吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第三次摸底考试数学试题

高三数学 第三次摸底考试 参考答案 1、 单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C A D D D C 2、 多选题 9 10 11 AC ACD AC 三、填空题 12． 13. 14． 四、解答题 15. 【解析】（1），，， 数列是以为首项，以1为公差的等差数列， ，． （2）， ， 错位相减得， ． 16. 【解析】（1）证明：取中点， 连接，，，A B C D E P M N 为的中点， 则，， 又，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面， 平面， 平面． （2）, ,. 又，且，A B C D E P M N x y z 平面， , 又，. 解法一(向量法)： 以点D为坐标原点,以DE,DC,DP分别为x轴、y轴, z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系, 则, 设平面PBC的法向量,则,即, 令,得. 设平面PEC的法向量,则,即, 令,得. 设平面与平面夹角为, 则=, 所以平面与平面夹角的余弦值为. 解法二（几何法）： ,, ，， 又，且， 平面． 且,， . 根据二面角的定义可知,即为二面角的平面角, ,. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 【解析】（1）， 由余弦定理知：， ,. （2）, , , . 又, , 即. , 又为锐角三角形， ,解得， , . 18. 【解析】（1）(i) ， 设，当时，， 在单调递增，， 即； （ii）， 设， ，， 在单调递增，， 在单调递增，，即． （2）由（1）可知， ，变形得， 令，得， 取得， ，， 相加得． 19.【解析】（1）因为， ，，均为正整数 所以数列存在“伴随数列”，且其“伴随数列”为. （2）因为数列存在“伴随数列”， 所以，且 ∴， ∴，即， ∴． （3）①一方面，由（2）知，于是 所以 ②另一方面，由数列存在“伴随数列，知 所以是的正约数，又， 即可取， 又，为最大值， 取，有 ， ， 符合条件，因此的最大值为． 【或取，， ， ，， 给出一种符合条件的即可．】 三摸数学 参考答案 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年 东北师大附中 高三年级（数学）科试卷 上学期第三次摸底考试 考试时长：120分钟 满分：150分 1、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知复数，则 A. B. C. D. 2. 已知集合，则 A. B. C. D. 3. 将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是 A． B． C． D． 4. 正项递增等比数列，前n项的和为，若，，则 A． B． C． D． 5. 已知曲线表示圆，则的取值范围是 A． B． C． D． 6. 古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割 率的值也可以用2sin18°表示，即,设,则 A． B． C． D. 7. 已知是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当时，，则 A. B. C. D. 8. 点M、N为正四面体ABCD的内切球球面上的两个动点， T为棱AB上的一动点，则当 取最大值时， A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是 A. B. 函数的图象关于点对称 C. 将向左平移个单位长度，得到函数 D. 若方程在上有个不相等的实数根，则的取值范围是 10. 如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，，，为与的交点.若，，，则下列说法正确的有 A． B． C．设，则 D．以为球心，为半径的球在四边形内的交线长为 11．已知函数，则 A．当时，函数单调递增 B．当时，函数有两个极值 C．过点且与曲线相切的直线有且仅有一条 D．当时，若是与的等差中项，直线与曲线有三个交点 ，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则 ． 13. 若函数的最小值为，则实数的取值范围是 . 14.已知为数列的前项和，满足,则 ； ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知数列满足，. （1）证明：数列为等差数列，并求通项； （2）求数列的前项和. 16.（15分）如图，直角中，，,分别为、中点，将 沿翻折成，得到四棱锥，为中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17.（15分）锐角的内角的对边分别为，. （1）若，求； （2）求的取值范围． 18.（17分）已知函数． （1）证明：； （2）证明：，． 19.（17分）已知项数为的数列为递增数列，且满足， 若，且，则称为的“伴随数列”． （1）数列是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”，若不存在，说明理由； （2）若为的“伴随数列"，证明: ； （3）已知数列存在“伴随数列，且，求的最大值． 数学试卷 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$