精品解析：天津市第一中学2024-2025学年高一上学期第二次考试数学试卷

天津一中2024－2025－1高一年级第二次数学考试试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设函数定义域为，函数定义域为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负求出集合，根据对数函数的真数大于，求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】对于函数，令，解得， 所以函数定义域为； 对于函数，令，即，解得， 所以函数定义域为， 所以. 故选：C 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数及指数函数的性质得到，即可判断. 【详解】因为，则由，可得，所以， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3. 已知函数，则的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得函数在上为增函数，又，即得. 【详解】∵，， 由得，，∴，函数为增函数， 当时，，又， 故的零点所在的区间是. 故选：B 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，又幂的运算性质及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且，则， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为. 故选：C 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的单调性可得，，根据指数的单调性可得，即可比较大小. 【详解】故 故 由于，所以， 因此， 故选：C 6. 下列四个函数中，当时，使得恒成立的函数有（ ）个． ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式及所给条件一一判断即可. 【详解】由题意知且，所以； 对于①：，，则， ， 因为 ， 所以，即，故①正确； 对于②：，，则， ， 因为，所以，即，故②正确； 对于③：，，则， ， 因为，所以， 即，故③错误； 对于④：，，则， ， 因为，所以， 所以，故④错误. 故选：B 7. 已知函数的部分图象如下图所示，则可能的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值及函数的单调性排除A、B、D，分析函数的单调性及函数值的特征判断C. 【详解】对于A，因为， 所以，，， 而， 即，，所以在上并不单调递减，故A错误； 对于B，因为， 所以，，， 显然，， 所以在上并不单调递增，故B错误； 对于D，因为， 所以，， 显然，， 所以在上并不单调递减，故D错误； 对于C，因为定义域为， 当时，，由复合函数的单调性易知在上单调递增； 当时，，在上单调递增且， 在上单调递减， 当时，当时，符合题意， 结合前面ABD的分析，可知只有C中解析式符合题意，故C正确. 故选：C. 8. 已知正实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程，可分别看作两函数图象交点的横坐标，作出图象，数形结合得解. 【详解】由可把看作函数与函数在上交点的横坐标， 同理，可看作函数与在上交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中，作，，的图象， 由图象可知， 故选：A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9. 已知幂函数在上单调递增，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义以及函数的单调性来求得的值. 【详解】是幂函数，所以， 时，，在上单调递增，符合题意. 当时，，在上单调递减，不符合题意. 所以的值为. 故答案为： 10. 已知，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算性质及换底公式推导出，再由指数幂的运算法则计算可得. 【详解】因为，，所以， 所以. 故答案为： 11. 已知，函数在R上没有零点，则实数的取值范围______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据指数以及对数函数的单调性，分别求解，则，以及，则，即可求解的取值. 【详解】时，，此时无零点，则无实数根，，则， 故或， 当时，，此时无零点，则无实数根， 由于，则，故，因此 综上要使在R上没有零点，则或， 故答案为：或 12. 已知，是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得和是方程的两个根，利用韦达定理得到，，再由换底公式及完全平方公式计算可得. 【详解】由，是方程，即的两个根， 所以和是方程的两个根， 从而，， 所以 . 故答案为： 三、解答题：本大题共4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 已知函数为奇函数． （1）求实数a的值； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义可得，即可求出参数的值； （2）首先证明函数的单调性，利用单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【小问1详解】 因为为上的奇函数，则， 即，整理可得，可得， 此时，经检验符合题意； 【小问2详解】 由（1）可得，则在上的单调递增. 证明如下：设，且， 则， 因为，根据指数函数的性质可得，则，，， 所以，即， 所以在上的单调递增， 因为为奇函数， 不等式化为， 又因为在上的单调递增，所以，解得或， 所以不等式的解集为或 14. 已知函数 （1）若关于x的方程有2个不同的实根，求实数a的取值范围； （2）若关于x的方程有4个不同的实根，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数以及指数函数的图象性质，作出函数图象，即可根据图象求解， （2）将问题转化为或有4个实数根，进一步转化为有2个实数根，结合函数图象即可求解. 【小问1详解】 作出的图象如下： 可知在单调递增，在单调递减， 要使有2个不同的实根，则 【小问2详解】 由可得， 故或， 由的图象可知：有两个不相等的实数根， 要使x的方程有4个不同的实根，则有两个不相等的实数根， 故，解得， 所以实数a的取值范围为. 15. 已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求实数m的取值范围； （3）若在上存在最小值，求实数λ的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质，利用换元法可得，，即可利用二次函数的性质求解， （2）分离参数，利用函数的单调性求解最值，即可得解， （3）根据二次函数的性质，即可由得解. 【小问1详解】 ， 由于，则，令， 则，， 故当，取最小值， 当，取最大值，故值域为； 【小问2详解】 当，，令， ， 故对于恒成立， 即对于恒成立， 由于函数均为上的单调递增函数， 故在单调递增，因此， 故； 【小问3详解】 时，则， ， 要使在上存在最小值，则，故. 16. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求mn的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数：，使得对任意的，不等式都成立，求实数s的最大值． 【答案】（1）不是“依赖函数”，理由如下： 当时，当且仅当，即时取等号； 当时，当且仅当，即时取等号； 所以， 所以存在，，则无解，故不是“依赖函数”； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可； （2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据的范围即可求出的取值范围； （3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在上单调递增， 故，即，解得， 由，故，解得， 从而，又函数在上单调递增， 所以，即. 【小问3详解】 ①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去； ②若，故在上单调递减， 从而，即，解得(舍)或， 从而存在使得对任意的，有不等式都成立， 即对恒成立， 由，得. 由，可得， 又在上单调递减，故当时，， 从而，解得， 综上，故实数的最大值为. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法： ① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ② 数形结合( 图象在 上方即可)； ③ 讨论最值或恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津一中2024－2025－1高一年级第二次数学考试试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设函数定义域为，函数定义域为，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，则的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个函数中，当时，使得恒成立的函数有（ ）个． ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数的部分图象如下图所示，则可能的解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9. 已知幂函数在上单调递增，则a的值为______． 10. 已知，，则的值为______． 11. 已知，函数在R上没有零点，则实数的取值范围______． 12. 已知，是方程的两个根，则的值为______． 三、解答题：本大题共4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 已知函数为奇函数． （1）求实数a的值； （2）求不等式的解集． 14. 已知函数 （1）若关于x的方程有2个不同的实根，求实数a的取值范围； （2）若关于x的方程有4个不同的实根，求实数a的取值范围． 15. 已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求实数m的取值范围； （3）若在上存在最小值，求实数λ的取值范围． 16. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求mn的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数：，使得对任意的，不等式都成立，求实数s的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $