广东六校2025届高三上学期十二月联考数学试题

2025届高三·十二月·六校联考 数学科试题 命题人：广州市第二中学 （满分150分.考试时间120分钟.） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则在下列区间中，函数单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 8 6. 将曲线绕坐标原点顺时针旋转θ后第一次与x轴相切，则（ ） A. e B. C. 2e D. 7. 如图，在已知正方体中，是棱上的点，且.平面将此正方体分为两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若有两个零点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在复平面内，复数对应的向量分别为、，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 中最小项为 11. 如图，在直三棱柱 中，，Q是线段的中点，P是线段上的动点 （含端点），则下列命题正确的是 （ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线与所成角的正切值的最小值是 C. 在直三棱柱 内部能够放入一个表面积为的球 D. 的最小值为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若与垂直，则等于___________. 13. 已知数列的前项和为，则数列的前项和__________. 14. 若存在（互不相等），满足，则的取值范围为____________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角对应的三边分别是，且 （1）求角的值; （2）若，求的面积. 16. 已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆交于、两点，且，求面积的取值范围． 17. 如图所示，已知四棱锥中，，. （1）求证: 平面； （2）当四棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值. 18. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）讨论的单调性； （3）若是的两个极值点，证明：. 19. 给定正整数，设数列是的一个排列，对表示以为首项的递增子列的最大长度（数列中项的个数叫做数列的长度），表示以为首项的递减子列的最大长度.我们规定：当后面的项没有比大时，，当后面的项没有比小时，.例如数列：，则.，. （1）若，求和； （2）求证：； （3）求的最值. 2025届高三·十二月·六校联考 数学科试题 命题人：广州市第二中学 （满分150分.考试时间120分钟.） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） 证明：设，连接， 因为， 所以， 所以，，又，， 则，点为的中点， 又，所以， 又，且， 所以， 又，平面，平面， 所以平面； （2） 【18题答案】 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2）当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时， 在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，在区间，上单调递减，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减； （3）证明：由题意可得是方程的两实数根； 因为是的两个极值点，由（2）可得，且， 又， 要证， 只需证明， 即证明， 令，则需证明， 令函数， 则， 所以函数在上的单调递减，可得， 故， 又，可得，故； 所以. 【19题答案】 【答案】（1）， （2）证明如下： 对于，由于数列是的一个排列，故， 若，则每个以为首项的递增子列都可以在前面加一个， 得到一个以为首项的更长的递增子列，所以， 而每个以为首项的递减子列都不包含，且， 故可将替换为，得到一个长度相同的递减子列，所以， 这意味着； 若，同理有，，故， 总之，且和不能同时为零， 故. （3）的最大值为； 当为偶数时，的最小值为； 当为奇数时，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $