精品解析：上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学2024-2025学年高一上学期第二次学情调研（12月）数学试卷

2024学年第一学期第二次学情调研 高一数学试卷 考试时长：120分钟 分值：150分 考生注意： 1．本试卷共4页，共21题． 2．本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用黑色水笔在答题纸正面消楚地填写姓名、准考证号． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分．） 1. 设集合，且，则实数m的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】由得或，求出m，再求出A并结合集合中元素的互异性检验即可得解. 【详解】因为，所以或，解得或或， 当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符； 当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符； 当时，，符合. 所以实数m的值为5. 故答案为：5. 2. 若关于的不等式的解集是，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】由题意可得是方程的两个根，所以，从而可求得结果 【详解】解：因为关于的不等式的解集是， 所以是方程的两个根， 所以由根与系数的关系可得，得， 故答案为：1 3. 若函数是幂函数，则=______． 【答案】2 【解析】 【分析】由幂函数的定义可得，进而求函数值即可. 【详解】由是幂函数，则，， 所以，. 故答案为：2. 4. “”为“”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】由题意得是的真子集，故. 故答案为：. 5. ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根式与指数式的互化和指对数幂的运算法则计算即可. 【详解】由题原式 ， 故答案为：. 6. 已知正实数a，b满足，则的最小值为_____. 【答案】8 【解析】 【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由及，则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为8. 故答案为：8. 7. 函数的单调递减区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数、对数函数性质求复合函数的递减区间即可. 【详解】由，即，则， 所以函数定义域为，又开口向下且对称轴为， 即在上递增，在上递减，而在定义域上递增， 故函数的递减区间为. 故答案为： 8. 函数在上有意义，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由题设得在上恒成立，再由一元二次函数性质列出关于a的不等式组计算即可得解. 【详解】由题意可知在上恒成立， 则， 所以满足题意的实数a的取值范围为. 故答案为：. 9. 已知函数的定义域为，则的定义域为______ 【答案】 【解析】 【分析】由题设结合抽象函数，根式与分式的意义列出关于x的不等式计算即可得解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，所以， 所以函数定义域为. 故答案为：. 10. 设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出与的取值范围，依题意可得的值域为函数的值域的子集，即，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】函数，，则， 函数，，则， 因为对任意的，存在，使得， 所以的值域为函数的值域的子集，即， 所以，解得， 即实数m的取值范围是. 故答案为： 11. 已知，若，对均有成立，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，由题设得，先由一元二次函数性质直接求出，接着分、和三种情况求出即可求解. 【详解】令， 因为，对均有成立， 所以， 因为，所以函数在上单调递增， 所以当时，， 当时，在上单调递增，所以， 所以，所以； 当时，在上恒成立，所以， 所以，符合题意； 当时，在上单调递减，所以， 所以，所以. 综上，满足题意的实数m的取值范围为. 故答案为：. 12. 某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（），劳累程度T（），劳动动机b（）相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论： ①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高； ②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高； ③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强； ④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即可. 【详解】设甲与乙的工人工作效率为，工作年限为，劳累程度为，劳动动机为， 对于①，，，，，， ，， 则， ，即甲比乙工作效率高，故①正确； 对于②，，，， ，， 则， ，即甲比乙工作效率高，故②正确； 对于③，，，，， ，， ，所以，即甲比乙劳累程度弱，故③错误； 对于④，，，， ，， ，所以，即甲比乙劳累程度弱，故④正确. 故答案为：①②④. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．每题有且只有一个正确答案，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分．） 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，反之不成立，如：，满足， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 14. 已知函数在R上单调递减，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的单调性，结合二次函数、指对数函数性质列不等式求参数范围. 【详解】由开口向上且对称轴为，结合题意在上单调递减，所以， 因为都在上单调递减， 所以在上单调递减， 又在R上单调递减，则， 综上，a的取值范围是. 故选：D 15. 2023年1月31日，据“合肥发布”公众号报道，我国最新量子计算机“悟空”即将面世，预计到2025年量子计算机可以操控的超导量子比特达到1024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态，2个超导量子比特共有4种叠加态，3个超导量子比特共有8种叠加态，，每增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若，则称为位数，已知1024个超导量子比特的叠加态的种数是一个位的数，则（ ）（参考数据：） A. 308 B. 309 C. 1023 D. 1024 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可推得当有1024个超导量子比特时共有种叠加态.两边同时取以10为底的对数，根据对数的运算性质可得，根据已知数据，即可得出答案. 【详解】根据题意，得个超导量子比特共有种叠加态， 所以当有1024个超导量子比特时共有种叠加态. 两边取以10为底的对数得， 所以. 由于，故是一个309位的数，即. 故选：B. 16. 已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数m的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由函数奇偶性计算求出a，接着代入化简得，令，构造函数，再分和两种情况求出，即可由求解m. 【详解】因为函数定义域为R，且是偶函数， 所以即， 故， 所以，所以， 所以 ， 令，由于，当且仅当即时等号成立， 则，令， 当即时，在上单调递增， 所以，符合题意； 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意； 综上. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是根据偶函数定义和指数对数的运算性质求出a，进而化简函数，关键2是根据函数的结构特征构造二次函数求函数的最值，进而结合题设可计算得解. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分．第17-19题每题14分，第20-21题每题18分） 17. 设集合，集合． （1）若，求和； （2），求实数a的取值范围． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合B，再根据交集和并集的定义计算即可； （2）由题设得，分和两种情况分析计算即可得解. 【小问1详解】 若，则， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，满足，此时； 当时，要使，则. 综上，实数a的取值范围为. 18. 已知指数函数（，且）的图像过点． （1）求函数的解析式； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入可得的解析式； （2）由于在上单调递减，可得，从而解得. 【小问1详解】 由指数函数的图像过点，可得，解得. 所以. 【小问2详解】 由，即， 因为在上单调递减，所以有， 解得. 19. 党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：． （1）设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百万元），写出关于的函数解析式； （2）生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 【答案】（1）， （2）的最大值为145（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60（百万元），340（百万元）． 【解析】 【分析】（1）由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，即可求出，从而求出关于的函数解析式； （2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解. 【小问1详解】 解：由题意可得处理污染项目投放资金为百万元， 则， ，． 【小问2详解】 解：由（1）可得， ， 当且仅当，即时等号成立，此时． 所以的最大值为（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为（百万元），（百万元）． 20. 已知函数，. （1）求函数的定义域和的值域； （2）证明：为偶函数并判断的单调性和奇偶性； （3）求关于x的不等式的解集. 【答案】（1）函数的定义域为；函数的值域为； （2）函数在和上单调递减，是非奇非偶函数， 证明：由（1）知函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以， 所以函数为偶函数. 函数在和上单调递减，且是非奇非偶函数，理由如下： 由题函数定义域为，且， 所以函数是由反比例函数右移2个单位和上移1个单位得到的， 所以函数在和上单调递减； 因为函数定义域不关于原点对称，故函数是非奇非偶函数. （3）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的定义列出不等式组计算即可求解函数的定义域；利用分离常数法即可求解函数的值域； （2）利用奇偶性的判断方法和步骤即可证明为偶函数；借助反比例函数可得函数的单调性，由的定义域即可判断其奇偶性； （3）分和两种情况结合对数函数的定义和单调性列出不等式组并计算求解不等式组即可得解. 【小问1详解】 要使函数有意义， 则，所以函数的定义域为； 因为， 所以函数的值域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 当时，为减函数， 所以不等式解集满足， 所以不等式解集为； 当时，为增函数， 所以不等式解集满足， 所以不等式解集为. 综上，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 21. 已知函数在区间上有定义，实数a、b满足．若在区间上不存在最小值，则称函数在区间上具有性质P． （1）若函数在区间上具有性质P，求实数m的取值范围； （2）已知函数满足，且当时，．试判断函数在区间上是否具有性质P，并说明理由； （3）已知对满足的任意实数a、b，函数在区间上均具有性质P，且对任意正整数n，当时，均有．证明：当时，． 【答案】（1）； （2） 因为时，，当时，． 所以在区间上如果有最小值，则最小值必在区间上取到. 另一方面，由可得，故，在区间上单调递增，不存在最小值， 所以在区间具有性质． （3） 对于任意， 当时， 有, 所以， 若成立，，在区间上有最小值，所以在区间上有最小值，不具有性质，不合题意， 所以，当时，，故在区间上没有最小值，满足题意， 当时，显然成立； 当时，则一定存在，使得时，则，， ，即． 所以综上所述：当时，． 【解析】 【分析】（1）分别讨论与1和2的关系，即可得出是否存在最小值，从而求出的取值范围； （2）由题目条件可得出在区间上如果有最小值，则最小值必在区间上取到，找到函数在区间上单调性，确定最小值是否存在； （3）首先证明对于任意，，当时，，，，再证得结果． 【小问1详解】 ，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，存在最小值； 当时，在区间上单调递减，最小值为； 当时，在区间上单调递增，不存在最小值； 所以实数m的取值范围为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：（1）含有绝对值的函数求最值，首先去掉绝对值，转化为分段函数，由每一段的单调性考查最值情况； （2）具有递推关系的函数，需要根据自变量的取值范围进行推理，用已知段的函数变形表示； （3）绝对值不等式，注意等号成立条件，等号成立条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期第二次学情调研 高一数学试卷 考试时长：120分钟 分值：150分 考生注意： 1．本试卷共4页，共21题． 2．本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用黑色水笔在答题纸正面消楚地填写姓名、准考证号． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分．） 1. 设集合，且，则实数m的值为______． 2. 若关于的不等式的解集是，则______. 3. 若函数是幂函数，则=______． 4. “”为“”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围为______． 5. ______． 6. 已知正实数a，b满足，则的最小值为_____. 7. 函数的单调递减区间是______． 8. 函数在上有意义，则实数a的取值范围为______． 9. 已知函数的定义域为，则的定义域为______ 10. 设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围是__________. 11. 已知，若，对均有成立，则实数m的取值范围为______. 12. 某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（），劳累程度T（），劳动动机b（）相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论： ①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高； ②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高； ③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强； ④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱． 其中所有正确结论的序号是______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．每题有且只有一个正确答案，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分．） 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知函数在R上单调递减，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 2023年1月31日，据“合肥发布”公众号报道，我国最新量子计算机“悟空”即将面世，预计到2025年量子计算机可以操控的超导量子比特达到1024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态，2个超导量子比特共有4种叠加态，3个超导量子比特共有8种叠加态，，每增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若，则称为位数，已知1024个超导量子比特的叠加态的种数是一个位的数，则（ ）（参考数据：） A. 308 B. 309 C. 1023 D. 1024 16. 已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数m的值为（ ） A. 3 B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分．第17-19题每题14分，第20-21题每题18分） 17. 设集合，集合． （1）若，求和； （2），求实数a的取值范围． 18. 已知指数函数（，且）的图像过点． （1）求函数的解析式； （2）若，求实数m的取值范围． 19. 党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：． （1）设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百万元），写出关于的函数解析式； （2）生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 20. 已知函数，. （1）求函数的定义域和的值域； （2）证明：为偶函数并判断的单调性和奇偶性； （3）求关于x的不等式的解集. 21. 已知函数在区间上有定义，实数a、b满足．若在区间上不存在最小值，则称函数在区间上具有性质P． （1）若函数在区间上具有性质P，求实数m的取值范围； （2）已知函数满足，且当时，．试判断函数在区间上是否具有性质P，并说明理由； （3）已知对满足的任意实数a、b，函数在区间上均具有性质P，且对任意正整数n，当时，均有．证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $