假期作业(8)直线与圆的位置关系-【百汇大课堂·寒假作业】2024-2025学年高二数学假期作业

假期作业 假期作业（八）直线与圆的位置关系 ·知识梳理· 研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是 ZHIS-SHULI 否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑 1.直线与圆的位置关系 该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有 位置关系 相交 相切 相离 条；当点在圆外时，切线有两条， 公共点个数 个 个 个 一习题粉练 几何法：圆心到直线的 距离d与圆半径r的 一、选择题 判 大小 定 代数法：由 1.对任意的实数k,直线y=kx十1与圆x2十 方 (Ax+By+C=0 y2=2的位置关系一定是 法 (x-a)2+(y-b)2=2 △0△0 △0 A.相离 消元得到一元二次 B.相切 方程的判别式△ C.相交但直线不过圆心 2.圆与圆的位置关系 D.相交且直线过圆心 已知两圆C1:(x一x1)2+(y-y1)2=7, 2.已知点M(a,b)在圆O:x2十y2=1外，则直 C2:(x-x2)2+(y-y2)2=3, 线a.x十by=1与圆O的位置关系是() 则圆心距d=|CC2 则两圆C,C2有以下位置关系： A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 位置 外离 内含 相交 内切 外切 关系 3.平行于直线2x十y+1=0且与圆x2+y2=5 相切的直线的方程是 () 圆心距 与半径 A.2x-y+5=0或2.x-y-5=0 的关系 B.2x+y+5=0或2x+y-√5=0 C.2x-y十5=0或2x-y-5=0 图示 © D.2x十y+5=0或2x+y-5=0 3.特别注意 4.(多选)已知圆(x一1)2+(y一1)2=4与直线 般地，在解决圆和直线相交问题时，应首 x十my一m一2=0，则 先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、圆 A.直线与圆必相交 的半径构成的直角三角形.还可以联立方程 B.直线与圆不一定相交 组，消去y(或x),得到一个一元二次方程， 利用方程根与系数的关系表达出弦长 C.直线与圆相交所截的最短弦长为23 1=/k2+1·/(x1+x2)2-4x1x2 D.直线与圆可以相切 5.圆x2+y2-4x+6y-12=0过点(-1,0)的最 大弦长为m,最小弦长为n,则m一n=() 15 有《礼车高二寒假·数学 A.10-27 B.5-√7 10.已知圆C经过原点O(0,0)且与直线y=2x D.5-22 一8相切于点P(4,0). C.10-33 (1)求圆C的方程； 6.已知圆C:x2+y2一6x=0,过点P(6,4)向这 (2)在圆C上是否存在关于直线y=x一1 个圆作两条切线，则两切线的夹角的余弦值 对称的两点M,V,使得以线段MN为直径 为 的圆经过原点？若存在，写出直线MN的 A名 B碧 方程；若不存在，请说明理由. c云 n瑞 二、填空题 7.圆x2+y2=4在点P(3,-1)处的切线方程 为 8.如图，圆弧形桥拱的跨度|AB|=12米，拱高 CD=4米，则拱桥的直径为 三、解答题 9.a为何值时，直线4x一3y十a=0与圆x2+ y2=100分别有如下关系： (1)相交；(2)相切；(3)相离？ 16女久高二寒假·数学 C(3,0)到直线l:x十3y十3=0的距离为d= 3+3 (lal=r 1a=1 √12+(w3) 由题意可得{a2十b2=a2 ,解得(b=0. =3=1,所以直线l:x十5y十3=0与圆C相切，所以C正 (1-a)2+(1-b)2=2 r=1 确；对于D,圆C:(x十1)2+y2=4的圆心为C(一1,0)， 则圆E的方程为(x-1)2+y2=1: 半径r2=2,因为CC1=√/(3+1)2=4，n-r2<4<r十r2, (2)因为M为AB中点，E为圆心，根据垂径定理，得： EM⊥AB. 所以圆C:(x十1)2十y2=4与园C相交，所以D正确.] 所以点M落在以EP为直径的圆上，其方程为(x一2) 5.B[过点M的最长弦所在的直线必过圆心，故由方程可 +3y2=1. 求圆心(4,1)，结合点(3,0)，可求得方程为x一y一3=0， 即点M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一 故选B.] 段孤， 6.C[因为C:.x2+y2+2m.x十2y+2m2-3=0, (.x-1)2+y2=1 所以C:(x十m)2+(y+1)2=4-m2,故圆心坐标为C(一m, 一22+解得x=是 由 一1)，半径r=√4一m,故圆心坐标在直线y=一1上运动， r一√一≤2，当m=0时半径取得最大值.] 所以M的轨迹方程为：x一2)2+y2=1(x<号）. =2. 假期作业（八） D=-4, 7解析由题意，得 =一4， 解得E=8, 知识梳理 F=4. 1.210<=>>=< /D2+2-4F 2 三4· 2.√(x1-e)2+(y1-y2)2d>r1+r2dKr1-r2 答案4 In-r2<d<n+r2 d=ln-r2l d=n+r 8解析设圆心C的坐标为(a,0)(a>0),由题意知，2 习题精练 1.C[法- 圆心(0,0)到直线kx一y十1=0的距离d= =45,解得a=2.∴C(2,0),则圆C的半径为r=CM 1一≤1<2=，∴直线与圆相交，且圆心(0,0)不在 5 1+k2 -√/22+(5)2=3. 该直线上. 法二直线kx一y十1=0恒过定点(0,1)，而该点在圆内， ∴.圆的标准方程为(x-2)2+y2=9. 故直线与圆相交，且圆心不在该直线上.] 答案(x-2)2+y2=9 2.B[,点M(a.b)在圆x2+y2=1外，.a2+2>1. 9.解(1)圜心为C(4,-1), 半径r=√(5-4)2+(2+1)2=√/10. “圆心(0,0)到直线axr+y=1的距离d=1一<1 √a2+b2 .圆的标准方程为(x一4)2+(y+1)2=10. r,则直线与圆的位置关系是相交.] (2)设圓心为C(0,b), 3.D[依题意可设所求切线方程为2x十y十c=0,则圆心 ∴.r=/(3-0)2+(-4-b)2=5, (0,0)到直线2xr+y十c=0的距离为=5，解得 ∴.(4+b)2=16=42,∴.4十b=4或4+b=-4. √22+12 .b=0或b=-8, c=±5.故所求切线方程为2.x十y十5=0或2x十y ∴.圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y十8)2=25. 5=0.] (3)设圆心为M(a,0),,lMC=|MDl, 4.AC[由题意，圆(x-1)2+(y-1)2=4的圆心C(1,1) .(a十1)2+(0-1)2=(a-1)2+(0-3)2,即a2+2a+1 半径r=2,直线x+my-m-2=0变形得x-2+m(y- +1=a2-2a+1+9,∴.a=2,r=MCl=√10. 1)=0,得直线过定点A(2,1),:1CA|= ∴.圆的标准方程为(x一2)2+y2=10. √(2-1)2+(1-1)2=1<2，∴.直线与圆必相交，故A正 10.解(1)选①设圆的一般方程为x2+y2+Dx十Ey+F= 确，B、D错误；由平面几何知识可知，当直线与过定点A 0(D2+E2-4F>0). 和图心的直线垂直时，弦长有最小值，此时弦长为 F=0 D=2 2√2-CA2=23,故C正确.] 由题意可得(2+D+E+F=0,解得{E=0, 5.A[圆的方程x2+32-4x+6y一12=0化为标准方程为 4+2D+F=0 F=0 (x-2)2+(y+3)2=25.所以圆心为(2，一3)，半径长为5.因 则圆E的方程为x2+y2-2x=0即(x一1)2+y2=1: 为(-1一2)2+(0+3)2=18<25，所以点(-1,0)在已知圆的 选②，直线m.x一y一m=0恒过(1,0)， 内部，则最大弦长即为圆的直径，即m=10.当（一1.0）为弦的 而圆E恒被直线m.x一y一m=0(m∈R)平分，所以m.x 中点时，弦长最小，此时弦心距d=√(2+1)2+（一3-0） y一m=0恒过圆心， 所以回心为(1,0)，可设圆的标准方程为(x一1)2十y2= 32,所以最小弦长为2√-正-2√25-18=27，所以 r2,(r>0) m-1=10-27.] 由圆E经过点A(0,0),得2=1， 6.A[将圆C:x2十y2-6x=0化为标准方程为(x-3)2+十 则圆E的方程为(x-1)2+y2=1: y2=9,所以圆心为C(3,0),半径r=3,又点P(6,4),所以 选③，设圆E的方程为(x一a)2+(y一b)2=r2(r>0): 点P到圆心C的距离为√(6-3)2+(4-0)严=5，所以切 56 假期作业产方 线与直线PC的夹角的正弦值为子，所以两切线的夹角的 消去y整理得：2.x2-(21+2)x+2-21=0, A>0 余弦值为1-2X(号)-云] 所以西+2=1+1 7解析：(W3)2+(-1)2=4,点P在圆上 w22 :P为切点。“切点与题心道我的斜率为一写 又2=（一+t)(一2十t)=x2-1(十x2)+产， 依题，以MN为直径的圆过原点， ∴.切线的斜率为√3，∴.切线方程为y十1=3(x一3)，即 所以OM.ON=0. 3x-y-4=0. 所以x1T2十y13y2=0. 答案√3.x-y-4=0 所以2x1:x2-1(.x1十x2)+=0. 8.解析如图，设圆心为O,半径为r,则 所以t2-21-1(t+1)+t2=0. 由勾股定理得OB2=1OD12+BD2. 所以2-31=0. 所以1=0或1=3. 即=（一02+，解得，号，所以拱 此时，都有△>0. 桥的直径为13米 所以存在满足条件的直线MN:x+y=0或x十y一3=0. 答案13米 假期作业（九） 9.解法一（代数法） 4.x-3y+a=0 由方程组 上kA[由AB坐标可求直线AB的科率为：版怎由于 x2+y2=100, kB=tan0,且0°≤0<180°，故0=30°，故选A.] 消去y,得25.x2+8a.x十a2-900=0. 2.B[可由一a-6=0,得a=-6,故选B.] △=(8a)2-4×25(a2-900)=-36a2+90000. 3.A[由A,B坐标可求l2的斜率k=5,由于k=tan0,且 (1)当直线和圆相交时，△>0， 0°≤<180°，得0=60°，由于1的倾斜角也是60°，所以1 即-36a2+90000>0,得-50<a<50: ∥l2或1与l2重合，故选A.] (2)当直线和圆相切时，△=0， 4.C[圆O1:(x-3)2+(y一4)2=25的圆心为0(3,4)、半 即a=50或a=-50: 径为5；圆O2:(x+2)2+(y+8)2=r2的圆心为O2(-2, (3)当直线和圆相离时，△<0， 一8)，半径为元.若它们相内切，测圆心距等于半径之差， 即a<-50或a>50. 即√/(3+2)2+(4+8)2=|r-51,求得r=18或一8，不满 法二（九何法） 足5<<10.若它们相外切，则圆心距等于半径之和，即 圆x2+y2=100的圆心为(0,0)，半径r=10, √(3+2)2+(4+8)-r+5,求得r=8或-18（舍去）. 则圆心到直线的距离d= 故选C.] √(-3)2+4251 (1)当直线和圆相交时，d<r, 5C[由题意知：-份=-专即3m=n,且有--子 ∴n=-3,m=-4.] 即g<10,得-50<a<60: 6.A[由题意可得，圆心(3，一5)到直线的距离等于r十1， (2)当直线和圆相切时，d=r, 即1215一二2=r+1,求得r=4,放选A.] /16+9 即号=10，得a=50我a=-50: (3)当直线和圆相离时，d>r, 7C[由题意知：2十6=a,申}+号-1， 即la>10,得a<-50或a>50. 2a+6=(2a+6(日+号)=4+台+0而a6>0, 5 10.解(1)设圆C的方程为(x一a)2+(y一b)2=r2(r>0), 治>0>0，则+>4+2=8当 1a2+b2=r2 可得(4-a)2+=r2, 且仅当台-岩时等号成立， ∴2a十b的最小值为8.] 8.AC[点(1,2)代入四个选项能排除D,选项A,y一x=1 a=2 解得(b=1, 可化为号十兰=1，故符合题意，选项B,号十音=1，不 r=5 符合题意.选项Cy=2x在两坐标轴上的截距都是0，合 题意故选A、C.] 所以圆C的方程为(x-2)2十(y-1)2=5. 9.ABD[圆心C(0,0)到直线I的距离d= 2 (2)设M(x11),V(x2y2), √a2+b2 依题意，设直线MN的方程为y=一x十t, 若点A(a,b)在圆C上，则a2+2=r2, 联立 /y=-x十t 1(.x-2)2+(y-1)2=5 所以d=，2 √a2+ =r,则直线l与圈C相切，故A正确： 57