精品解析：湖南省娄底市第二中学2024-2025学年九年级上学期期末复习测试数学试卷

2024年下学期第1-5章单元测试卷 满分：120分 时量：100分钟 姓名： 得分： 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，配方得（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，点是上一点，下列条件不能判定的是（　　） A. B. C. D. 4. 为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在左右，则鱼塘中估计有鱼（ ）条． A. 4000 B. 5000 C. 10000 D. 2000 5. 如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且，则坡面的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则k的值为（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. D. 且 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点O为位似中心，相似比为3，将放大，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，已知，，，线段的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 10. 如图，在梯形中，，对角线交于点，且，有下面四个结论①；②；③；④；其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 已知，则的值为________． 12. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为______． 13. 若点，，在反比例函数图象上，则大小关系是______．（用＜符号表示） 14. 已知、是的两个根，则的值为________ 15. 下列命题中，①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圆都相似，正确命题的有________．（填序号） 16. 如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则的值是__________ 17. 在中，，是锐角，若，则的大小是_______． 18. 已知在中，，，．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．如图，四边形是的内接正方形；四边形是的内接正方形；继续中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推，……则第n个内接正方形的边长_______．（n为正整数） 三、解答题：本题共8小题，解答需写出必要的解答步骤或证明过程． 19. 计算：． 20. 如图，在中，，于点D． （1）求证：； （2）若，，求长． 21. 某校近期打算组织八年级800名学生进行游学活动，为了提前了解学生最想去的地点，随机抽取部分学生进行调查，其中，可选地点共有四个：A地：中国大运河博物馆、B地：瘦西湖、C地：茱萸湾、D地：凤凰岛（每位同学只选一个地点），根据调查结果制作了如下统计图． 由图中给出的信息解答下列问题： （1）所抽取的样本容量为 ； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，喜欢去D处的所对应的扇形圆心角的度数为 ； （4）请你根据抽样调查的结果，估计该校八年级最喜欢去茱萸湾的学生有多少人？ 22. 已知关于一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为，且求的取值范围． 23. 如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 24. 今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售优质农产品礼包，今年1月份的售该农产品礼包256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包． （1）若2、3两个月的销售量的月平均增长率相同，求月平均增长百分率． （2）若农产品礼包每包成本为25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包每降价2元，月销售量可增加10包，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4250元？ 25. 自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的D处看见飞机A的仰角为，已知斜坡的坡比，铅垂高度米（点E、G、C、B在同一水平线上）．（结果保留根号） （1）求此时甲、乙两市民距离； （2）求飞机此时距离地面的高度． 26. 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． （2）【类比探究】如图2，和都等腰直角三角形，．连接，．则________． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接，． ①求的值； ②延长交于点，交于点．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年下学期第1-5章单元测试卷 满分：120分 时量：100分钟 姓名： 得分： 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，解题关键是熟练运用待定系数法求反比例函数解析式．把点代入反比例函数，解方程求解即可． 【详解】解：把点代入反比例函数得， ， 解得， ， 该图象也过点． 故选：D． 2. 用配方法解一元二次方程时，配方得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的解法步骤是解题的关键． 先移项变形为，再将两边同时加4，即可把左边配成完全平方式，进而得到答案． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 3. 如图，在中，点是上一点，下列条件不能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，两组对应角相等或者夹角相等，两边成比例的三角形是相似三角形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、因为，，所以，故该选项不符合题意； B、因为，，所以，故该选项不符合题意； C、因为，且夹角都不是，即夹角不相等，所以不相似，故该选项符合题意； D、因为，且，即夹角相等两边成比例，所以，故该选项不符合题意； 故选：C 4. 为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在左右，则鱼塘中估计有鱼（ ）条． A 4000 B. 5000 C. 10000 D. 2000 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体，熟知总体数目部分数目相应频率是解题的关键．根据总体数目部分数目相应频率求解即可． 【详解】解：鱼塘中估计有鱼条， 故选：． 5. 如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且，则坡面的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数关系求出的长即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， 解得：，即坡面的长度为． 故选：C． 6. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，连接，由轴可得，结合得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，同时要满足该方程的二次项系数不为0．熟练运用根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴且． 故选：B 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点O为位似中心，相似比为3，将放大，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 【详解】解：∵，以点O位似中心，相似比为3，将放大， ∴点的坐标为或， 故选：C． 9. 如图，已知，，，线段的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】A 【解析】 分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到即可求解． 【详解】解：∵, ∴， ∵，， ∴， 解得， 故选：A． 10. 如图，在梯形中，，对角线交于点，且，有下面四个结论①；②；③；④；其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，梯形的性质等知识，掌握等高模型成为解题的关键． 利用等高模型以及相似三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴的高相等． ∵和、和分别是同底三角形， ∴，即①②正确； ∵， ∴．即，则③正确； ∵， ∴， ∴，即，故④错误． 综上，正确有①②③，共3个． 故选C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 已知，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，则，代入即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， 故答案为：． 12. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义；根据已知线段的比例关系与已知条件，设，代入转化一元二次方程求解即可． 【详解】解：设， 依题意，， ∴ ∴ 即 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 13. 若点，，在反比例函数图象上，则的大小关系是______．（用＜符号表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，已知自变量值求函数值比较大小等．根据题意分别将点坐标中横坐标代入反比例函数解析式，求出的值，继而得到本题答案． 【详解】解：∵点，，在反比例函数图象上， ∴将，，分别代入中， 即：，，， ∴， 故答案为：． 14. 已知、是的两个根，则的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得、，再把化为，再代入求值即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两实数根， ∴、， ∴， 故答案为：． 15. 下列命题中，①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圆都相似，正确命题的有________．（填序号） 【答案】③④ 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据多边形相似的定义判断即可． 【详解】解：①两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，故任意的矩形都相似是假命题； ②两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故任意的菱形都相似是假命题； ③任意的正方形都相似，是真命题； ④任意的圆都相似，是真命题； 故答案为：③④． 16. 如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则的值是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正切的定义，作于，则，，再根据正切的定义计算即可得解． 【详解】解：如图，作于， ， 由图可得：，， ∴， 故答案为：． 17. 在中，，是锐角，若，则的大小是_______． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查了非负数的意义、三角形内角和定理及由特殊三角函数值求角度，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键．本题根据非负数的意义求出、，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ， ∴，， ∴． 故答案为：． 18. 已知在中，，，．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．如图，四边形是的内接正方形；四边形是的内接正方形；继续中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推，……则第n个内接正方形的边长_______．（n为正整数） 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质可以得出，再根据相似三角形的性质就可以把正方形的边长表示出来，再由正方形的性质可以得出，再根据相似三角形的性质就可以把正方形的边长表示出来，从而得出结论，通过计算得出的结论寻找其中的变化规律就可以得出第n个内接正方形的边长的值． 【详解】解：如图1， ∵四边形是正方形， ，， ∴， ∴， ∴， ， 如图（2）四边形是正方形， ，， ∴， ∴， ∴， ， 如图3中，由以上同样的方法可以求得正方形的边长为：， 第4的个正方形的边长为：， ..... 第n个内接正方形的边长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定与性质及规律的探索，解题的关键是得出规律． 三、解答题：本题共8小题，解答需写出必要的解答步骤或证明过程． 19. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算负整数次幂、特殊角三角函数、绝对值、立方根，再进行加减运算． 【详解】解： ． 20. 如图，在中，，于点D． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，进而问题可求证； （2）根据（1）中相似，然后结合相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∴，即， ∵，， ∴， ∴ 解得：（负根舍去）． 21. 某校近期打算组织八年级800名学生进行游学活动，为了提前了解学生最想去的地点，随机抽取部分学生进行调查，其中，可选地点共有四个：A地：中国大运河博物馆、B地：瘦西湖、C地：茱萸湾、D地：凤凰岛（每位同学只选一个地点），根据调查结果制作了如下统计图． 由图中给出的信息解答下列问题： （1）所抽取的样本容量为 ； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，喜欢去D处的所对应的扇形圆心角的度数为 ； （4）请你根据抽样调查的结果，估计该校八年级最喜欢去茱萸湾的学生有多少人？ 【答案】（1） （2）作图见详解 （3） （4）该校八年级最喜欢去茱萸湾的学生约有人 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识及计算，理解条形图、扇形图中的数量关系，掌握根据样本估算总体数量的方法，圆心角度数的计算方法是解题的关键． （1）根据A地的人数与所占百分比即可求解； （2）由（1）的样本容量，可算出B地的人数，由此即可求解； （3）先计算出D地的百分比，再根据圆心角度数的计算方法即可求解； （4）先计算出喜欢去C地茱萸湾的百分比，再根据样本百分比估算总体数量的方法即可求解． 【小问1详解】 解：A地的人数为人，百分比为， ∴（人）， ∴所抽取的样本容量为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：B地的人数为：（人）， ∴补全条形图如下， 【小问3详解】 解：D地的人数为， ∴所占百分比为， ∴去D处的所对应的扇形圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问4详解】 解：样本中喜欢去C地茱萸湾的百分比为， ∴（人）， ∴该校八年级最喜欢去茱萸湾的学生约有人． 22. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为，且求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“时，方程有两个实数根”，（2）根据根与系数的关系结合及（1）的结论来求解． （1）根据方程根与系数，结合方程根的判别式时，方程有两个实数根来求解； （2）先求出，，再结合及（1）的结论求解． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ， ． 【小问2详解】 解：方程的两个实数根为， ，， ． ， ， ． ， ． 23. 如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与不等式，理解反比例函数的图象和性质是解答关键． （1）将点代入中来求解； （2）根据反比例函数和正比例函数的性质求出点的坐标，再利用对称轴求出点的坐标，最后利用三角形面积公式求解； （3）根据反比例函数与正比例函数的图象交于点和点， 利用图象来求解不等式的解集． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， ∴， ∴反比例函数的解析式为 ． 【小问2详解】 解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B， ∴， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：反比例函数与正比例函数的图象交于点和点， 所以根据图象得：不等式的解集为或． 24. 今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售优质农产品礼包，今年1月份的售该农产品礼包256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包． （1）若2、3两个月的销售量的月平均增长率相同，求月平均增长百分率． （2）若农产品礼包每包成本为25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包每降价2元，月销售量可增加10包，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4250元？ 【答案】（1）2、3两个月的月平均增长率为 （2）当农产品礼包每包降价5元，这种农产品在4月份可获利4250元 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系：1月销量月的销量，列出相应的方程是解答本题的关键． (1)根据题意，可知1月销量月的销量，然后计算，即可得到2、3月份的增长率． (2)先设当农产品每袋降价m元时，该农产品在4月份可获利4250元，然后根据：利润=(售价进价)数量，列出方程并解答即可． 【小问1详解】 解：设2、3这两个月的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得： (舍去)， 答：2、3两个月的月平均增长率为． 【小问2详解】 设当农产品礼包每包降价m元时，这种农产品在4月份可获利4250元， 由题意得：， 解得： (舍去)， 答：当农产品礼包每包降价5元，这种农产品在4月份可获利4250元． 25. 自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的D处看见飞机A的仰角为，已知斜坡的坡比，铅垂高度米（点E、G、C、B在同一水平线上）．（结果保留根号） （1）求此时甲、乙两市民的距离； （2）求飞机此时距离地面的高度． 【答案】（1）米； （2）飞机距离地面的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键． （1）过点作于点，先根据坡比的概念得到米，再利用勾股定理即可求解； （2）证明米，，设米，在中，根据三角函数的定义列方程，并求解即得答案． 小问1详解】 解：过点作于点，如图， 斜坡的坡比，铅垂高度米， ， 米， 米； 【小问2详解】 解：，， 四边形是矩形， 米，， ，， 是等腰直角三角形， ， 设米，则米， 米， 在中，， ， 解得， 米， 答：飞机距离地面的高度为米． 26. 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． （2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．则________． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接，． ①求的值； ②延长交于点，交于点．若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】(1)证明，从而得出结论； (2)证明，进而得出结果； (3)①先证明，再证得，进而得出结果；②根据题意求出，利用勾股定理求出，，，进而求出，在①的基础上得出，进而，证明，推出，进一步得出结果． 【小问1详解】 证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①∵，设， ∴． ∴， ， ∴， ∴， ∴； ②由①得：，，，则， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$