假期作业(3)空间向量与空间角-【百汇大课堂·寒假作业】2024-2025学年高二数学假期作业

假期作业 假期作业（三）空间向量与空间角 →识梳理 一习题精练· HISH SHUI 1.两条异面直线所成的角 设两条异面直线a,b所成的角为O,它们的 一、选择题 方向向量分别为a,b,则cos0= ,范 1.直线l1,l2的方向向量分别是1,2，若y1与 围 2所成的角为0，直线l1,l2所成的角为α，则 2.直线和平面所成的角 () (1)设直线和平面所成的角为0，且直线的方 向向量为a,平面的法向量为b,则sin0= A.a=0 B.a=π-0 ,范围 C.cos cos a D.cos a=cos (2)借助于向量求线面角关键在于确定直线 2.已知向量m,n分别是直线l和平面a的方向 的方向向量和平面的法向量，一定要注意向 向量和法向量，若c0sm,m）=一之则直线1 量夹角与线面角的区别和联系。 3.二面角的平面角 与平面α所成的角为 (1)设二面角a(3的平面角大小为0，且两 A.30° B.60° 个半平面的法向量分别为a,b,则|cos0 C.120 D.150° ,范围 3.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0), (2)解题步骤如下： n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小 ①建系：依据几何条件建立适当的空间直角 为 坐标系。 A.45 B.135 ②求法向量：在建立的空间直角坐标系下求 C.45°或135 D.90° 两个面的法向量n1,n2. 4.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M ③计算：求n1与2所成锐角9， cos0=m1·n2l 是A1B1的中点，点N在该正方体的棱上运 Inn2 动，则下列说法正确的是 ④定值：若二面角为锐角，则为0：若二面角 A.当N为棱AA1中点时，MV∥B1D 为钝角，则为π一0. B.当N为棱AA1中点时，MN与平面 4.利用空间向量求角的基本方法 ABC1D1所成角为30 利用空间向量求角的基本思路是把求空间角转 化为求两个向量之间的夹角.首先要找出并利 C.有且仅有三个点N,使得BN∥平 用空间直角坐标系或基向量（有明显的线面垂 面AMD 直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求 D.有且仅有四个点N,使得MN与B1C所 角和两个向量夹角之间的关系。 成角为60 5 有女礼高二寒假·数学 5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,BC (2)若点M在棱BC上，且二面角MPA-C为 =2,DD1= ，则AC与BD1所成角的余弦 30°，求P℃与平面PAM所成角的正弦值. 值是 A.0 R28 C.-370 70 n需 6.已知正三棱锥PABC的侧面PAB上动点 Q的轨迹是以P为焦点，AB为准线的抛物 线，若点Q到底面ABC的距离为d,且PQ =2d,点H为棱PC的中点，则直线BH与 AC所成角的余弦值为 ( A零 R会 10.如图，在直三棱柱ABC c n -A1B1C1中，AB=4, AC=BC=3,D为AB 二、填空题 的中点. 7.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1= (1)求点C到平面A1ABB1的距离： (2)若AB1⊥AC,求二面角A1-CD-C1的 2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值 等于 平面角的余弦值. 8.二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分 别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直 于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD= 217,则该二面角的大小为 三、解答题 9.如图，在三棱锥P-ABC中， AB=BC=22,AP=BP= CP=AC=4,O为AC的 A 中点 (1)证明：PO⊥平面ABC; 6有女表军高二寒假·数学 5.BC[设等腰直角△ABC 10.证明设AB=BC=CD=DA 的斜边BC=2,则AD= AS=1,又AS⊥平面ABCD BD=DC=1,以D为原 四边形ABCD是正方形. 点，DB,DC,DA所在的直 .SA、AB、AD两两垂直，以A 线分别为x轴、y轴和之轴 为坐标原点，AB、AD、AS所在直 建立空间直角坐标系，如 线分别为x轴、y轴、x轴，建立如 图所示， 图所示的空间直角坐标系Axyz, 则A(0,0,1),B(1,0,0),C B 则B(1,0,0),D(0,1,0), (0,1,0),D(0,0,0),可得 AB=(1,0,-1),AC=(0,1,-1),所以AB·AC=1≠0， Aa,00.s00,D.E(22） 所以AB与AC不垂直，所以A不正确：因为AD⊥BD, 连接AC,设AC与BD相交于点O,连接OE,则点O的 AD LDC,且BD∩DC=D,所以AD⊥平面BCD,所以 AD与平面BCD的法向量平行，所以B正确：由BD= 坐标为（合，70） (-1,0,0),AC=(0,1,-1),可得Bd·AC=0,所以 因为A5=0,01D,0成-(0,0，号) BD⊥AC,所以C正确；因为平面ADC和平面ABC不垂 直，则平面ADC的法向量与平面ABC的法向量不互相 所以O成=As所以O症/A 垂直，所以D错误.] 又因为AS⊥平面ABCD,所以OE⊥平面ABCD, 6.C[直线1的方向向量为a=(1,一2,1)，平面a的法向量 为n=(2,3,4), 又OEC平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABCD. 因为a·n=(2,3,4)·(1,-2,1)=2-6+4=0, 假期作业（三） 所以a⊥n, 所以lCa或l∥a.] 知识梳理 7.解析aLB,.a·b=0,∴x-2十2×3=0， 188 0e(o,】28洽 9e[o,] x=-4 答案一4 &88 0e[o,为 8.解析：AA1⊥平面ABC,B1B⊥平面ABC, 习题精练 ∴AA1与B1B可以作为平面ABC的法向量. 答案②③ 1D[a=0政a=x-0,且a∈[0，]，因而osa 9.解PA上存在点G,使得EG∥ lcos 01.] 平面PFD,理由如下：：PA⊥平 面ABCD,∠BAD=90°，AB=1, 2A[由cos(m,m)=一号知直线1与平面。所成的角为 AD=2, 90°-60°=30°.] 如图，以A为坐标原点，AB、骨 AD、AP所在直线分别为x轴、 名C[@mm》疗-号二百角的大水为行 y轴、之轴建立空间直角坐标系Axyz, 或135°.] 则A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0). 4.BD[A选项：因为BD∩平面ABBA=B1,MNC平 不妨令P(0,0,t), 面A1B1BA,且B1MN,所以MN,B1D异面，故A错 .PF=(1,1,-t),DF=(1,-1,0). 误；B选项：以D为中标原点建立如图所示空间直角坐标 设平面PFD的一个法向量为n=(x,y,z), 系，记AB=2, n·PF=0, 由 -0 则A(2,0,0),B(2,2,0),D1(0,0,2),N(2,0,1),M(2,1, n·DF=0, 2), 令x=1,解得x=y=2 t m=(台党小 设点G的坐标为(0,0，m), 又E(分0,0)，则元-(-2,0，m) D 要使EG∥平面PFD,只需EC·n=0, 即(-)×受+0x号+m×1=0, 所以AB=(0,2,0),AD=(-2,0,2),NM=(0,1,1), 即m-=0， 设n=(x,y,z)为平面ABCD1的法向量， 解得m=子+，从而满足AG-子AP的点G即为所求 -2x+2z=0取x=1,得n=1,01), 则 2y=0 50 假期作业产为十 NM.n 设直线BH与AC所成角为O, 记MN与平面ABC1D1所成角为8，则sin0= NMIn 则丽.心-1，=愿，-2， 2X2 2 所以cos0=cos(Bi,AC=1=3V85 因为0e[0,],所以0=否，放B正确： 8陋X2 85 6 C选项：如图，记CD的中点为 N,连接BN,BC,NC1,AM, 即直线BH与AC所成角的余弦值为3丽.] 851 AD1,MD1,由正方体性质易知， 7.解析设AB=1,则AA1=2,以D BC∥AD1,BC丈平面AMD1, 为坐标原点，分别以DA1,DC1, AD1C平面AMD1,所以BC1∥ 平面AMD1,同理BN∥平面 DD的方向为x轴y轴、之轴的正方 AMD1,又BN∩BC1=B,BN, 向建立空间直角坐标系，如图所示， BC1C平面BNC1, 则D(0,0,2),C(0,1,0),B(1,1,2) 所以平面BNC1∥平面AMD1,所以当点N为CD中点或 C(0,1,2),DB=(1,1,0),DC1=(0, 与C1重合时满足题意，故C错误： 1,-2),DC-(0,1,0),设n=(x,y,z) D选项：如图，易知CD, B1D1,AC,AB1与B1C的夹角 为平面BDC的一个法向量，则( 即x+y=0, n·DB=0, 为60°，所以当MN与CD1, n·DC=0,y-22=0, B1D1,AC,AB1之一平行时满 取n=(-2,2,1). 足题意，即N为BB1,AA1, 设CD与平面BDC1所成角为O, A1D1,B1C1中点时满足题意， 则sin0 n·DC 2 故D正确.] nDCI 5.A[以D为原点，DA,DC、DD1所 D 在直线分别为x轴、y轴、z轴建立 答案 如图所示的空间直角坐标系，则D 8.解析由条件，知CA·AB=0,AB.BD=0,CD=C4+ (00,）,B2,2.0,A2,00,C AB+BD. (0, 2,0).所以BD 1CD12-1CA12+1AB12+1BD12+2CA.AB+ (-2,-2,2)0-(-2,20,所 2A.BD+2C.BD=62+42+82+2×6×80osCi, BD)=(217)2. 以cos(BD,Ad=BD·Ad =0,所以AC与BD1所成角 IBD IACI ∴6osCi,BD=-2,又：0≤CA,BD》<180, 的余弦值为0.] ∴(CA,BD》=120°，二面角的大小为60 6.C[设△ABC的中心为O,如图， 答案60 以OA为x轴，过O平行于BC的 9.(1)证明因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点，所以 O)为y轴，OP为z轴建立空间直 OP⊥AC,且OP=25. 角坐标系，不妨设|BC=2,则有： O(0,0,0), 连接OB,因为AB=BC-号AC, A(250,oB(-51.0) 所以△ABC为等腰直角三角形， d(-号，-1，o0)过Q作QD1底面ABC于D,QELAB 且OBLAC,0B=2AC-2 由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB. 于E,由抛物线的定义知：QEl=|PDl=2d,|QD|=d. 由OP⊥OB,OP⊥AC且OB∩AC=O,OB,ACC平面 在Rt△QDE中，∠QDE=90°， ABC,知PO⊥平面ABC. 所以血∠QED8器-： (2)解如图，以O为坐标原 所以∠QED=30°， 点，OB,OC,OP的方向分别为x 即侧面于底面所成的二面角为30°. 轴，y轴，之轴正方向，建立空间 支P060d调有：-得×后号 直角坐标系. 由已知得O(0,0,0),B(2,0, 0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P A 所以H(-得-君)丽=（停.是》， (0,0,25),AP=(0,2,23). AC=(-3,-1,0), 取平面PAC的一个法向量OB=(2,0,0). 51 有女表军高二寒假·数学 设M(a,2-a,0)(0<a≤2)，则AM=(a,4-a,0). /la+b=√/10，① 设平面PAM的一个法向量为n=(x,y,z). 2.A[a-b1-6,@ 由AP·n=0,AM·n=0得2y+23x-=0, ①、②同时平方 lax+(4-a)y=0, |a2+2a·b+b2=10,③ 可取n=(3(a-4),W3a,-a), a2-2a·b+b2=6,④ ③-④→4a·b=4, 所以cos(OB,n》= 23(a-4) 2v√3(a-4)2+3a2+a2 .a·b=1.] 3.C 由已知可得1cmsO成ml-, 4.A[AB=(2,4,6)=2(1,2,3).] 所以 23(a-4) 3 5.B[.a·b=2×(-1)+(-1)×(-2)+0×0=0, √3(a-4)2+3a2+a2 a⊥b, 解得a=一4（合去），a=号， ∴a与B互相垂直.] 6.B[如图，连接AC交BD于O,连接A1O, 所以一(85,45，号》】 则∠AOA1,是直线OA与平面A:BD所成 的角.设∠AOA1=a,正方体棱长为1，则 又P元=(0,2，-2，所以os(P元，m》= 4 AA-1Ac-E.A0-号.0A-5, 2 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为得 AA16 '.sin a-OAi3' 10.解(1)由AC=BC,D为AB的中点，得CD⊥AB,又 故选B.] CD⊥AA1,AA1∩AB=A,AA1C平面A1ABB1,ABC 7.D[如图，以D为坐标原点， 平面A1ABB1,故CD⊥平面A1ABB1,所以点C到平面 DA,DC、DD1,所在直线分别 A1ABB1的距离为CD=√BC2-BDP=5. 为x轴、y轴、：轴建立空间直 (2)如图，过点D作DD1∥ 角坐标系， AA1交A1B1于D1,在直三棱 A](a,0,a),B(a,a,a),E 柱中，易知DB,DC,DD1两两 (0,0,号)，B(a,a,0),D(0,0, 垂直，以D为原点，以DB, DC,DD1所在直线分别为x 0,D10,0),则B克-(-a,-a,-号），D成=(a,a 轴y轴、之轴建立空间直角坐 0),DA1=(a,0,a),BD=(-a,-a,a),设平面A1BD的 标系Dxyz. 设直三棱柱的高为h,则A(一2， 法向量有-，房以十8累-1，测y 0,0),A1(-2,0,h),B(2,0,h),C(0w5,0,C(05,h),从而 x=-1,所以n=(1,-1,-1),所以B1E·n=1X(-a)+ AB1=(4,0,h),A1C=(2wW5,-h), (-1)X(-)+(-1)×(-受）=号≠0，故BE与平面 由AB1LA1C,有8-h2=0,h=22. A1BD不平行，故A错误； 故DA=(-2,0,22,CC=(0,0,22),DC=(0,W5, 0). 因为BE.Bd=(-a)X(-a)+(-a)×(-a)+a× 设平面A1CD的一个法向量为 （号）-兰0，所以B正与B丽不垂直，故B蜡误， m=(x1y11), 则m⊥DC,m⊥DA1, VGa=-VgcE=SAGr·BG=名c,放C错误： 5y1=0, 平面CDD1C1的一个法向量为m=(a,0,0),设直线B1E 即 与平面CDD1C所成的角为8， -2x1+221=0, |m·BE 取1=1，得m=(2,0,1). 则sin0 a2 ImBEl ,所 显然平面C1CD的一个法向量为n=(1,0,0), a×√a2+a2+(-号) 所以cos(m,n)=mn=2+1×13 m·n 以s0--号。 所以二面角ACDG的平面角的余弦值为写 2 所以tana=ing=3-25,故D正确.] cos 0 假期作业（四） 3 8.ACD[A假命题，当a与b中有一个为零向量时，其方 1.A[1a-3b|=√a-3b2=√a2-6a·b+9w= 向是不确定的；B.真命题；C,假命题，零向量也是向量，故 也有方向，只是方向不确定；D.假命题，向量可用有向线 √1-6x1×1×2+9=7.] 段来表示，但并不是有向线段.] 52