假期作业(4)空间向量与立体几何-【百汇大课堂·寒假作业】2024-2025学年高二数学假期作业

假期作业产 假期作业（四）空间向量与立体几何 7.如图，正方体ABCD-A1B1CD1的棱长为 一、单选题 a,E是DD1的中点，则 () 1.已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60°， 那么a-3b等于 ( A.√7 B.√10 C.√13 D.4 A.直线B1E∥平面A1BD 2.设向量a,b满足|a十b|=√/10，a-b=√6， B.B1E⊥BD 则a·b等于 A.1 B.2 C.三棱锥G-B,CE的体积为a3 C.3 D.5 D.直线B1E与平面CDD1C1所成的角正切 3.已知点A(3,2,一3)，则点A关于y轴的对 值为25 称点的坐标是 () 二、多选题 A.(-3,-2,3) B.(-3,2,-3) C.（-3,2,3) D.(-3,-2,-3) 8.下列命题中为假命题的是 ( 4.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线1上，则直 A.向量a与b平行，则a与b的方向相同或 相反 线的一个方向向量为 ( B.两个有共同起点而且相等的向量，其终点 A.(1,2,3) B.(1,3,2) 必相同 C.(2,1,3) D.(3,2,1) C.零向量是没有方向的 5.若平面a,3的法向量分别为a=(2,一1,0)，b= D.有向线段就是向量，向量是有向线段 (-1,一2,0)，则α与3的位置关系是() 9.如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD是边长为 A.平行 B.垂直 1的正方形，S到A,B,C, C.相交但不垂直 D.无法确定 D的距离都等于2.以下结 6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，OA与平面 论正确的是 A1BD所成角的正弦值是 ( A.SA+SB+SC+SD-0 B B.(SA-SC)·(SB-SD)=0 C.SA-SB+SC-SD=0 c号 D.1 D.SA.SB=SC.SD 有女之高二寒假·数学 15.如图，四棱锥F-ABCD的 三、填空题 底面ABCD是菱形，其对 10.若平面a的一个法向量为u1=(一3，y,2), 角线AC=2,BD=√2，CF 平面β的一个法向量为42=(6，一2，z),且 ⊥平面ABCD,CF=2,求 A a∥B,则y十x= 平面BAF与平面DAF 11.已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面 的夹角的大小. ABCD,CG=2,E,F分别是AB,AD的中点， 则点C到平面GEF的距离为 12.已知直线l与平面a垂直，直线l的一个方 向向量u=(1,一3，z),向量v=(3,-2,1) 与平面a平行，则x= 13.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E, F,G,H分别是棱AB,AD,B1C1,D1C1的 中点，则平面EFD1B1和平面GHDB的距 离是 四、解答题 16.在四棱锥P-ABCD 中，PD⊥底面AB 14.如图，四边形ABCD为正 CD,CD∥AB,AD= 方形，PD⊥平面ABCD, DC=CB=1,AB=2, PD∥QA,QA=AB= D DP=√3. B 2PD. (1)证明：BD⊥PA; (1)证明：平面PQB⊥平面DCQ: (2)求PD与平面PAB所成的角的正 (2)证明：PC∥平面BAQ. 弦值. -8#1写 高二寒假·数学 |la+bl-v10, 设M(a,2-a,0)(0<a<2),则AM-(a,4-a,0) 2.A 设平面PAM的一个法向量为n-(x,y,z). la-bl-, ② 2y+23x-0, 由AP·n=0,AM·n-0得 ①、②同时平方 lax+(4-a)y-0, a+2a·b+b?-10. ③ 可取n=(3(a-4),3a,-a), a-2a·b+b2-6,④ 23(a-4) ③-④→4a·b-4, 所以cos(OB,n)=- 23(a-4){②}+3^{②}+^{} .a·b-1.] 3.C 4.A [AB-(2,4,6)-2(1,2,3).] 所以-23(a-4) 5.B [.:a·b-2x(-1)+(-1)x(-2)+0x0=0 23(a-4)2十3a{+^{} '.alb, 'a与B互相垂直。] 6.B [如图,连接AC交BD于O,连接AO, 所以一(-84#). 则 AOA.,是直线OA与平面A;BD所成 的角,设AOA,一a,正方体校长为1,则 #0## 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为3 10.解(1)由AC=BC,D为AB的中点,得CD1AB,又 故选B] CD IAA ,AA OAB=A.AA C平面AABB,AB$C 7.D [如图,以D为坐标原点, 平面A.ABB,故CD1平面A.ABB.,所以点C到平面 DA、DC、DD.,所在直线分别 AABB 的距离为CD-BC2-BD2=$5 为x轴、y轴、z轴建立空间直 角坐标系, (2)如图,过点D作DD;/ AA 交AB于D,在直三楼 则A.(a,0,a),B (a,a,a),E 柱中,易知DB,DC,DD 两两 (o,o,),B(a,a,0),D(o,o, 垂直,以D为原点,以DB, DC,DD.所在直线分别为x 0),D.(o,0,a),则BE-(-a,-a,-),DB-(a,a, 轴、y轴、z轴建立空间直角坐 o),DA-(a,0,a),BD-(-a,-a,a),设平面ABD的 标系Dxyz. fax十az-0 设直三校柱的高为h,则A(-2. 法向量为n=(x,y,z),所以 lax+ay-0取x=1,则y= 0.0).A(-2,0.h),B(2,0,h),C(o 5.0),C(0.5,h),从而 =-1,所以n=(1,-1,-1),所以BE·n-1x(-a)+ AB=(4,0,h),AC=(2w,-h), (-1)(-a)+(-1)x(-)--0,故BE与平面 由ABlAC,有8-h2-0,h-2v2. A.BD不平行,故A错误; 故DA=(-2,0,2②),CC-(0,0,2②),DC=(0,v5 因为BE·B-(-a)×(-a)+(-a)x(-a)+ax 。. ()-}40O,所以B上与BD不乎垂直,故B错误; 设平面AjCD的一个法向量为 m=(x1,,21). 则mIDC.m1DA, V-=VBc BC=Sc nc·BC-a3,故C错误; 15y-0. 平面CDD.C.的一个法向量为m=(a,0,0),设直线BE 即 与平面CDD.C.所成的角为6. 1-2r+2v②z-0. 则sin m BE a2} 取x-1,得m-(/2,0,1). |mlBEl 显然平面C.CD的一个法向量为n一(1,0,0) 假期作业(四) 8.ACD[A.假命题,当a与b中有一个为零向量时,其方 1.A [la-3b |-(a-3b){-a-6a·b+92= 向是不确定的;B.真命题;C.假命题,零向量也是向量,故 1-6×1×12+9-7.] 也有方向,只是方向不确定;D.假命题,向量可用有向线 段来表示,但并不是有向线段,] 52 假期作业 #*1 [可以推出:(SA-S).(SB-s)=CA·DB 9. BCD BAQ的一个法向量.又因为PC=(0,-2,1),且DA·PC 0,所以B正确;SA-SB+SC-SD=BA+DC=0.所以C -0,即DA1PC,且PCC平面BAQ,故有PC/平 正确;又因为底面ABCD是边长为1的正方形,SA-SB 面BAQ -S$C-SD-2,所以SA·SB-22Xcos ASB,$C. 15.解 过点A作AE上平面ABCD.以A为坐标原点,BD. SD=2X2Xcos CSD,而ASB=CSD,于是SA·SB AC,AE方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直 -sC.sD,因此D正确.] 角坐标系(图略).于是A(0,0,0), B(-2,1.o),D(,1,o),f(o,2,2), 10.解析 因为al/,所以un/u2,所以-3--2,所以 -(-1.),AF-(0.,2.2). y-1,z--4,所以y十z--3. 答案-3 设平面BAF的一个法向量为n=(x,y,z), 11.解析 建立如图所示的空间直角坐 .[n·AB-o, 标系C-xyz,则CG-(0,0,2),由题 则由 1n.A-0. 意易得平面GEF的一个法向量为n -(1,1,3),所以点C到平面GEF D 得 2y+2z-0. n 11 答案 12.解析 .直线1与平面a垂直,直线l的一个方向向量u 所以n-(-v②,-1,1). -(1,-3,),向量v-(3,-2,1)与平面a平行,.*·v 同理,可求得平面DAF的一个法向量n=(V2,-1,1) -3+6十z-0.解得z-=-9,故z--9. 由nì·n2-0,知平面BAF与平面DAF垂直. 答案 一9 所以平面BAF与平面DAF的夹角的大小等于. 13.解析 因为平面EFD.B /平面 GHDB,EF//乎面GHDB,所以平 16.(1)证明 如图所示,取AB中点为O,连接DO,CO,则 面EFD.B:和平面GHDB的距离, OB-DC-1. 就是EF到平面GHDB的距离,也 又DC//OB,所以四边形DCBO为平行四边形 就是点F到平面GHDB的距离,建 又 BC-OB-1, A 立如图所示的空间直角坐标系 所以四边形DCBO为菱形,所以BD1CO Dxyz,则DF-(1,0,0),DH=(0,1,2),DB-(2,2,0) 同理可得,四边形DCOA为菱形,所以AD//CO 所以BD1AD. 设乎面GHDB的一个法向量为n一(z,y,z) 因为PD1底面ABCD,BDC底面ABCD,所以PD 1BD, 12x+2y-0, 又ADOPD=D,AD,PDC平面ADP,所以BD1平 不妨取y=-2,则n-(2,-2,1), 面ADP. D.nl一 因为PAC平面ADP,所以BDIPA 所以点F到平面GHDB的距离d= n 2+(-2)2+12 GHDB的距离也是?. 0 14.证明 如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长 (2)解 度,DA,DP,DC所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空 由(1)知BD1AD,又AB=2AD,所以DAC -60”. 间直角坐标系Dxyz (1)依题意有D(0,0,0),Q(1,1, 所以三角形ADO为正三角形. 过点D作垂直于DC的直线为x轴,DC所在直线为3 0).C(0,0.1),P(0,2,0),则DQ 轴,DP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, -(1,1,0),DC-(0,0,1),P- 则A(,,o),B(,,o),P(o.0.v③),D(o,0,0). (1.-1,0),所以PD-。,4 P·DC-O,即 PQI DQ.PQL DC. 又 DQODC=D, 则AB-(o,2,0),AP-(-.v3).D-(0.0.v③). DQ.DCC平面DCQ,故PQ1平面DCQ.又PQC平面 设平面PAB的法向量为n一(x,y,z), PQB,所以平面PQB1平面DCQ (2)根据题意,DA-(1,0,0),AB=(0,0,1),AQ=(0,1. 0),故有DA·AB=0,DA·AQ=0,所以DA为平面 53 高二寒假·数学 令x-2,则y-0,z-1,所以n-(2,0,1). 10.解 (1).f(1)-4,.'定点A(1,4),·直线/在x,y轴 设直线PD与平面PAB所成的角为a,则sina= 上的截距相等, lcos (n,Dpn.Dp 若m=n-0时,则直线1过原点,设为y-kx,代入A(1. n·DP5×③ 4)得b-4,故直线方程为y-4x,即4x-y-0, n-5.故直线方程为+号-1,即x十y-5-0, 假期作业(五) 知识梳理 综上,直线1的方程为4x-y=0或x+y-5-0. 1.(1)相交 x轴 平行 重合 0{(2)[0,) (2)由题可得直线斜率存在,设为人,可得<0. 2. tan (θ-9o*) 3. y-yo-k(x-xo) y-kx+b$$ 则直线1的方程为y-4-k(x-1), 令x-o,得y-4-k,令y-o,可得x-1-, 1+-1Ax+By+-0 y2-1x2-x1 则三角形COB面积s-×(4-)x(1-)- 习题精练 (-168).# 1.B[由y=3x+a,可知 -③=tana,.'0<a<90* '.a-60{,故选B.] .0...-0. 3.B[由--sina,sinaE[-1,1],可知[-1,1,即 倾斜角范围为[o,]U[3x,n),故选B.] 为×(88)-8. 4.BC [对于A,对于直线y-3x-2,令x-0得y--2,所以 直线y-3x-2在y轴上的截距为一2,故A不正确;对于B. 假期作业(六) 直线-ax-3a+2-a(x-3)+2,aR,故该直线过定 点(3,2),故B正确;对于C,因为所求直线与直线x十2y 知识梳理 一9-0平行,因此,可设所求直线为x十2y十m-0,又所 1.(1)1-{(2)--1 求直线过点M(-3,2),所以-3十4十n=0,解得n= 2.一组解 无解 无数组解 一1,故所求直线方程为x十2y-1-0,故C正确;对于D. lAxo+Byo+Cl 1C-C2l 过点(一1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线,当在两 3V(n-x2)2+(-32)2} A十B A2十B2 坐标轴上的截距为0时,直线方程为2x十y-0;当在两坐 习题精练 1.A [直线的倾斜角a的范围是al0*<a<180},所以② aa 解得a-1,则直线方程为x十y-1,故D不正确。] 和④错误;平行于x轴的直线的倾斜角都为0{,所以③错 误,故正确的命题有1个.] 5.A [因为直线x-2y-4-0的斜率为吾,所以直线1在y 2.D [如图,ho-2,-0,只有当直 轴上的截距为2,所以直线/的方程为y-3x十2.] 线落在图中所示位置时才符合题意, 故[0,2,故直线1的斜率 的最 3-4 大值为2.] 因为aER,所以1-a2<1,即tan1. 3.C [直线x一y十1-3-0变形为 因为6[o,x),所以0<哥或吾<<n, y-1一k(x-3),由直线的点斜式可 得直线恒过定点(3,1).] 所以直线的倾斜角取值范围是[0,]U(,x),故选D] 4. ACD[对于A:当a-时,1i:-x+3y+1-0,v2:x 7.3c-3y+1-0 +4y+6-0,则-1,h--2,所以k.·^.--2x 8.解析 BC的中点坐标为(3,-)...BC边上中线所 1--1,所以1l2,故A正确;对于B:若l/l2,则(a 在直线方程为--0-+5,即x+13y+5-0. ##。#}# -2)×a-1×3,解得a=-1或a=3,当a--1时,l1:- 答案 x+13y+5-0 3x+3y-2-0,l2:x-y+6-0满足题意,当a-3时,l x+3y+6-0,l2:x+3y+6-0,l与l2重合,故a-3舍 9.解 ·.直线y=-3x十1的斜率为一3..所求直线斜 去,所以a--1,故B错误;对于C:当a-2时,l:3y+4 为。 f-10. /3y+4-0 -0,l2.x+2y+6-0,则 )7 .x+2y6-。,解得{ 即两直线1与2的交点为(-10.-4),故C正确;对于 54