假期作业(2)空间向量与平行、垂直关系-【百汇大课堂·寒假作业】2024-2025学年高二数学假期作业

假期作业 &1 参考答案 假期作业(一) 9.解(1)因为a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0.2) 所以2a-b-(3,2,-2),又c-(-,1.1), 知识梳理 1.(4)不共面 p=x十十sc 基底 所以2a-b--2c,所以(2a-b)/c. 2.(1) 向量的数乘 相同 相反 ì(a十b)=xa十 (2)因为a-AB-(1,1,0),b-AC-(-1,0,2), b a()-(àu)a al lblcosa,b) a·b 所以ba+b-(k-1,k,2),a-2b-(k+2,k,-4). 3.(1)(a +b,a+b,a3+b)(aì-b,a2-b,a3-b) 又因为(ha十b)|(a-2b). (a ,àa,àa)ab+azb+ab 所以(ha+b)·(a-2b)-0. ($) =b,a-^b,a-xbab +ab+ab- 即($-1,,2)·(+2,b,-4)-2k^{+-10-$ (3) (a-a)+(b-b)?+(c-c1)? 习题精练 1.B [a-bal-lb;lal=bl>a-b.] 10.解 因为N是CM的中点,底面ABCD是正方形, 2.C[设P(0.0,),则有 所以BN-BC+CN-AD+CM (1-0)+(-2-0)+(1-z)? -AD+1(AM-A) - (2-0)?+(2-0)+(2-), 解得。-3.] -A+。[AM-(AD+AB)] 3.B [若a一b,则a,b的长度相等,方向不确定,故A不正 确;相反向量是指长度相同,方向相反的向量,故B正确;空 #4AB+4A+A--a+10+)# 间向量的减法不满足结合律,故C不正确;在/二ABCD中,才 有AB+AD-AC,故D不正确,故选B] 又由题意,可得la=|AB| =2,bl=AD|=2 4.B ['.a,b是两个不共线的向量..',a0,b-0. el- AM|-3, MAB- MAD-60”, 只有B正确] DAB-90*, 5.A[''a/b.'.存在实数k,使b-a, 因此|B|-(-+b+1)*} 即(6,2-1.2)-(+1,0,2). -1(1a{+b|2+| {2-2a·b-2a·c+2b·e) 6-(+1). (-2, .2-1-0,解得{ 2-2h 6.AB [对于A:因为a:0,b-0,a lb,则a·b-0,故A正 -7. 确;对于B:因为PC-1PA+3PB,则PC-P 3PB-3PC,即AC-3CB,又AC与CB有公共点,所以 A.B.C三点共线,故B正确;对于C:a·b-l0r-3,若(a,b 假期作业(二) 为钝角,则a·bo,且a与b不共线,由a·b<o得x 知识梳理 10 1.非零 非零向量 2.(1)a=^a,b=xb,c=c (2)a+bb+cc=o (3)a=a2,b=b,c= c -3,于是得当x~3且x-3时,(a,b)为钝角,故C错误; 习题精练 1.A [由已知得AB=(-1,-1.-1),AC-(-2,1.-1). 对于D:(a·b)·c是c的共线向量,而a·(b·c)是a的 共线向量,故D错误。] 设平面ABC的法向量为n=(x,y,),则AB·n-0.AC 7.解析 由题意知 .n-0,即{ )_ (a{十b.a-0. ((a+b).a-0. ① ) (2a+b)·b=o.2a·b+b?}-0,② #1,则#n-(--.).,# 将①x2-②得2a-b-0,'b-b-2a{}-2la ? 2.故lb-、/2. 答案/2 3.A [·.A,B在直线/上,AB-(1,1,3)...与AB共线的向 8.解析 ·:A(2,0.0),M(0.0.1),O01,1.0),B(2,2,2). 量(2,2,6)可以是直线/的一个方向向量。] 'AM=(0.0,1)-(2,0.0)=(-2.0,1).OB=(1,1,2) 4.D[..'a·b=0.-2x3-2×2+m=. 答案(-2,0,1)(1,1,2) .m-10.] 49 #1&# 高二寒假·数学 10.证明 设$AB-BC-CD=DA=$ 5. BC [设等腰直角△ABC ,2 的斜边BC=2,则AD= AS=1,又AS 乎面ABCD B$D=DC=1,以D为原 四边形ABCD是正方形. 点,DB,DC,DA所在的直 '.SA、AB、AD两两垂直,以A 线分别为x轴、v轴和x轴 为坐标原点,AB、AD、AS所在直 建立空间直角坐标系,如 线分别为x轴、y轴、x轴,建立如 图所示, 图所示的空间直角坐标系A.xy,$ 则A(0,0.1),B(1,0,0),C 则B(1.0,0),D(0.1,0). (0.1.0),D(0.0.0).可得 A(0,0,0),:s(0.1)E(). AB-(1,0.-1).AC-(0.1.-1),所以AB·AC-10. 所以AB与AC不垂直,所以A不正确;因为AD BD 连接AC,设AC与BD相交于点O,连接OE,则点O的 AD1DC,且BDODC=D.所以AD 1平面BCD,所以 坐标为(o). AD与平面BCD的法向量平行,所以B正确;由BD (-1.0.0).AC=(0.1.-1).可得BD·AC-0.所以 因为AS-(0.0.1).oE-(o.0.). BD1AC,所以C正确;因为平面ADC和平面ABC不垂 所以OF-A5.所以OE/A5. 直,则平面ADC的法向量与平面ABC的法向量不互相 垂直,所以D错误。] 又因为AS1平面ABCD,所以OE 平面ABCD 6.C [直线/的方向向量为a一(1,-2,1),平面a的法向量 又OE二平面BDE,所以平面BDE|平面ABCD 为n-(2,3.4). 因为a·n-(2,3,4)·(1,-2.1)-2-6+4-0. 假期作业(三) 所以an, 所以/Ca或//a.] 知识梳理 #e(0## #2# 0# 7.解析 .alB..a·b-0.x-2+2×3-0. 1. ab .--4. 答案 -4 3. alb{ 8.解析 .AA.1平面ABC,B.B1平面ABC, 习题精练 .AA与BB可以作为平面ABC的法向量. [0],因而co 答案②③ 1.D [a-θ或a-π-0,且a 9.解 PA上存在点G,使得EG/ P{& cos1.] 平面PFD.理由如下:.PA平 2.A[由cos(m,n)=- 知直线1与平面a所成的角为 面ABCD. BAD-90{$AB-1. AD-2. 90{-60{-30{] 如图,以A为坐标原点,AB、*# AD、AP所在直线分别为x轴、 2= y轴、:轴建立空间直角坐标系A.xyz, 或135”。] 别 A(0.0.0).B(1.0:0):F(1:1:0).D(0.2.0) 4.BD [A选项:因为B DO平面A.BBA-B,MNC平 不妨令P(0,0.t). 面A.B BA,且B.MN,所以MN,B D异面,故A错 ·PF-(1,1,-),DF-(1.-1.0). 误;B选项:以D为中标原点建立如图所示空间直角坐标 设平面PFD的一个法向量为n一(x,y,c). 系,记AB-2. 则A(2.0,0),B(2,2,0),D(0.0.2),N(2,0.1),M(2,1. 由 2), 令一1,解得1-- 。# C .n-(,1). 设点G的坐标为(0.0.n). 又E(.0.o),则EG-(-.0,m). 要使EG/平面PFD,只需EG·n-0. 即(-。)x+ox分+mx1-0. 所以AB-(0.2.o).AD-(-2.0,2).NM-(0.1.1). 即=0 设n-(x,y,z)为平面ABCD.的法向量, 解得-11,从而满足AG--AP的点G即为所求。 (2y-0 {1-20+2{-。取x=1,得n=(1,0.1), 50假期作业 假期作业（二）空间向量与平行、垂直关系 知识梳即 习题精练 1.直线的方向向量和平面的法向量 一、选择题 能平移到直线上的 直线的 向量，叫做 1.已知A(1,2,3),B(0,1,2),C(-1,3,2),则 方向向量 直线的一个方向向量 平面ABC的一个法向量为 直线l⊥α，取直线l的 A(-号-3川 (-号3 平面的 n,则向量n 法向量 叫做平面α的法向量 c(-3- n.(得-3 2.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线 2.空间平行关系的向量表示 1,l2的方向向量.若1∥12，则 (1)线线平行 A.x=6,y=15 B.x=3,y= 15 设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b, 2 c1),b=(a2,b2,c2),则l∥m台a∥b台a=b C.x=3,y=15 台 D.c-6.y-15 (2)线面平行 3.若A(1,0,-1),B(2,1,2)在直线1上，则直 设直线1的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面 线（的一个方向向量是 ( a的法向量为u=(a2,b2,c2),且l寸a,则l∥ A(2,2,6) B.(-1,1,3) a台aL=a·u=0台 C.(3,1,1) D.(-3,0,1) (3)面面平行 4.设直线1，l2的方向向量分别为a=(-2,2, 设平面a,3的法向量分别为u=(a1,b1c1), 1),b=(3,-2,m),若1⊥2，则m=( v=(a2,b2,c2),则a∥B台u∥v台u=Av台 A.-2 B.2 C.6 D.10 3.空间垂直关系的向量表示 5.(多选)如图，以等腰直角△ABC的斜边BC 空间中的垂直关系 上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折 线线垂直 线面垂直 面面垂直 成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下 设平面a的 设直线（的方 设直线1的方 四个结论，其中正确的是 法向量为u 向向量为a= 向向量为a= =(a1,b1 (a1,a2,a3), (a1,b1c1),平 c1),平面B 直线m的方面α的法向量 向向量为b= 为u=(a2,b2, 的法向量 A.AB⊥AC 为v=(a2 (b,b2,b3),c2),则l⊥a台 B.AD与平面BCD的法向量平行 b2c2),则a 则l⊥m台a⊥a∥u台a=k, C.BD⊥AC L3台u⊥v b台a·b=0 k∈R D.平面ADC的法向量和平面ABC的法向 →u·v=0 量互相垂直 3 有女礼s高二寒假·数学 6.在空间直角坐标系中，若直线1的方向向量 10.如图，四棱锥S-ABCD 为a=(1,一2,1)，平面a的法向量为n=(2, 中，底面ABCD是正方 3,4),则 ) 形，AS⊥平面ABCD,且 A.l∥a B.l⊥a AS=AB,E是SC的中 C.lCa或l∥a D.l与a斜交 点.求证：平面BDE⊥平 面ABCD 二、填空题 7.已知平面α和平面β的法向量分别为a=(1, 1,2),b=(x,一2,3)，且a⊥3，则x 8.在直三棱柱ABCA,BC1中，以下向量可以 作为平面ABC法向量的是 .(填序 号) ①AB:②AA1;③B1B;④A1C1 三、解答题 9.如图，已知在四棱锥P ABCD中，底面ABCD 是矩形，且AD=2,AB= 1,PA⊥平面ABCD,E, F分别是线段AB,BC的中点.判断并说明 PA上是否存在点G,使得EG∥平面PFD. 4