a2=4,a3=3a, 项，号为公此的等比数列，所以S,=(受)】 由已知有a十3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2-2, 5.AD[设等比数列{an}的公比为q,因为等比数列{am}的 所以S=ka1+b,D.d=2k+k,D×2=k2+k, 2 2 前u项和为S,且清足06=8ag,所以2==8，解得4 由Se=110,得k2+k-110=0, 解得k=10或k=一11（舍去）， 2所以袋-等-1+9-8] 故a=2,k=10. (2证明由1)得Sn(22m=mm十1D, 6AD[对于A,由2-≥2》知最到a是公 2 比为q的等比数列：对于B,当q=一1时，数列{am十 则6，-S=n十1， a+1}的项中有0，不是等比数列；对于C,若q=1时，数列 1 故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1, am一an+1}的项中有0，不是等比数列；对于D.中1 即数列{b}是首项为2，公差为1的等差数列， 1 所以Tn=n(2+n十D=nn+3) an 2 2 antl 日所以载列侵是公比为号的等比煮列】 0)证明由分十1=2a,十l,得25，十=21+@ 7.解析 设等比数列(an}的公比为g(g>0),由a5=a1g 所以2S+1+(n+1)2=2un+1(n+1)+(n+1)②， 16a1=1,得16=，解得q=2,所以S,=12- 1-g ②-①，得2aw+1+2n+1=2ar+1(n十1)-2a+1, 化简得a+1一am=1, 1×1-2)=127. 1-2 所以数列{an}是公差为1的等差数列. 答案127 (2)解由(1)知数列{an}的公差为1. 8.解析设等比数列{an}的公比为g,由等比数列的定义可得 由a号=a4ag,得(a1+6)2=(a1十3)(a1+8), a2+a4十a6=a1g+ag4+asq=q(a十ag十a)=gX21=42, 67