精品解析：内蒙古科左中旗民族职专·实验高中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

科左中旗民族职专·实验高中 2024—2025学年第一学期期中考试（数学）试卷 出题人：沈静 审题人：杨泽 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（每小题5分，共8题，合计40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出结合M，再应用交集运算得出选项. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系关于坐标轴的对称点的特征即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为. 故选：C. 3. 已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线平面α，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，根据空间向量的坐标表示建立方程，解之即可求解. 【详解】由直线平面，可得， 所以，得. 故选：D. 4. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定复数，再求复数的模. 【详解】， 所以，所以. 故选：C 5. 下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】对A，是偶函数，当，， 所以在上单调递减，故A错误； 对B，，所以为非偶函数，故B错误； 对C，，所以为偶函数，当， 为减函数，其在上单调递增，故C正确； 对D，，所以为奇函数，故D错误. 故选：C 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据指数函数与对数函数的性质，分别判定，，的范围，即可得出结果. 【详解】因为，， ， 所以，. 故选：B. 【点睛】本题主要考查比较对数与指数的大小，属于基础题型. 7. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先计算样本空间，再代入古典概型概率公式，即可求解. 【详解】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张， 样本空间包含，共个， 抽到的2张卡片上的数字之和是偶数包含的基本事件为，个数， 则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为. 故选：C. 8. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为M为与的交点，所以M是与的中点， 所以. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. PM2.5是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物．PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．如图是某地5月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 这10天中PM2.5的日均值的极差为50 B. 这10天中PM2.5的日均值的中位数为43 C. 这10天中PM2.5的日均值的平均数为47.8 D. 这10天中PM2.5的日均值的第80百分位数为69 【答案】ABD 【解析】 【分析】由极差定义可判断A正确，将数据按从小到大排序由中位数、平均数、百分位数定义计算可得C错误，BD正确. 【详解】对于A，这10天日均值的最大值为80，最小值为30，所以极差为，故A正确； 将10天中PM2.5日均值按从小到大排序为30，32，34，40，41，45，48，60，78，80， 所以这10天中PM2.5的日均值的中位数为，故B正确； 这10天中PM2.5的日均值的平均数为 ，故C错误； 因为为整数，所以这10天中PM2.5的日均值的第80百分位数为第8个和第9个数的平均数，即为，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知事件两两互斥，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件互斥的性质依次判断选项即可. 【详解】因为事件两两互斥，所以.因为，，所以，则正确. 因为，，所以，则正确. 因为事件两两互斥，所以，则错误. 因为，所以，则正确. 故选：ABD 11. 如图，四边形BCC1B1是圆柱的轴截面，AA1是圆柱的一条母线，已知，则下列说法正确的是（　　） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆柱的侧面积为 C. 圆柱的表面积为 D. 圆柱的表面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】四边形是圆柱的轴截面，根据勾股定理可求得底面圆的半径，利用圆柱的侧面积公式和表面积公式求解. 【详解】因为四边形是圆柱的轴截面，， 所以，故， 设底面圆的半径为，则解之可得，根据圆柱侧面积，故A正确； 圆柱的表面积，故C正确. 故选：AC 三、填空题（每小题5分，共3题，合计15分） 12. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】依题意，直线的斜率， 所以直线l的倾斜角为. 故答案为： 13. 已知，，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角的正弦余弦的平方和为1可求得，进而利用两角和的余弦公式即可求值. 【详解】因为，，所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意先求出两人都没有击中靶心的概率，再利用对立事件的概率公式可求得结果. 【详解】设甲击中靶心为事件，乙击中靶心为事件，则，， 所以两人都没有击中靶心的概率为， 所以甲、乙至少有一人击中靶心的概率为. 故答案为： 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． （1）求F点到的距离； （2）求点F到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用点到直线距离公式进行求解； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的向量距离公式进行求解. 【小问1详解】 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为，则，，， 可得，， ，，， 设点到的距离为， 则； 【小问2详解】 设平面的法向量为，，，， 则，. 设， ，令，解得，，所以， 又，，， 点到平面的距离为. 16. 梵净山位于贵州省铜仁市的江口､印江､松桃三县交界处，是具有2000多年历史的文化名山.梵净山山势雄伟､层峦叠嶂，溪流纵横､飞瀑悬泻.为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这100名游客对景区满意度评分的分位数； （3）若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 【答案】（1） （2）92.5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据直方图中频率和为1即可求解； （2）由百分位数的定义，结合直方图即可求解； （3）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 由图可知：， 解得：； 故的值为； 【小问2详解】 ， 分位数在区间内，令其为， 则， 解得： 所以满意度评分的分位数为92.5； 【小问3详解】 因为评分在的频率分别为， 则在中抽取人，设为； 在中抽取人，设为； 从这6人中随机抽取2人，则有： ， ，共有15个基本事件， 设选取的2人评分分别在和内各1人为事件， 则有， 共有8个基本事件， 所以. 即选取的2人评分分别在和内各1人的概率为. 17. 已知三角形的内角的对边分别为，且这些边和角的关系满足． （1）求角的大小； （2）若的面积为，且，求的周长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，将已知条件进行转化，即可求得； （2）利用三角形面积公式，以及余弦定理，求得，即可求得三角形周长. 【小问1详解】 对，由正弦定理可得：， 故，则，又，故，. 【小问2详解】 由三角形面积公式，结合可得：，即，解得：； 由余弦定理以及，可得，也即， 故，解得； 故的周长为. 18. 函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）先将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位长度，最后得到函数的图象，求在区间上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由图可得出的值，求出的最小正周期，可求得的值，由结合的取值范围可求得的值，可得出函数的解析式； （2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的性质即可得解. 【小问1详解】 由图可知，， 函数的最小正周期为，， ，可得， ，则，，则， 所以. 【小问2详解】 将函数的图象的横坐标缩小为原来的，可得到函数的图象， 再将得到的函数图象向左平移个单位，最后得到函数的图象， 则， 当时，，则，所以， 因此在区间上的值域为. 19. 如图，在正四棱柱中，点在上，且，．请先建立适当的空间直角坐标系，然后解答下列问题： （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， ，，即，， 又，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】(1)利用空间向量法来证明线线垂直，即可证明线面垂直； (2)利用空间向量法来求两平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 由（1）知平面的一个法向量为， 故， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 科左中旗民族职专·实验高中 2024—2025学年第一学期期中考试（数学）试卷 出题人：沈静 审题人：杨泽 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（每小题5分，共8题，合计40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线平面α，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. PM2.5是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物．PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．如图是某地5月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 这10天中PM2.5的日均值的极差为50 B. 这10天中PM2.5的日均值的中位数为43 C. 这10天中PM2.5的日均值的平均数为47.8 D. 这10天中PM2.5的日均值的第80百分位数为69 10. 已知事件两两互斥，若，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，四边形BCC1B1是圆柱的轴截面，AA1是圆柱的一条母线，已知，则下列说法正确的是（　　） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆柱的侧面积为 C. 圆柱的表面积为 D. 圆柱的表面积为 三、填空题（每小题5分，共3题，合计15分） 12. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为____________. 13. 已知，，则____________. 14. 已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为___________. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． （1）求F点到的距离； （2）求点F到平面的距离. 16. 梵净山位于贵州省铜仁市的江口､印江､松桃三县交界处，是具有2000多年历史的文化名山.梵净山山势雄伟､层峦叠嶂，溪流纵横､飞瀑悬泻.为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这100名游客对景区满意度评分的分位数； （3）若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 17. 已知三角形的内角的对边分别为，且这些边和角的关系满足． （1）求角的大小； （2）若的面积为，且，求的周长． 18. 函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）先将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位长度，最后得到函数的图象，求在区间上的值域. 19. 如图，在正四棱柱中，点在上，且，．请先建立适当的空间直角坐标系，然后解答下列问题： （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $