复习06 圆锥曲线的定点定值问题（八大题型）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

复习06 圆锥曲线的定点定值问题 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 面积定值问题】 【题型2 向量积定值问题】 【题型3 斜率型定值问题】 【题型4 线段定值问题】 【题型5 角度定值问题】 【题型6 直线过定点问题】 【题型7 动点在定直线问题】 【题型8 圆过定点问题】 知识点 1 ：常见条件转化 1、对边平行：斜率相等，或向量平行； 2、两边垂直：斜率乘积为，或向量数量积为0； 3、两角相等：斜率成相反数或相等或利用角平分线性质； 4、直角三角形中线性质：两点的距离公式 5、点与圆的位置关系： （1）圆外：点到直径端点向量数量积为正数； （2）圆上：点到直径端点向量数量积为零； （3）圆内：点到直径端点向量数量积为负数。 知识点 2 ：弦长公式 若直线的方程设为，，，则 若直线的方程设为，，，则 【注】上式中代表的是将直线方程带入圆锥曲线方程后，化简得出的关于或的一元二次方程的二次项系数。代表的是该一元二次方程的判别式。 难点 1 ：定值问题处理步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。 难点 2 ：定点问题的常用方法技巧 1、参数无关法 把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。 2、特殊到一般法 根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。 3、关系法 对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。 题型归纳 【题型1 面积定值问题】 【例1】已知是双曲线：的左焦点，且的离心率为2，焦距为4.过点分别作斜率存在且互相垂直的直线，.若交于，两点，交于，两点，，分别为与的中点，分别记与的面积为与. (1)求的方程； (2)当斜率为1时，求直线的方程； (3)求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由，得，又因为，所以， 所以，所以：. （2）由题知：，设，则， 联立，消去可得， 则，所以， 则， 又直线，互相垂直，则，设， 则， 联立，消去可得， 则，所以， 则，所以：. （3）由题意可知，的斜率不为0，设：，，. 由可得，. 所以，，，所以. 所以，所以. 同理可得：，. 令，得. 当，，时， 直线的斜率. 所以：， 化简得：，即为：. 所以到的距离， 所以到的距离， 所以. 由（2）知，当时，，所以. 【例2】已知椭圆C：的焦距为2，直线与交于两点,是上异于的一点设直线，的斜率分别为，，满足. (1)求的方程； (2)点在上，满足，直线，相交于点，求证：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1） 设，∴， ∴ ， ∴，，又，而，∴， ∴C的方程为. （2）设方程为 ∴， ∴ ∴， 因为 所以为三角形的中位线， 所以, 所以， 又与两平行间的距离为： ∴ 为定值. 【变式1-1】已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1. (1)求动点的轨迹的方程. (2)过点的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且. ①求证：直线过定点； ②试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①证明见解析；②存在，. 【详解】（1）设点，，故动点的轨迹方程为，. （2）由题意，而，即， ①设直线的方程为，，，，， 联立，得，，， 且， ∴， 整理得， 韦达公式代入并整理得，得或（直线过B点，舍）， ∴直线方程为，即直线过定点，得证； ②此时，，故． 【变式1-2】已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的动直线交于A，B两点.当时，. (1)求抛物线的方程； (2)证明：无论如何变化，是定值（为坐标原点）； (3)点，直线AM与交于另一点，直线BM与交于另一点，证明：与的面积之比为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）解：根据题意直线的斜率不为0，可设直线，，，代入抛物线方程得：， ，，， ， 当时，，， ，抛物线的方程为. （2）证明：由（1）可知，， 则， . （3）证明：设，， 直线AC的方程：，直线BD的方程：， 由，得， ，同理，， ， 由（2）知，则， . 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【变式1-3】若椭圆：上的两个点满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，点M，N互为共轭点.显然，对于椭圆上任意一点，总有两个共轭点.已知椭圆，点是椭圆上一动点，点的两个共轭点分别记为. (1)当点坐标为时，求； (2)当直线斜率存在时，记其斜率分别为，其中，求的最小值； (3)证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）的共轭点分别记为， ， 直线的方程为， 联立得， ， ； （2）点在椭圆上， ，即， 由（1）知，直线的方程为，即， 当时，直线的方程为，代入， 得，即， ， ， 当时，易知，对应共轭点为， 此时，故也成立， ，当且仅当时等号成立； （3）由（2）知，对任意点，都有， ， 点到直线的距离为， 的面积， 故的面积为定值. 【题型2 向量积定值问题】 【例3】已知椭圆，过点的直线交椭圆于点． (1)当直线与轴垂直时，求； (2)在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求点的坐标及的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【详解】（1）解:联立,得或 所以． （2）假设存在，使为定值． 当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 联立得． 显然，设， 则． 所以 ． 若为常数，只需， 解得，此时． 当直线与轴垂直时，不妨设， 当点坐标为时，． 满足为定值． 综上，存在点，使为定值． 【例4】已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线C上． (1)求双曲线C的方程. (2)设过点的直线l与双曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，，. 【详解】（1）由题意得，因为双曲线渐近线方程为， 所以， 又点在双曲线上，所以将坐标代入双曲线标准方程得：， 联立两式解得，， 所以双曲线的标准方程为：. （2）如图所示， 点,直线l与双曲线交于两点， 由题意得，设直线l的方程为，点坐标为， 联立得，， 设，， 则，， ， ， ，， 所以 ， 所以若要使得上式为常数，则， 即，此时， 所以存在定点，使得为常数. 【点睛】关键点点睛：本题（2）问解题关键首先在用适当的形式设出直线l的方程，当已知直线过x轴上的定点时，可设直线方程为，这样可简化运算，其次在于化简时计算要仔细，最后判断何时为常数时要抓住“消掉m”这个关键，即最后的代数式中没有我们设出的m. 【变式2-1】已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为. （1）求； （2）若为坐标原点，直线与相交于，两点，问：是否为定值？若为定值，求出该定值;若不为定值，试说明理由 【答案】（1）2；（2）的值为定值. 【详解】解：（1）由题得，圆的圆心， 抛物线的焦点为，， 所以与圆上点的距离的最大值为， 解得. （2）设，， 由得， 所以，且，， ，， 所以. 所以的值为定值. 【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； （2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 【变式2-2】已知抛物线的焦点为F，过F作倾斜角为θ的动直线l交E于A，B两点，当时，． (1)求抛物线E的方程； (2)证明：无论θ如何变化，是定值（O为坐标原点）． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）抛物线的焦点， 依题意，直线的斜率不为0，设直线，， 由消去得：， 显然，，， ， 当时，， 于是，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）可知，，则， 因此对任意的实数，为定值， 所以无论θ如何变化，是定值. 【变式2-3】已知椭圆E：（）的焦点为，，且点在E上． （1）求E的方程； （2）已知过定点的动直线l交E于A，B两点，线段的中点为N，若为定值，试求m的值． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）由题意可知，∴，而， ∴，∴椭圆E的方程为． （2）①若直线l的斜率不存在，易得， ②若直线l的斜率存在，设其方程为，，， 则，联立得 ， 且，， 要使上式为常数，必须且只需，即， 此时易知恒成立，且，符合题意． 综上所述，． 【题型3 斜率型定值问题】 【例5】平面内，动点与定点的距离与到定直线：的距离之比为常数. (1)求动点的轨迹方程； (2)过点作不垂直于轴的直线，与动点的轨迹交于两点，点在直线上，记直线的斜率分别为，证明：成等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设动点，由题意可得， 化简整理得：， 所以动点的轨迹方程为； （2）当直线斜率不存在时，的坐标分别为，则， 即，所以成等差数列； 当直线斜率存在时，设直线：，， 联立直线和椭圆方程，化简得， 则， ， ， 即，所以成等差数列； 综上，成等差数列. . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【例6】已知双曲线 的离心率为 ，右焦点到 的一条渐近线的距离为 为 上不同的两点，且线段 的中点为 . (1)求的标准方程； (2)证明:直线 的斜率存在且为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值 2 【详解】（1）由题意得 ，右焦点坐标为(c，0)，双曲 线渐近线方程为 ，故 ，解得 ，又 ， 故 ， 故的标准方程为 . （2）设 ， 则 ，两式相减得 若 或 ， 则的中点在坐标轴上，不满足 ， 故 且 ， 即直线的斜率存在且不为 0 ，此时 ，即 ， 解得 ，故直线的斜率存在且为定值 2.    【变式3-1】已知抛物线经过点中的两个点，为坐标原点，为焦点. (1)求抛物线的方程； (2)过且倾斜角为的直线交于两点，在第一象限，求的值； (3)过点的直线与抛物线交于两点，直线分别交直线于两点，记直线的斜率分别为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)3 (3)证明见解析 【详解】（1）因为抛物线关于轴对称， 所以必过中的两点， 代入可得，解得，所以拋物线的方程为. （2） 如图1，过点作抛物线准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可得，又，解得， 同理，解得，故. （3） 如图2，设直线的方程为， 联立，得，显然，所以， 直线方程为，令，得点的纵坐标，即， 同理可得，故可得. 于是，即是定值. 【点睛】思路点睛：本题主要考查抛物线定义的应用和与之相关的定值问题. 对于与抛物线的焦半径，焦点弦有关的题型，一般考虑运用抛物线定义求解；对于定值问题，一般思路是设直线方程，与抛物线方程联立，得韦达定理，消元代入求解. 【变式3-2】如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)求中点E的轨迹方程； (3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意得，， 又∵，∴， ∴椭圆的方程为. （2）设直线方程为，， 由得，， 由得，， 则， ∴， ∵E为中点，∴，即， 设，则， 由得， 故中点E的轨迹方程为. （3）由直线的斜率存在且异于点得，，故且， ∴ ， ∴为定值. 【变式3-3】已知双曲线的离心率为，，分别为其左、右焦点，为双曲线上任意一点，且的最小值是. (1)求双曲线的方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，直线与的右支交于，两点. （i）求实数的取值范围； （ii）若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）是定值. 【详解】（1）由题意可得：，设，，， ， 所以， 因为在双曲线上，所以， 所以， 所以， 因为，所以当时，的最小值是， 所以，又，又因为， 所以，所以双曲线的方程为：. （2）（i）设，直线， 由，消元得. 则，且， 则，解得：. （ii）,, ， 所以是定值.    【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【题型4 线段定值问题】 【例7】动点G到点的距离比到直线的距离小2. (1)求G的轨迹的方程； (2)设动点G的轨迹为曲线C，过点F作斜率为，的两条直线分别交C于M，N两点和P，Q两点，其中.设线段和的中点分别为A，B，过点F作，垂足为D，试问：是否存在定点T，使得线段的长度为定值.若存在，求出点T的坐标及定值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，，长度恒为2. 【详解】（1）因为动点G到点的距离比到直线的距离小2， 则点G到点的距离和它到直线的距离相等， 因此点G的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 设抛物线方程为（），由，得， 所以G的轨迹的方程为. （2）显然直线的方程为，直线的方程为，其中，且， 由消去y并整理得， 该方程的判别式，设，， 则，， 点，同理，的斜率， 直线的方程为，即，， 所以，因此直线：过定点， 又，则点D在以为直径的圆上， 所以存在定点，使得线段的长度为定值2. 【点睛】思路点睛：经过圆锥曲线上满足某条件的两个动点的直线过定点问题，先求出这两个动点坐标，进而求出直线方程，即可推理计算解决问题. 【例8】双曲线的离心率为，圆与轴正半轴交于点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作圆的切线交双曲线于两点、，试求的长度； (3)设圆上任意一点处的切线交双曲线于两点、，试判断是否为定值?若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)为定值，且 【详解】（1）解：设双曲线的半焦距为，依题意，，即有，则， 因为点在双曲线上，则，可得，则， 因此，双曲线的方程为. （2）解：当切线的斜率不存在时，切线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意， 当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即， 由题意可得，解得，此时，切线方程为， 联立，可得或，即点， 联立，可得或，即点， 因此，. （3）解：当圆在点处切线斜率不存在时，点或，切线方程为或， 由（1）及已知，得，则有， 当圆在点处切线斜率存在时，设切线方程为，设点、， 则有，即， 由消去得：， 显然， 由韦达定理可得，， 而，， 则 ， 因此， 在中，于点，则， 又因为，所以，， 所以，，则， 综上得为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【变式4-1】已知椭圆C：（）的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点． (1)求椭圆C的方程． (2)设A是椭圆C的右顶点，P，Q是椭圆C上不同的两点，直线的斜率分别为，，且．过A作，垂足为B，试问是否存在定点M，使得线段的长度为定值？若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）因为椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，所以， 则椭圆C的方程为． 又椭圆C经过点，所以， 解得，，所以椭圆C的方程为． （2） 设，，若直线斜率为0，不妨设， 此时是方程的两根，所以， 但，不满足题意； 若直线斜率不为0，直线PQ的方程为，且， 联立方程组，消去x得， 由，得， 所以，． 又因为， 所以，整理得， 即， 化简得． 所以， 化简得，解得，即直线PQ恒过点． 因为，所以点B在以线段为直径的圆上，取线段的中点， 则，所以存在定点，使得线段的长度为定值． 【变式4-2】抛物线上的点到C的准线的距离为5． (1)求C的方程； (2)已知直线l与C交于A，B两点，若（O为坐标原点），交AB于点D．点E坐标为，证明的长度为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析；该定值为2； 【详解】（1）根据题意利用抛物线定义可知，解得； 所以抛物线C的方程为； （2）如下图所示： 设直线l的方程为，与抛物线方程联立整理可得， 设，则可得； 由于，所以可得，即， 可得，解得或（舍）； 又，所以可得直线的方程为， 联立，可得点D的坐标为； 又，所以可得 ； 即的长度为定值2. 【变式4-3】已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过定点的动直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，与其两条渐近线分别交于（点在点的左边）两点，证明：线段与线段的长度始终相等. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由双曲线可得渐近线方程为， 由渐近线方程的斜率为，有，可得. 将点代入双曲线的方程，有. 联立方程，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）设点的坐标分别为， 线段的中点的坐标为，线段的中点的坐标为. 依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，， 联立方程，得；联立方程，得. 所以可得. 联立方程，消去后整理得， 由解得，且， 由于直线与双曲线左右两支分别相交，所以. 所以，可得，所以， 所以线段和共中点，故有. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【题型5 角度定值问题】 【例9】已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点，设，，的面积为S，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【答案】C 【详解】由于双曲线的对称性，可设, 由双曲线可得， 则 , 因此,其中， 对于不是定值，故不正确； 对于,由于,即， 若为定值,则为定值,从而和是确定的值, 于是均为定值,这是不可能的,故B错误. 对于选项, 因此是定值,不是定值， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：这道题关键的地方是利用三角换元法假设出，然后利用直线的斜率公式和正切的二倍角公式进行化简，即可判断每个选项 【例10】三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的.下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方. (1)求双曲线的方程； (2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为. 证明：①为定值； ②. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【详解】（1）设双曲线的方程为， 由及，可得，所以， 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， 所以双曲线的方程为. （2）①由题可得， 因为，所以直线的方程为， 设，则， 所以， ，所以，为定值. ②因为，由①得， 因为，所以， 又都是锐角，所以， 所以，所以. 【点睛】关键点晴：本题的关键在于第（2）问中的②问，利用①中结果得到，从而得到，再利用条件，即可求解. 【变式5-1】已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点 (1)用p表示A，B之间的距离； (2)证明：的大小是与p无关的定值，并求出这个值. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【详解】（1）过焦点，且倾斜角为的直线方程是. 由，得. 设，， 则，， 故. （2）由（1）知：，，，，，， 所以， 在中，由余弦定理可知， . 即的大小是与p无关的定值， 且. 【变式5-2】已知椭圆的焦距为，为坐标原点，椭圆的上下顶点分别为，左右顶点分别为，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为． (1)求的方程； (2)过点的直线与椭圆交于（不同于）两点，问：是否存在实数使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，使得. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知， 显然直线不垂直于y轴，设其方程为，， 由消去x并整理得，则，， 因为直线的斜率，直线的斜率，而， 因此， 即直线和的斜率之比为定值，于是，， 所以存在，使得.    【变式5-3】记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C的取值范围； (2)若为锐角三角形，设，探究是否存在，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)定值为 【详解】（1）根据余弦定理，， 根据基本不等式，，解得，当取等号， 此时， 结合，可得 （2）以为轴，中点为原点，建立如图所示的直角坐标系， 由题意定值，且， 根据椭圆的定义可知，的轨迹是以为焦点的椭圆（不共线）， 则椭圆的，方程为， 设，根据，则， 则，故； 设，根据，则， 则，故， 于是， 结合在椭圆上，， 可得， 要想乘积为定值，则，结合，解得， 此时    【点睛】关键点睛：根据三角形的三边关系，抓住两边之和是“定值”这一特点，可联系到椭圆的知识点，在第二问建立坐标系以方便利用椭圆的工具简化计算. 【题型6 直线过定点问题】 【例11】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点作x轴的垂线与椭圆交于M，N两点，，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若椭圆C的上顶点为P，直线l与该椭圆交于A，B两点（异于上、下顶点），记直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，且，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，直线过定点 【详解】（1）根据题意将代入，得，则， 所以，解得或（舍）． 由，得， 所以椭圆的标准方程为： （2）如图： ①当直线斜率不存在时，设直线：，，. 则，，此时直线为； ②当直线斜率存在时，设直线：，，. 则直线与椭圆联立， ， ，， ， 所以，结合可知， 即应满足或， 所以直线，此直线过定点， 综上所述，直线过定点． 【例12】已知双曲线C：的离心率为，且过点 (1)求双曲线C的方程； (2)过左焦点F且倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求线段长； (3)若P，Q是双曲线C上的两点，M是C的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)16 (3)证明见解析； 【详解】（1）由题意可得， 解得， 所以双曲线C的方程为. （2） 由（1）可得，，所以直线方程为， 设， 联立，消去并整理可得， ， ， 所以. （3） 当直线的斜率存在时，设其方程为，且设， 联立可得，消去并整理可得， ， ， 又，所以， 所以，整理可得， 又代入到上式可得， 整理可得， 代入韦达定理可得， 化简并整理可得，即， 解得或， 当时，直线的方程为，此时过点，不符合题意舍去； 当时，直线的方程为，此时过定点； 当直线的斜率不存在时，设直线方程为， 由解得， 所以， ，解得， 此时定点在直线上， 综上，直线恒过定点. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于分斜率存在与否讨论，存在时设出直线方程，结合韦达定理化简得到的关系，确定直线的定点. 【变式6-1】已知双曲线的离心率为2，左､右焦点分别是是的右支上一点，的中点为，且（为坐标原点），是的右顶点，是上两点（均与点不重合）. (1)求的方程； (2)若不关于坐标轴和原点对称，且的中点为，证明：直线与直线的斜率之积为定值； (3)若不关于轴对称，且，证明：直线过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）设，连接. 是的中点，是的中点， ， ，则. 又. ， 的方程为. （2）设且. 的中点为，则， 是上的两点，①，②， ①②，得，即， 即，可得， ，直线与直线的斜率之积为定值3. （3）易知，且不关于轴对称， 直线的斜率不为0，设直线的方程为， 代入，整理得， ， ， ，解得或（舍去）， 直线过定点. 【点睛】关键点点睛：第二问，应用点差法找到之间坐标关系，第三问，设直线并联立双曲线，应用韦达定理和向量垂直坐标表示求参数. 【变式6-2】已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程. (2)已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，，是的中点， ，，又， 代入得．故点的轨迹方程是． （2）由题意点坐标适合，即点A在C上， 由题意可知BD斜率不会为0，设直线：， 联立，消去并整理得， 需满足，即， 设，，则，， 因为，， 所以， 所以，将，代入得， 即， 所以直线：，即， 所以直线BD经过定点. 【变式6-3】阅读材料：“到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题.其内容为：若将直线绕与的交点逆时针方向旋转到与直线第一次重合时所转的角为，则称为到的角，当直线与不垂直且斜率都存在时，（其中分别为直线和的斜率）.结合阅读材料，回答下述问题： 已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，，四边形的面积为为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)求的角平分线所在的直线的方程； (3)过点的且斜率存在的直线分别与椭圆交于点（均异于点），若点到直线的距离相等，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)直线过定点，证明见解析 【详解】（1）因为四边形的面积为，解得， 可得，即，又为椭圆上一点， 所以，得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）， ， 设的角平分线所在的直线的斜率为，则， 根据到角公式可得，化简得，所以(正值舍去)， 此时直线的方程为，即； （3）设直线的斜率分别为，可得 直线， 若点到直线的距离相等，则， 化简得， 由椭圆方程与方程联立可得 ， 所以，可得， 所以， 所以， 同理可得，因为， 所以， 所以 ， 可得直线的方程为， 化简得， 所以， 由，解得， 可得直线过定点. 【点睛】思路点睛：第（3）问解题的思路是由椭圆方程与直线联立求出的坐标，利用点斜式求出的方程，根据方程特点求定点. 【题型7 动点在定直线问题】 【例13】动点与定点的距离和到定直线的距离的比为.记点的轨迹为. (1)求的方程. (2)已知直线. ①若直线与相交.求的取值范围； ②当直线与相交时，证明：直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【详解】（1）根据题意可得， 化简得， 即的方程为. （2）①解：由，得. 由， 解得，所以的取值范围为. ②证明：（方法一）由①中，得. 设直线被截得的线段的中点坐标为， 则，. 由，消去可得， 所以直线被截得的线段的中点在直线上. （方法二）设直线与交于，两点. 设，，线段的中点坐标为， 则直线的斜率为，，. 因为点，在上，所以， 两式相减得， 化简得， 即， 所以直线被截得的线段的中点在直线上. 【例14】已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且当为的中点时，. (1)求抛物线的方程. (2)记抛物线在两点处的切线的交点为，是否存在直线使与的面积相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）由题意知，当为的中点时，设，则，则，所以， 所以，解得，所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，设直线， 将直线与抛物线的方程联立消得， 则. 设抛物线在点处的切线方程为， 与抛物线的方程联立消得，则，得. 设抛物线在点处的切线方程为，同理可得. 联立，消得，所以轴. 故，，假设存在直线使与的面积相等，则，得. 又，解得或，此时重合，与题意矛盾， 故不存在直线使与的面积相等. 【变式7-1】已知点，圆，点是圆上的任意一点.动圆过点，且与相切，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若与轴不垂直的直线与曲线交于、两点，点为与轴的交点，且，若在轴上存在异于点的一点，使得为定值，求点的坐标； (3)过点的直线与曲线交于、两点，且曲线在、两点处的切线交于点，证明：在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）解：由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等， 所以，点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为， （2）解：设、，设直线的方程为， 联立方程组，得，，可得，    所以①，② ， 即， 将①②代入得，因为，所以，所以点的坐标为， 设、，则， 使为定值，需满足，即， 因为，所以，则，所以点坐标为. （3）解：设直线的方程为，设、， 联立方程组得，则，可得， 则③，④， 接下来证明出抛物线在点处的切线方程为，    联立，可得，即， ， 又因为，即点在直线上， 所以，曲线在点处的切线方程为， 同理可得曲线在点处的切线方程为， 联立，解得， 则，所以点的坐标为， 所以点在定直线上. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【变式7-2】如图，正六边形ABCDEF的边长为4．已知双曲线的焦点分别为A，D，两条渐近线分别为直线BE，CF．    (1)建立适当的平面直角坐标系，求的方程； (2)过点A的直线l与交于P，Q两点，，若点M满足，证明：点M在一条定直线上． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）如图，连接交于点，以点为坐标原点，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，    则，，即，， ，，直线方程：， ，则，，则，解得，， 双曲线. （2）由题意，直线的斜率存在，则其方程可设为， 联立可得，消去可得：， ，，化简得， 设，则，， ，，，，， 设，，， ，，则，， ，， ，， ，解得， 由，，则在同一直线上，即， 故在直线上. 【点睛】圆锥曲线与直线问题解题关键思想为：设而不求，联立直线方程与圆锥曲线方程并化简整理一元二次方程，写出韦达定理，结合题目中的其他等量关系，联立方程即可. 【变式7-3】已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii）证明见解析 【详解】（1）由题意可知，，因为，所以. 因为，，得， 又因为在双曲线上，则， 所以. 所以双曲线C的方程为. （2）（i）由题意知直线l的方程为，，. 联立， 化简得， 因为直线l与双曲线左右两支相交，所以， 即满足：， 所以或. （ii），，则， 直线的方程为，直线的方程为. 联立直线与的方程，得， 所以， 所以， 所以， 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上 【点睛】圆锥曲线中，针对非对称韦达，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，并两者相除，得到两者的关系，再代入后续的计算中，达到化简的目的. 【题型8 圆过定点问题】 【例15】如图，点为抛物线上位于第一象限的一点，F为抛物线焦点，满足．    (1)求抛物线C的方程； (2)点M为直线上的动点，H为点E关于x轴的对称点，连接、分别交C于点A、B，连接交直线l于点N． ①求证：直线过定点； ②求证：以为直径的圆过定点． 【答案】(1) (2)①证明见详解；②证明见详解. 【详解】（1）因为，为焦点， 所以，所以， 所以抛物线C的方程为； （2）①：设， 因为且在第一象限，所以，所以， 因为共线，所以， 所以，所以， 因为共线，所以， 所以，所以， 所以，化简可得， 当时， 因为，即为，即， 所以，所以，所以直线过定点； 当时， 此时关于轴对称，且也关于轴对称， 由对称性可知为与轴交点，所以， 此时，即为， 联立，解得，即与重合，显然不符合题意； 综上可知，直线过定点. ②：设以为直径的圆经过定点，由①可知即， 又因为，令，得，所以， 所以，， 所以， 化简可得：， 因为不为定值，所以，故解得或， 综上可知，以为直径的圆经过定点. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点问题的策略： （1）参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到与过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； （2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 【例16】已知抛物线 的准线经过点 ． (1)求抛物线C的方程． (2)设O是原点，直线l恒过定点（1，0），且与抛物线C交于A，B两点，直线与直线，分别交于点M，N，请问：是否存在以 为直径的圆经过x轴上的两个定点？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，两个定点的坐标分别为和. 【详解】（1）依题意知, , 解得 , 所以抛物线 的方程为 . （2）存在, 理由如下. 设直线的方程为 . 联立直线与抛物线 的方程得 消去 并整理, 得 . 易知 , 则 由直线的方程 , 可得 , 由直线的方程 , 可得 . 设以为直径的圆上任一点 , 则 , 所以以为直径的圆的方程为 . 令 , 得 . 将 代入上式，得 , 解得 . 故存在以为直径的圆经过轴上的两个定点, 两个定点的坐标分别为和. 【变式8-1】已知双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，过双曲线的右焦点的直线交双曲线于.以为直径的圆是否恒过点，请说明理由. 【答案】(1) (2)恒过点，理由见解析 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线倾斜角为，所以， 故，故， 所以双曲线； （2）双曲线的右焦点为，当直线斜率不为零时，设直线的方程为：， 设,， 由，得 恒成立，， ， 即以直径的圆恒过点. 当直线斜率为零时，此时以为直径的圆为过点， 综上，以直径的圆恒过点. 【变式8-2】已知椭圆：的离心率为，点在上，直线与交于不同于A的两点，． (1)求的方程； (2)若，求面积的最大值； (3)记直线，的斜率分别为，，若，证明：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2) (3)证明见详解，定点 【详解】（1）由题意可知：，解得， 所以椭圆的方程为. （2）若，可知直线的斜率存在，    设直线：，， 联立方程，消去y可得， 则，整理可得， 可得， 因为，则， 由，可得， 则， 整理可得， 则， 且，则，可得， 解得，且满足， 可知直线：过定点， 则面积， 令，则，可得， 因为在内单调递增，则， 所以当时，面积取到最大值. （3）若直线的斜率不存在，设， 可得，可得， 这与相矛盾，不合题意； 可知直线的斜率存在，设直线：，，      可得， 整理可得， 则， 且，则，可得，解得， 设以为直径的圆过定点， 则， 可得， 则， 整理可得， 则， 可得， 注意到上式对任意的均成立，则，解得， 所以以为直径的圆过定点. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式8-3】设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，下中为原点，为椭圆的离心率． (1)求的方程； (2)设点为上一动点，过作不与坐标轴垂直的直线． ①若与交于另一点，为中点，记斜率为，斜率为，证明：为定值； ②若与相切，且与直线相交于点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若否，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②是，且定点坐标为 【详解】（1）解：因为椭圆的右焦点为，右顶点为， 则，，， 因为，即，即， 整理可得，可得，即，解得， 所以，椭圆的方程为. （2）解：①设点、，则点， 因为直线不与坐标轴垂直，则，， 所以，，， 因为，这两个等式作差可得， 所以，； ②设，先证明出椭圆在点处的切线方程为， 联立可得，整理可得， 即，即，解得， 所以，椭圆在点处的切线方程为， 因为直线与直线交于点，则， 联立，可得，即点， 由对称性可知，以为直径的圆过轴上的定点，则， 且，， 则， 所以，，解得， 因此，以为直径的圆过定点. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 过关检测 1．已知椭圆的离心率为，右顶点为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线（不与轴重合）与椭圆交于两点，且点在以为直径的圆上．证明：直线过定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，直线过定点或 【详解】（1）由题意得，得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）由题意设直线为，设， 由，得， 由，得， ， 因为点在以为直径的圆上， 所以， 因为， 所以， 所以 ， 所以， 所以， 所以， 化简整理得，解得或， 所以直线为，或， 所以直线过定点或. 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出直线方程代入椭圆方程化简，结合根与系数的关系与化简，考查数形结合思想和计算能力，属于较难题. 2．已知椭圆的右顶点，下顶点，焦距为. (1)求椭圆C的方程及离心率； (2)设不经过右顶点的直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于，若点为线段的中点，求证：直线经过定点. 【答案】(1)，离心率为 (2)证明见解析 【详解】（1）依题意可得，即，所以， 则椭圆方程为，离心率； （2）由（1）可知， 联立得，且, 设, 则有, 故， 因为，所以直线，则, 因为， 所以直线，所以． 因为点为线段的中点，所以， 所以， ， ， ， ， ， ， 因为，所以， 直线，令，解得， 所以直线恒过定点. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为； （2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为形式； （5）代入韦达定理求解. 3．（辽宁省名校联盟2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题）已知椭圆的长轴长是，为右顶点，，，，是椭圆上异于顶点的任意四个点，当直线经过原点时，直线和的斜率之积为. (1)求椭圆的方程； (2)当直线和的斜率之积为定值时，直线是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)直线过定点 【详解】（1）由已知，即，所依椭圆方程为， 当直线过原点时，设，则，所以， 所以，又， 所以，， 所以，则， 所以椭圆方程为； （2） ①当直线斜率不存在时，设直线方程为，点，（）， 则，，且，即， 所以，解得， 即此时直线方程为； ②当直线斜率存在时，由题可设直线方程为，舍，， 联立直线与椭圆方程得， 则，即， 且，， 又，， 则， 即， 即， 化简可得，解得或， 当时，直线方程为，过点，不成立； 当时，直线方程为，过定点； 综上所述直线恒过定点. 4．已知点为坐标原点，为椭圆上任一点，直线与椭圆相交于两点. (1)求点到点距离的最小值； (2)求面积的最大值； (3)当，直线斜率为1，且点在直线的上方时，的内心是否在定直线上？若是，求出该定直线，不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是， 【详解】（1）依题意可得得， 故 由于，故当时，， 即求点到点距离的最小值为. （2）①当直线垂直于轴时，设直线代入椭圆得， 故面积， 当时，面积最大值为； ②当直线不垂直于轴时，设直线， 由得， 弦长 又直线即，原点到直线的距离， 故面积 （当且仅当取等号） 由①②得面积最大值为. . （3）当，直线斜率时，直线， 由（2）得两根为， 则， 设直线的斜率为，直线的斜率为， 则 ， 即, 故直线为的内角平分线，故的内心在定直线上. 5．已知椭圆C：的左焦点为F，若C的焦距为且经过点，过点F的直线交椭圆于P，Q两点. (1)求椭圆方程； (2)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）由题意，，即，则①； 又点在椭圆C上，故②， 联立①②解方程组得，，， 所以椭圆C的方程为. （2）假设存在点，使得恒成立， 易知点，设点，， 设直线的方程为：， 联立方程组得，， 则由根与系数的关系得，，，（*） 若满足，则，即， 整理得，， 又，，代入上式得，， 整理得，， 将（*）式代入得，， 又，解得， 故存在点使得恒成立. 6．在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是．记点的轨迹是曲线，点是曲线上的一点． (1)求曲线的方程； (2)若，直线l过点与曲线的另一个交点为，求面积的最大值； (3)过点作直线交曲线于，两点，且，证明：为定值． 【答案】(1)（） (2). (3)证明见解析 【详解】（1）设，因为，所以. 整理得：（）. 所以曲线的方程为：（） （2）当时，可得. 当直线斜率不存在时，可得，此时. 当直线斜率存在时，设直线：， 代入椭圆的方程：，得：， 整理得：. 因为时该方程的一个解，所以. 所以，所以. 又点到直线的距离为：. 所以. 设，则（因为时，，此时直线经过点，则共线）. 那么，所以 所以当时，； 当时，（当且仅当即时取“”） 综上可知：面积的最大值为： （3）如图： 因为曲线的方程为：（） 所以过的直线可写为：，代入中， 可得，整理得：. 设，， 则，， 所以. 所以. 此时，直线的方程为：，由且点纵坐标大于0，可得： ，所以 . 所以.为定值. 【点睛】方法点睛：解析几何中，遇到求最值的问题，通常有以下思路： （1）转化成二次函数的值域问题求解. （2）通过换元，可以转化成基本（均值）不等式求最值的问题解决. （3）通过换元，转化成三角函数的值域问题求解. （4）通过分析函数的单调性，求最值. 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，为的右支上一点，且． (1)求的方程； (2)设的左、右顶点分别为，直线与交于两点，与轴交于点，直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1)． (2)证明见解析 【详解】（1）由题知，即， 又为的右支上一点，则， 所以， 故当最小时，最小， 而，故， 即，故，故的方程为． （2）    当直线的斜率为0时，不满足题意； 当直线的斜率不为0时，由过点，可设其方程为， 联立消去得， 设，， 则，，故（）， 由（1）知，， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立消去得， 将，代入上式得， 得，将（）代入化简得 ， 即，所以点在定直线上． 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于利用，将不对称的关系，利用上式消去参数，从而可以化简求值. 8．已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由双曲线：虚轴长为4，得， 双曲线的渐近线方程为，由直线为双曲线C的一条渐近线，得，则， 所以双曲线C的标准方程为. （2）由（1）知，，， 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，设， 由消去得， ，，， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，为定值． 9．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率. (1)求双曲线C的方程； (2)记双曲线C的右顶点为，过点作直线，与C的左支分别交于两点，且，为垂足. （i）证明：直线恒过定点，并求出点坐标； （ii）判断是否存在定点，使得为定值，若存在说明理由并求出点坐标. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，；（ii）存在，，理由见解析 【详解】（1）由题意，双曲线的中心为坐标原点， 左焦点为，离心率为， 可得，解得， 所以双曲线方程. （2）证明：（i）由（1）知，当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组，整理得， ，即， 设，由韦达定理可得. 因为，所以，可得， 即， 即， 整理得， 即， 即， 可得，解得， 将代入直线， 此时直线过定点，不合题意； 将代入直线， 此时直线过定点， 当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为， 因为，所以为等腰直角三角形， 此时点坐标为， 所以（舍）或， 此时过定点， 综上可知，直线恒过定点 （ii）因为，此时存在以为斜边的直角三角形， 所以存在定点为中点满足，此时. 【点睛】关键点点睛：第二小问中通过分析直线与双曲线的交点，求解直线MN的特性及其与双曲线的交点M、N的坐标关系，进而确定直线MN是否通过一个定点P，并探索是否存在一个定点Q，使得从点D到Q的距离为一个固定值。本题主要考查双曲线的性质和直线与双曲线的综合问题，属于较难题. 10．已知双曲线的离心率为，点为上一点． (1)求的标准方程； (2)若直线与相交于，两点，且的垂直平分线过点，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为； （2）设，， 由，得，显然， ∴， 即，且， 则， ∴的中点， 又的中垂线过点，且， ∴，整理得，即为定值. 11．已知曲线的方程为，倾斜角为的直线过点，且与曲线相交于，两点，为坐标原点． (1)时，求的面积； (2)在轴上是否存在定点，使得?如果存在，求出定点；如果不在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，定点. 【详解】（1）由，可知曲线是以，为焦点的双曲线的右支， 过焦点，倾斜角为的直线的方程为， 当时，代入曲线的方程，可得， 所以． （2） 当时，设直线的方程为，，， 联立得， 因为直线与曲线有两个交点， 所以，解得或． 假设在轴上存在定点，则，， 由，得轴平分，所以， 即，所以， 整理得，因为斜率的取值范围为， 所以， 即， 整理得，即，得． 当时，由曲线的对称性可知成立． 所以在轴上存在定点，使得． 12．已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，过焦点F作斜率为k的直线交抛物线C于A，B两点，且. (1)求抛物线C的标准方程； (2)设点，直线AD，BD分别交准线l于点G，H，则在x轴的正半轴上是否存在定点M，使得？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）由题意，知，    设抛物线C的标准方程为， 直线AB的方程为， 联立，消去x，得， ， 设A，B，则， 所以，解得或（舍去）， 所以抛物线C的标准方程为. （2）假设在x轴的正半轴上存在定点，使，    设， 由（1）知， 显然直线AD，BD的斜率存在，将其分别设为， 则，， 则直线AD的方程为， 令，得，同理，得， 故， 由，得，即， 故，解得或（舍去）， 即在x轴的正半轴上存在定点M，使得，且定点M的坐标为. 13．已知抛物线：（）上一点到焦点的距离为2． (1)求． (2)过点的直线与交于，两点． ①若是线段的中点，求； ②点在直线：上且不在直线上，是线段的中点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，证明：． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【详解】（1）设抛物线的焦点为, 根据题意可知,解得. （2）①设直线. 联立得,则，解得或，， ①因为是线段的中点,所以, 与联立可得或 根据对称性,不妨设在第一象限, 则，， . ②设,则.直线, 令,得,则, 直线的斜率, 直线的斜率. , 所以,即. 因为,所以四边形为平行四边形,所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设点法，再计算相关直线斜率，作差再整体代入韦达定理式即可. 14．已知动点到定点的距离比到直线的距离少1， (1)求动点的轨迹的方程； (2)设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【详解】（1）因为动点到定点的距离比到直线的距离少1， 所以动点到定点的距离与到直线的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线， 所以轨迹方程为； （2）如图，设， 由题意得（否则）且，所以直线的斜率存在， 设其方程为，显然， 联立方程组，整理得， 由韦达定理知， 由，可得，可得， 即，整理得， 将①式代入上式，可得， 此时，直线的方程可表示为，即， 所以直线恒过定点. 【点睛】方法知识总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 3、若与面积有关的定值问题，一般用直接法求解，即先利用三角形的面积公式，（如果是其他的凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解），把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习06 圆锥曲线的定点定值问题 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 面积定值问题】 【题型2 向量积定值问题】 【题型3 斜率型定值问题】 【题型4 线段定值问题】 【题型5 角度定值问题】 【题型6 直线过定点问题】 【题型7 动点在定直线问题】 【题型8 圆过定点问题】 知识点 1 ：常见条件转化 1、对边平行：斜率相等，或向量平行； 2、两边垂直：斜率乘积为，或向量数量积为0； 3、两角相等：斜率成相反数或相等或利用角平分线性质； 4、直角三角形中线性质：两点的距离公式 5、点与圆的位置关系： （1）圆外：点到直径端点向量数量积为正数； （2）圆上：点到直径端点向量数量积为零； （3）圆内：点到直径端点向量数量积为负数。 知识点 2 ：弦长公式 若直线的方程设为，，，则 若直线的方程设为，，，则 【注】上式中代表的是将直线方程带入圆锥曲线方程后，化简得出的关于或的一元二次方程的二次项系数。代表的是该一元二次方程的判别式。 难点 1 ：定值问题处理步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。 难点 2 ：定点问题的常用方法技巧 1、参数无关法 把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。 2、特殊到一般法 根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。 3、关系法 对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。 题型归纳 【题型1 面积定值问题】 【例1】已知是双曲线：的左焦点，且的离心率为2，焦距为4.过点分别作斜率存在且互相垂直的直线，.若交于，两点，交于，两点，，分别为与的中点，分别记与的面积为与. (1)求的方程； (2)当斜率为1时，求直线的方程； (3)求证：为定值. 【例2】已知椭圆C：的焦距为2，直线与交于两点,是上异于的一点设直线，的斜率分别为，，满足. (1)求的方程； (2)点在上，满足，直线，相交于点，求证：的面积为定值. 【变式1-1】已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1. (1)求动点的轨迹的方程. (2)过点的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且. ①求证：直线过定点； ②试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【变式1-2】已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的动直线交于A，B两点.当时，. (1)求抛物线的方程； (2)证明：无论如何变化，是定值（为坐标原点）； (3)点，直线AM与交于另一点，直线BM与交于另一点，证明：与的面积之比为定值. 【变式1-3】若椭圆：上的两个点满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，点M，N互为共轭点.显然，对于椭圆上任意一点，总有两个共轭点.已知椭圆，点是椭圆上一动点，点的两个共轭点分别记为. (1)当点坐标为时，求； (2)当直线斜率存在时，记其斜率分别为，其中，求的最小值； (3)证明：的面积为定值. 【题型2 向量积定值问题】 【例3】已知椭圆，过点的直线交椭圆于点． (1)当直线与轴垂直时，求； (2)在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求点的坐标及的值；若不存在，说明理由． 【例4】已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线C上． (1)求双曲线C的方程. (2)设过点的直线l与双曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由． 【变式2-1】已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为. （1）求； （2）若为坐标原点，直线与相交于，两点，问：是否为定值？若为定值，求出该定值;若不为定值，试说明理由 【变式2-2】已知抛物线的焦点为F，过F作倾斜角为θ的动直线l交E于A，B两点，当时，． (1)求抛物线E的方程； (2)证明：无论θ如何变化，是定值（O为坐标原点）． 【变式2-3】已知椭圆E：（）的焦点为，，且点在E上． （1）求E的方程； （2）已知过定点的动直线l交E于A，B两点，线段的中点为N，若为定值，试求m的值． 【题型3 斜率型定值问题】 【例5】平面内，动点与定点的距离与到定直线：的距离之比为常数. (1)求动点的轨迹方程； (2)过点作不垂直于轴的直线，与动点的轨迹交于两点，点在直线上，记直线的斜率分别为，证明：成等差数列. 【例6】已知双曲线 的离心率为 ，右焦点到 的一条渐近线的距离为 为 上不同的两点，且线段 的中点为 . (1)求的标准方程； (2)证明:直线 的斜率存在且为定值，并求出该定值. 【变式3-1】已知抛物线经过点中的两个点，为坐标原点，为焦点. (1)求抛物线的方程； (2)过且倾斜角为的直线交于两点，在第一象限，求的值； (3)过点的直线与抛物线交于两点，直线分别交直线于两点，记直线的斜率分别为，证明：为定值. 【变式3-2】如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)求中点E的轨迹方程； (3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 【变式3-3】已知双曲线的离心率为，，分别为其左、右焦点，为双曲线上任意一点，且的最小值是. (1)求双曲线的方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，直线与的右支交于，两点. （i）求实数的取值范围； （ii）若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【题型4 线段定值问题】 【例7】动点G到点的距离比到直线的距离小2. (1)求G的轨迹的方程； (2)设动点G的轨迹为曲线C，过点F作斜率为，的两条直线分别交C于M，N两点和P，Q两点，其中.设线段和的中点分别为A，B，过点F作，垂足为D，试问：是否存在定点T，使得线段的长度为定值.若存在，求出点T的坐标及定值；若不存在，说明理由. 【例8】双曲线的离心率为，圆与轴正半轴交于点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作圆的切线交双曲线于两点、，试求的长度； (3)设圆上任意一点处的切线交双曲线于两点、，试判断是否为定值?若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 【变式4-1】已知椭圆C：（）的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点． (1)求椭圆C的方程． (2)设A是椭圆C的右顶点，P，Q是椭圆C上不同的两点，直线的斜率分别为，，且．过A作，垂足为B，试问是否存在定点M，使得线段的长度为定值？若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】抛物线上的点到C的准线的距离为5． (1)求C的方程； (2)已知直线l与C交于A，B两点，若（O为坐标原点），交AB于点D．点E坐标为，证明的长度为定值，并求出该定值． 【变式4-3】已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过定点的动直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，与其两条渐近线分别交于（点在点的左边）两点，证明：线段与线段的长度始终相等. 【题型5 角度定值问题】 【例9】已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点，设，，的面积为S，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【例10】三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的.下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方. (1)求双曲线的方程； (2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为. 证明：①为定值； ②. 【变式5-1】已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点 (1)用p表示A，B之间的距离； (2)证明：的大小是与p无关的定值，并求出这个值. 【变式5-2】已知椭圆的焦距为，为坐标原点，椭圆的上下顶点分别为，左右顶点分别为，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为． (1)求的方程； (2)过点的直线与椭圆交于（不同于）两点，问：是否存在实数使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C的取值范围； (2)若为锐角三角形，设，探究是否存在，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由． 【题型6 直线过定点问题】 【例11】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点作x轴的垂线与椭圆交于M，N两点，，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若椭圆C的上顶点为P，直线l与该椭圆交于A，B两点（异于上、下顶点），记直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，且，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 【例12】已知双曲线C：的离心率为，且过点 (1)求双曲线C的方程； (2)过左焦点F且倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求线段长； (3)若P，Q是双曲线C上的两点，M是C的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【变式6-1】已知双曲线的离心率为2，左､右焦点分别是是的右支上一点，的中点为，且（为坐标原点），是的右顶点，是上两点（均与点不重合）. (1)求的方程； (2)若不关于坐标轴和原点对称，且的中点为，证明：直线与直线的斜率之积为定值； (3)若不关于轴对称，且，证明：直线过定点. 【变式6-2】已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程. (2)已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点. 【变式6-3】阅读材料：“到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题.其内容为：若将直线绕与的交点逆时针方向旋转到与直线第一次重合时所转的角为，则称为到的角，当直线与不垂直且斜率都存在时，（其中分别为直线和的斜率）.结合阅读材料，回答下述问题： 已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，，四边形的面积为为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)求的角平分线所在的直线的方程； (3)过点的且斜率存在的直线分别与椭圆交于点（均异于点），若点到直线的距离相等，证明：直线过定点. 【题型7 动点在定直线问题】 【例13】动点与定点的距离和到定直线的距离的比为.记点的轨迹为. (1)求的方程. (2)已知直线. ①若直线与相交.求的取值范围； ②当直线与相交时，证明：直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 【例14】已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且当为的中点时，. (1)求抛物线的方程. (2)记抛物线在两点处的切线的交点为，是否存在直线使与的面积相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【变式7-1】已知点，圆，点是圆上的任意一点.动圆过点，且与相切，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若与轴不垂直的直线与曲线交于、两点，点为与轴的交点，且，若在轴上存在异于点的一点，使得为定值，求点的坐标； (3)过点的直线与曲线交于、两点，且曲线在、两点处的切线交于点，证明：在定直线上. 【变式7-2】如图，正六边形ABCDEF的边长为4．已知双曲线的焦点分别为A，D，两条渐近线分别为直线BE，CF．    (1)建立适当的平面直角坐标系，求的方程； (2)过点A的直线l与交于P，Q两点，，若点M满足，证明：点M在一条定直线上． 【变式7-3】已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【题型8 圆过定点问题】 【例15】如图，点为抛物线上位于第一象限的一点，F为抛物线焦点，满足．    (1)求抛物线C的方程； (2)点M为直线上的动点，H为点E关于x轴的对称点，连接、分别交C于点A、B，连接交直线l于点N． ①求证：直线过定点； ②求证：以为直径的圆过定点． 【例16】已知抛物线 的准线经过点 ． (1)求抛物线C的方程． (2)设O是原点，直线l恒过定点（1，0），且与抛物线C交于A，B两点，直线与直线，分别交于点M，N，请问：是否存在以 为直径的圆经过x轴上的两个定点？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-1】已知双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，过双曲线的右焦点的直线交双曲线于.以为直径的圆是否恒过点，请说明理由. 【变式8-2】已知椭圆：的离心率为，点在上，直线与交于不同于A的两点，． (1)求的方程； (2)若，求面积的最大值； (3)记直线，的斜率分别为，，若，证明：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标． 【变式8-3】设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，下中为原点，为椭圆的离心率． (1)求的方程； (2)设点为上一动点，过作不与坐标轴垂直的直线． ①若与交于另一点，为中点，记斜率为，斜率为，证明：为定值； ②若与相切，且与直线相交于点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若否，请说明理由． 过关检测 1．已知椭圆的离心率为，右顶点为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线（不与轴重合）与椭圆交于两点，且点在以为直径的圆上．证明：直线过定点，并求出该定点坐标． 2．已知椭圆的右顶点，下顶点，焦距为. (1)求椭圆C的方程及离心率； (2)设不经过右顶点的直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于，若点为线段的中点，求证：直线经过定点. 4．已知点为坐标原点，为椭圆上任一点，直线与椭圆相交于两点. (1)求点到点距离的最小值； (2)求面积的最大值； (3)当，直线斜率为1，且点在直线的上方时，的内心是否在定直线上？若是，求出该定直线，不是，请说明理由. 5．已知椭圆C：的左焦点为F，若C的焦距为且经过点，过点F的直线交椭圆于P，Q两点. (1)求椭圆方程； (2)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 6．在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是．记点的轨迹是曲线，点是曲线上的一点． (1)求曲线的方程； (2)若，直线l过点与曲线的另一个交点为，求面积的最大值； (3)过点作直线交曲线于，两点，且，证明：为定值． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，为的右支上一点，且． (1)求的方程； (2)设的左、右顶点分别为，直线与交于两点，与轴交于点，直线与交于点，证明：点在定直线上． 8．已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 9．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率. (1)求双曲线C的方程； (2)记双曲线C的右顶点为，过点作直线，与C的左支分别交于两点，且，为垂足. （i）证明：直线恒过定点，并求出点坐标； （ii）判断是否存在定点，使得为定值，若存在说明理由并求出点坐标. 10．已知双曲线的离心率为，点为上一点． (1)求的标准方程； (2)若直线与相交于，两点，且的垂直平分线过点，求证：为定值． 11．已知曲线的方程为，倾斜角为的直线过点，且与曲线相交于，两点，为坐标原点． (1)时，求的面积； (2)在轴上是否存在定点，使得?如果存在，求出定点；如果不在，请说明理由． 12．已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，过焦点F作斜率为k的直线交抛物线C于A，B两点，且. (1)求抛物线C的标准方程； (2)设点，直线AD，BD分别交准线l于点G，H，则在x轴的正半轴上是否存在定点M，使得？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由. 13．已知抛物线：（）上一点到焦点的距离为2． (1)求． (2)过点的直线与交于，两点． ①若是线段的中点，求； ②点在直线：上且不在直线上，是线段的中点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，证明：． 14．已知动点到定点的距离比到直线的距离少1， (1)求动点的轨迹的方程； (2)设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$