抓分练7 勾股定理、直角三角形全等的判定、反证法-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（冀教版 河北专用）

≌△CFE(ASA),∴ AG=EC= 4. 5,∵ BE = 3,∴ BC =BE+EC = 7. 5,∵ △ABF≌△CBF,∴ AB = BC = 7. 5. 基础知识抓分练 6　 特殊三角形 1. C　 2. B 　 【解析】 B. 三个角中最大的内角为 180° × 5 2+4+5 ≈82°≠90°,∴ 不是直角三角形. 故选 B. 3. B　 4. C　 5. B　 6. A 7. 30°　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠ABC = 60°,AB = BC, ∵ BD ⊥ AC, ∴ ∠DBC = ∠DBA = 1 2 ∠ABC= 30°,∵ DB=DE,∴ ∠DBC= ∠E= 30°. 8. (1)30°　 (2) 3　 【解析】 (1)∵ 直线 DE 是边 AB 的垂直平分线,∴ EB = EA,∴ ∠ABE = ∠A = 30°; (2)∵ EB=EA,BE= 2,∴ AE= 2. ∵ ∠ABE = 30°,DE ⊥AB,∴ DE = 1 2 BE = 1,∵ ∠C = 90°,∠A = 30°,∴ ∠ABC= 60°,∵ ∠ABE = 30°,∴ ∠CBE = ∠ABE = 30°. ∵ EC⊥BC,DE⊥AB,∴ CE=DE= 1,∴ AC=AE +CE= 3. 9. 解:(1)如图所示,DE 即为所求; (2)连接 AE,∵ AB=AC,∠BAC= 120°,∴ ∠B= ∠C = 30°,∵ DE 垂直平分 AB,∴ BE = AE,DE⊥AB,∴ BE=AE= 2DE= 6,∴ ∠BAE = ∠B = 30°,∴ ∠AEC = ∠B+ ∠BAE = 60°, ∴ ∠EAC = 90°, ∴ CE = 2AE = 12,∴ BC=BE+CE= 6+12 = 18. 10. (1)证明:连接 EF. ∵ CF⊥AB,BE⊥AC,∴ △BFC 与△BEC 都为直角三角形,∵ M 为 BC 的中点,∴ EM= 1 2 BC,FM = 1 2 BC,∴ EM = FM,∴ △MEF 是 等腰三角形; (2)在 Rt△EBC 中,∵ ∠EBC = 30°,∴ CE = 1 2 BC = 1 2 ×10 = 5(cm). 11. (1)证明:∵ P 是 AB 的中点,∴ PA =PB,在△APM 和△BPN 中, ∠A=∠B PA=PB ∠APM=∠BPN { ,∴ △APM≌△BPN (ASA),∴ PM=PN; (2)解:∵ ∠A = 50°,∴ 当△APM 为直角三角形 时,∠APM = 90°或∠AMP = 90° . 当∠APM = 90° 时,α = ∠APM = 90°. 当∠AMP = 90°时,∠APM = 180° - ∠AMP - ∠A = 40°, ∴ α = 40°, 综上, 当 △APM 为直角三角形时,α 的度数为 90°或 40°. 12. 解:(1)根据题意得:AP = tcm,BQ = 2tcm,当 t = 2 时,AP= 2cm,BQ = 4cm,∵ △ABC 是边长为 6cm 的等边三角形,∴ AB = 6cm,∠B = 60°,∴ BP = AB -AP= 4cm,∴ BP = BQ,∴ △BPQ 是等腰三角形, ∵ ∠B= 60°,∴ △BPQ 是等边三角形; (2)△PBQ 中,BP = 6-t,BQ = t,若△PBQ 是直角 三角形, 则 ∠BQP = 90° 或 ∠BPQ = 90°, ① 当 ∠BQP= 90°时,∠B= 60°,∴ ∠BPQ= 30°,∴ BQ= 1 2 BP,即 t = 1 2 (6 - t),解得: t = 2;②当∠BPQ = 90°时,同理得:BP= 1 2 BQ,即 6-t= 1 2 t,解得 t= 4. 综上所述,当 t = 2s 或 t = 4s 时,△PBQ 是直角三 角形. 基础知识抓分练 7 勾股定理、直角三角形全等的判定、反证法 1. B　 【解析】A. 102 +162≠252,∴ 不能组成直角三角 形;B. 12 +12 =( 2 ) 2,能组成直角三角形;C. 62 +82 ≠112,不能组成直角三角形;D. 52 +122≠232,不能 组成直角三角形. 故选 B. 2. B　 3. A　 4. A 5. D　 【解析】作 CD⊥AB 于点 D,∵ ∠C = 90°,AC = 3,BC= 4,∴ AB = AC2 +BC2 = 5,∵ S△ABC = AC·BC 2 =AB·CD 2 ,∴ 3 ×4 2 = 5CD 2 ,解得 CD= 2. 4. 故选 D. 6. A 7. 45°　 【解析】连接 AC,由勾股定理得:AC2 = 22 +12 = 5,BC2 = 22 +12 = 5,AB2 = 12 +32 = 10,∴ AC2 +BC2 = 5+5 = 10 = BA2,∴ △ABC 是直角三角形,∠ACB = 90°,∵ AC=BC,∴ ∠ABC= 45°. 8. 10km 9. (1) 17 　 (2)12 17 17 10. 解:(1)在 Rt△ACD 中,∠D = 90°,AD = 7m,DC = 24m,则由勾股定理可得 AC = AD2 +DC2 = 25m, 在 Rt△ACO 中,∠O= 90°,AC= 25m,CO= 15m,则 由勾股定理可得 AO = AC2 -OC2 = 20m,∴ 小路 AO 的长度为 20m; (2)过 O 作 OB⊥AC 于点 B,∴ 在 Rt△ACO 中, S△AOC = 1 2 AO·OC= 1 2 AC·OB,则 20×15 = 25OB, 解得 OB = 12m,在 Rt△BOC 中,∠OBC = 90°,OC = 15m, OB = 12m, 则由勾股定理 可 得 BC = OC2 -OB2 = 9m,∴ 小狗跑的路程为 OC +CB = 24m,∵ 小狗以 2m / s 的速度奔跑,∴ 小狗奔跑的 时间为 t= 24÷2 = 12( s). ∴ 淇淇与小狗的最近距 离是 12m,此时 t 的值为 12. 11. 解:(1)AB+0. 2 =AD (2)设 AB= x 米,过点 D 作 DF⊥AB 于点 F,则 BF =DE= 1. 8 米,DF = BE = 8 米,AF = AB-BF = ( x- 1. 8)米,AD= (x+0. 2)米,在 Rt△ADF 中,由勾股 定理得:(x-1. 8) 2 +82 = (x+0. 2) 2,解得 x = 16. 8. 答:学校旗杆的高为 16. 8 米. 追梦之旅·初中期末真题篇·河北专版 ZBJ·八年级数学　 第 5 页 追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 7　 勾股定理、直角三角形全等的判定、反证法 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 下列长度的三条线段首尾相连,能组成直 角三角形的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 10,16,25 B. 1,1, 2 C. 6,8,11 D. 5,12,23 2. 用反证法证明“若 ab = 0,则 a,b 中至少有 一个为 0”时,第一步应假设(　 　 ) A. a= 0,b= 0 B. a≠0,b≠0 C. a≠0,b= 0 D. a= 0,b≠0 3. 如图,BE = CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据 “HL”证明 Rt△ABE≌Rt△DCF,则还要添 加一个条件是(　 　 ) A. AB=DC B. ∠A= ∠D C. ∠B= ∠C D. AE=BF 4. 以直角三角形的三边为边作正方形,三个 正方形的面积如图所示,正方形 A 的面积 为(　 　 ) A. 6 B. 36 C. 64 D. 8 5. 在 Rt△ABC 中,若∠C = 90°,AC = 3,BC = 4, 则点 C 到直线 AB 的距离为(　 　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 2. 4 6. 课间休息时,嘉嘉从教室窗户向外看,看到 行人为从 A 处快速到达图书馆 B 处,直接 从长方形草地中穿过. 为保护草地,嘉嘉想 在 A 处立一个标牌: “ 少走■米,踏之何 忍?”如图,若 AB = 17 米,BC = 8 米,则标牌 上“■”处的数字是(　 　 ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 11 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 7. 如图,每个小正方形的边长为 1,则∠ABC 的度数为　 　 　 　 . 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 8. 国庆假期中,小华与同学去玩探宝游戏,按照 探宝图,他们从门口 A 处出发先往东走 8 km, 又往北走 2 km,遇到障碍后又往西走 3 km,再 向北走 6 km 后往东拐,仅走了 1 km,就找到 了宝藏,则门口 A 到藏宝点 B 的直线距离 是　 　 　 　 . 9. 如图,在网格图中,小正方形的边长均为 1, 点 A,B,C 均在小正方形的顶点上. (1)BC 的长为　 　 　 　 ; (2)在△ABC 中,BC 边上的高为　 　 　 　 . 三、解答题(共 18 分) 10. (本小题满分 8 分)如图,解放广场的草坪 上有 AO, OC, CD, DA, AC 五条小路, 且 ∠AOC= ∠ADC= 90°,AD= 7 m,DC= 24 m, CO= 15 m. 31 河北专版·ZBJ·八年级数学上 (1)求小路 AO 的长度; (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍,淇淇站 在点 O 处,小狗从点 O 开始以 2 m / s 的速 度在小路上沿 O→C→A 的方向奔跑,跑到 点 A 时停止奔跑,设奔跑中小狗的位置为 点 Q,小狗奔跑的时间为 t s,当小狗在小 路 CA 上奔跑时,求出淇淇与小狗的最近 距离,并求此时 t 的值. 11. 新趋势·项目式学习 (本小题满分 10 分) 项 目 背 景 测量实物图: 图 1 如图 1,某校八年级 数学“创新”小组自 主开展测量学校旗 杆 高 度 的 项 目 研 究,他们制定了测 量方案,并进行实 地测量. 项 目 方 案 测量示意图: 图 2 图 3 测量过程: 步骤一:如图 2,线 段 AB 表示旗杆高 度,AB 垂直地面于 点 B,将系在旗杆顶 端的绳子垂直到地 面,并多出了一段 BC,用皮尺测出 BC 的长度; 步骤二:如图 3,小 新同学将绳子末端 放在头顶,向正东 方向水平移动,直 到绳子拉直为止, 此时该同学直立于 地面点 E 处,用皮 尺测出 BE 距离. 各 项 数 据 测量项目 数据 绳子 垂 到 地 面多出部分 0. 2 米 小新 直 立 位 置距 旗 杆 底 端的 水 平 距 离 8 米 小新身高 1. 8 米 请根据表格所给信息,完成下列问题: (1)直接写出线段 AB 与 AD 之间的数量关 系　 　 　 　 ; (2)根据“创新”小组的测量方案和数据, 求出学校旗杆的高. 41