17.4 直角三角形全等的判定（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

17.4 直角三角形全等的判定 数学（冀教版） 八年级 上册 第十七章 特殊三角形 学习目标 情境引入 1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”． 2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等． 　 导入新课 A B C A′ B′ C′ 1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 讲授新课 知识点一 直角三角形全等的判定 问题：如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？ A B C D E F 讲授新课 Ａ Ｃ Ｂ A’ C’ B’ 如图，在△ABC和△A’B’C’中,∠C= ∠C’=Rt∠，AB=A’B’，AC=A’C’. △ABC和△A’B’C’全等吗？请说明理由. ∴ BC2=AB2 - AC2 B´C´2=A´B´2 - A´C´2 又∵AC=A´C´, AB=A´B´. ∴BC=B´C´ 在△ABC和△A´B´C´中 A B=A´B´ A C=A´C´ BC= B´C´ ∵∠C= ∠C'=Rt∠ ∴△ABC和△A'B'C'为Rt△ ∴△ABC≌△A´B´C´( SSS ) 解 ：△ABC≌△A´B´C´ 讲授新课 解:延长BC至D,使CD=B’C’，连结AD. ∵ AC=A’C’,∠ACD=Rt∠=∠C’ ∴ ΔADC ≌ ΔA'B'C'(SAS) ∴ AD=A’B’ ∵ AB=A’B’ ∴ AD=AB ∵ AC⊥BD ∴ BC=CD 而AC=AC A B C D A ′ B′ C ′ ∴ΔADC ≌ ΔABC (SSS) ∴ΔABC ≌ΔA'B'C' 讲授新课 “斜边、直角边”判定方法 文字语言： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言： A B C A ′ B′ C ′ 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). “SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. AB=A′B′, BC=B′C′, 讲授新课 在使用“HL”时,同学们应注意什么? “HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法. 注意对应相等. 因为”HL”仅适用直角三角形, 书写格式应为: ∵在Rt△ ABC 与Rt△ DEF中 AB =DE AC=DF ∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL) A B C D E F 讲授新课 判断直角三角形全等条件 三边对应相等 SSS 一锐角和它的邻边对应相等 ASA 一锐角和它的对边对应相等 AAS 两直角边对应相等 SAS 斜边和一条直角边对应相等 HL 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特有的判定方法“HL”. 你能够用哪几种方法说明两个直角三角形全等？ 我们应根据具体问题的实际情况选择判断两个直角三角形全等的方法. 讲授新课 典例精析 【例1】 已知：如图，AB=CD，D、B到AC的距离DE=BF.求证：AB//CD． 证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠DEC=∠AFB=90°， ∵在Rt△DEC和Rt△BFA中， DE=BF AB=CD ∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL)， ∴∠DCE=∠BAF， ∴AB//CD． 讲授新课 【例2】 A F C E D B 如图，AB = CD， BF⊥AC，DE⊥AC，AE = CF.求证：BF = DE. 证明：∵ BF⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BFA =∠DEC = 90°. ∵ AE = CF，∴ AE + EF = CF + EF， 即 AF = CE. 在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中， AB = CD， AF = CE， ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE (HL). ∴ BF = DE. 讲授新课 练一练 1、 ∴BF＝DE ∴△GBF≌△GDE (AAS) ∠BFG＝∠DEG ∠BGF＝∠DGE 如图，AB = CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE = CF. 求证：BD 平分 EF. A F C E D B G 在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中， AB = CD， AF = CE， ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE (HL). 在 △GBF 和 Rt△GDE 中， BF＝DE ∴GF=GE，即BD平分EF. 讲授新课 2、 如图，AC=BC，AE=CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=7，BD=2，求DE的长． 解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D， ∴∠AEC=∠D=90°， 在Rt△AEC与Rt△CDB中 AC=BC AE=CD , ∴Rt△AEC≌Rt△CDB(HL)， ∴CE=BD=2，CD=AE=7， ∴DE=CD-CE=7-2=5， 讲授新课 知识点二 角平分线的性质 已知线段a,c(a<c)，作RtΔABC，使∠C=Rt∠,CB=a,AB=c. 步骤： （1）作∠MCN=90°; （2)在射线CM上截取线段CB=a; （3)以B为圆心,c为半径画弧,交射线CN于点A; （4）连接AB. B A △ABC就是所要画的直角三角形. 讲授新课 如图，已知P是∠AOB内部一点，PD⊥OA， PE⊥OB，D，E分别是垂足,且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上.请说明理由. 角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 由此，你能得出什么结论？ 1 2 讲授新课 角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上. ∵ ∴ OP平分∠AOB （或∠1= ∠2） PD⊥OA， PE⊥OB ，PD=PE 1 2 几何语言： 角平分线的性质逆定理 讲授新课 典例精析 【例3】如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD. 证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角. AB=BA, AC=BD . 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD. A B D C 应用“HL”的前提条件是在直角三角形中. 这是应用“HL”判定方法的书写格式. 利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路. 讲授新课 练一练 1、如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE. 证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)． ∴CD＝EF. ∵AD＝AF，AB＝AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)． ∴BD＝BF. ∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE. 讲授新课 2、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？ 解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF, AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°. 当堂检测 1.如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是(　　) A．SSS　 B．ASA C．SSA　 D．HL 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若AC＝6 cm，则AE＋DE等于(　　) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm D C 当堂检测 3.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB. A B C E D 证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC=∠BDC=90 °. 在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中， ∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (H.L.). CE=BD, BC=CB . 当堂检测 4.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD，求证：BC = AD. 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角. AB = BA， AC = BD . 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC = AD. A B D C 当堂检测 证明：∵ AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高， ∴∠D＝∠F＝90°. 在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中， AC＝AE， AD＝AF， ∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL). ∴ CD＝EF. 在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中， 5.如图，已知 AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高，如果 AD＝AF，AC＝AE，求证：BC ＝ BE. AB＝AB， AD＝AF， ∴ Rt△ABD≌Rt△ABF(HL). ∴ BD＝BF. ∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE. 当堂检测 6.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？ 【分析】本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合． 解：(1)当P运动到AP＝BC时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝BC， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， ∴AP＝BC＝5cm； 当堂检测 解：(1)当P运动到AP＝BC时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝BC， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， ∴AP＝BC＝5cm； (2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等． 谢 谢~ $$