天津市新华中学2024-2025学年高三上学期数学练习2

高三级部学科练习 2 数学 学科 第 1 页 共 2 页 2024—2025学年第一学期高三级部学科练习 2 数学 学科 一、单选题 1．设全集    2,9 , { R 1 2}, 2,0,2,5U A x x B= − =  −   = − ，则 ( )U A B =（ ） A．{0, 2} B．{ 2,5}− C．{ 2,2,5}− D．{ 2,0,2}− 2．设 ( )2,2a x= − ， ( )1 ,1b x= + ，则“ / /a b ”是“ 0x = ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数𝑦 = 𝑓(𝑥)的部分图象如图所示，则 ( )f x 的解析式可能为（ ） A． 3cos 2 2x x x −+ B． 1 2 2x x x − + + C． ( ) 32 1 2 1 x x x− + D． 2 cos 2 1 x x x+ − 4．已知空间中三条不同的直线 l ，m，n和两个不同的平面 ， ，下列四个命题中正确的是 （ ） A．若 / / ，m  ，n  ，则 //m n B．若 l ⊥ ， l ⊥ ，则 / /  C．若 ⊥ ， m  = ， l m⊥ ，则 l ⊥ D．若 l m⊥ ，m ⊥ ，则 / /l  5．若 0.5 2 1 , log 0.3, 2 ba b c a   = = =    ，则 , ,a b c的大小关系为（ ） A．b a c  B． c b a  C．c a b  D．a c b  6．函数 ( )y f x= 对任意 xR 都有 ( ) ( )2f x f x+ = − 成立，且函数 ( )1y f x= − 的图象关于点 ( )1,0 对称，则 ( ) ( ) ( )2023 2024 2025f f f+ + =（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知函数 ( ) cos( )f x A x = + π ( 0, 0, ) 2 A     的部分图象如图所示， 关于该函数有下列四个说法错误的是（ ） A． ( )f x 的图象关于点 4π ( ,0) 3 对称 B． ( )f x 的图象关于直线 5π 12 x = − 对称 C． ( )f x 的图象可由 π 2sin(2 ) 6 y x= − 的图象向左平移 π 2 个单位长度得到 D．若方程 ( ) ( )( 0)g x f tx t=  在 5π (0, ) 6 上有且只有两个极值点，则 t的最大值为 13 10 8．如图所示，在三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中，若 E，F分别为 AB，AC的中 点，平面 1 1EB C F 将三棱柱分成体积为 1V ， 2V 的两部分，则 1 2:V V =（ ） A．7 : 5 B．5 : 7 C．3: 2 D．4 : 7 9．设 1F ， 2F 是双曲线C ： ( ) 2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b − =   的左、右焦点，点 ,M N 分别在双曲线C 的左、 右两支上，且满足 2 3 MF N   = ， 2 12NF MF= ，则双曲线C 的离心率为（ ） A．2 B． 7 3 C． 3 D． 5 2 二、填空题 10．已知复数 5i 2 i z = − ，则 z = . 11．在 6 2 2 x x   +    的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 12．抛物线 ( )2 2 0y px p=  的焦点为F ，O为坐标原点，A 为抛物线上一点，且 2AF OF= ， OAF△ 的面积为4 ，则抛物线方程为 13．已知直线 5 0x y+ − = 与圆 2 2 2: 4 2 0C x y x y m+ − + − = 相交于 ,A B两点，且 AB 4= ，则实 数m = 14．已知 OAB△ 中， 0AO AB = ， 2BC CA= ，记 ( ), ROC OA OB   = +  ，则  − = ；若 2OA = ，当 BOC 最大时， AB = . 15．已知函数 ( ) ( ) 2 4 , 1 2 2 , 1 a x x f x x a x  − +  =   −  ，若函数 ( ) 1y f x= − 恰有 3 个不同的零点，则实数 a的取值 范围是 . 高三级部学科练习 2 数学 学科 第 2 页 共 2 页 三、解答题 16．在 ABC 中，内角A ， B ，C 所对的边分别为a，b ， c，若b c ， 2 cos cos cosa A b C c B= + ， ABC 的面积为6 3 ， 7a = ． (1)求 tanA的值； (2)求b 的值； (3)求 ( )cos 2B A+ 的值． 17．如图，在多面体 ABCDEF 中， AD BC∥ ， AF BE∥ ， AB AF⊥ ， AD ⊥平面 ABEF ， 2AD AB= = ， 4 4AF AG= = ， 1BC BE= = . (1)求证：直线BG∥平面DCE ； (2)求平面DBF 与平面DCE 夹角的余弦值； (3)求点E 到平面DBF 的距离. 18．设椭圆 ( ) 2 2 2 2 1 0+ =   x y a b a b 的上顶点为A ，左焦点为F ，已知椭圆的离心率 3 2 ， 2AF = ． (1)求椭圆方程； (2)设过点A 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆交于点 B （ B 异于点A ），与直线 1y = − 交于点M ，点 B 关 于 y 轴的对称点为E ，直线ME 与 y 轴交于点N ，若 AMN 的面积为2 2 ，求直线 l 的方程． 19．设等差数列 na 的前 n项和为 nS ，且 2 8a = ， 4 40S = ，数列 nb 的前 n项和为 nT ，且 2 3 0n nT b− + = （ *nN ）. (1)求数列 na ， nb 的通项公式； (2)设 2 , , ( 1)( 1) n n n n n a n c b n b b +   =   + + 为奇数 为偶数 ，求数列 nc 的前2 1n 项和 2 1nP + . (3)若从数列 na 列中依次取出第 1b 项，第 2b 项，第 3b 项，……，第 nb 项，……并按原来的先后顺 序组成一个新的数列 nd ，求数列 nd 的通项公式与前 n项和 nQ . 20．已知函数 ( ) lnf x x a x= + ， ( ) e ln 2xg x x x−= − − . (1)讨论函数 ( )f x 的单调性； (2)若 ( )0g x =0，求 0 0lnx x+ 的值； (3)证明： 2ln e xx x x x−−  + . 高三级部学科练习 2 数学 学科 第 1 页 共 6 页 2024—2025学年第一学期高三级部学科练习 2 数学 学科 一、单选题 1．设全集    2,9 , { R 1 2}, 2,0,2,5U A x x B= − =  −   = − ，则 ( )U A B =（ ） A．{0, 2} B．{ 2,5}− C．{ 2,2,5}− D．{ 2,0,2}− 【答案】B 2．设 ( )2,2a x= − ， ( )1 ,1b x= + ，则“ / /a b ”是“ 0x = ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】向量 ( )2,2a x= − ， ( )1 ,1b x= + ， / / (2 )(1 ) 2a b x x − + = ，解得 0x = 或 1x = ， 所以“ / /a b ”是“ 0x = ”的必要不充分条件.故选：B 3．已知函数𝑦 = 𝑓(𝑥)的部分图象如图所示，则 ( )f x 的解析式可能为（ ） A． 3cos 2 2x x x −+ B． 1 2 2x x x − + + C． ( ) 32 1 2 1 x x x− + D． 2 cos 2 1 x x x+ − 【答案】A 【详解】 2 cos 2 1 x x x y + = − 有 0x  ，而由函数𝑦 = 𝑓(𝑥)的部分图象得出定义域内有 0，排除 D 选项； 函数𝑦 = 𝑓(𝑥)的部分图象关于 y轴对称是偶函数，而 ( ) ( ) 1 2 2x x x f x f x − − + − =  + ,不合题意排除B选项； 当 0x  时， 03 2 20, 2 1 1 0,2 1 0,x x xx + = −  ， ( ) 32 1 0 2 1 x x x−  + ， 由图可知 0, ( )x f x 有正有负，不合题意 排除 C 选项；故选：A. 4．已知空间中三条不同的直线 l ，m，n和两个不同的平面 ， ，下列四个命题中正确的是（ ） A．若 / / ，m  ，n  ，则 //m n B．若 l ⊥ ， l ⊥ ，则 / /  C．若 ⊥ ， m  = ， l m⊥ ，则 l ⊥ D．若 l m⊥ ，m ⊥ ，则 / /l  【答案】B 【详解】对于 A，若 / / ，m  ，n  ，则m与 n平行或异面，故 A 错误； 对于 B，若 l ⊥ ， l ⊥ ，则 / / ，故 B 正确； 对于 C， ⊥ ， m  = ， l m⊥ ， l  ，故 C 错误； 对于 D， l m⊥ ，m ⊥ ， l  ，故 D 错误. 5．若 0.5 2 1 , log 0.3, 2 ba b c a   = = =    ，则 , ,a b c的大小关系为（ ） A．b a c  B．c b a  C．c a b  D．a c b  【答案】A 【详解】因为 1 2 x y   =     是单调递减函数，所以 0.5 0 1 1 0 1 0 1 2 2 a       =           ， 因为 2logy x= 在 ( )0, + 上单调递增，所以 2 2log lo0 g 1 0 0.3 b=   ， 因为 xy a= 是单调递减函数， 0 11ba a c  = ，综上，b a c  ，故选：A． 6．函数 ( )y f x= 对任意 xR 都有 ( ) ( )2f x f x+ = − 成立，且函数 ( )1y f x= − 的图象关于点 ( )1,0 对 称，则 ( ) ( ) ( )2023 2024 2025f f f+ + =（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为函数 ( )1y f x= − 的图象关于点(1,0)对称， 所以函数𝑦 = 𝑓(𝑥)的图象关于点 ( )0,0 对称，即 ( ) ( )f x f x− = − ， 即函数𝑦 = 𝑓(𝑥)是奇函数，则有 ( )0 0f = ，又因为 ( ) ( )2f x f x+ = − ，所以𝑓(𝑥 + 2) = −𝑓(𝑥)， 即 ( ) ( )4f x f x+ = ，所以函数 ( )f x 的周期为 4T = ， 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2023 2024 2025 1 0 1 1 0 1 0 0 0f f f f f f f f f f+ + = − + + = − + + = + = . 7．已知函数 ( ) cos( )f x A x = + π ( 0, 0, ) 2 A     的部分图象如图所示， 关于该函数有下列四个说法错误的是（ ） A． ( )f x 的图象关于点 4π ( ,0) 3 对称 B． ( )f x 的图象关于直线 5π 12 x = − 对称 C． ( )f x 的图象可由 π 2sin(2 ) 6 y x= − 的图象向左平移 π 2 个单位长度得到 D．若方程 ( ) ( )( 0)g x f tx t=  在 5π (0, ) 6 上有且只有两个极值点，则 t的最大值为 13 10 【答案】C 【详解】依题意可得 2A = ， 1 2π π π 4 3 12  = − ， 2 = ， 再根据五点法作图可得 π 2 0 12  + = ，解得 π 6  = − ， π ( ) 2cos 2 6 f x x   = −    ． 高三级部学科练习 2 数学 学科 第 2 页 共 6 页 因为 4π 4π 5π 2cos 2 2cos 0 3 3 6 π 2 f     =  − = =        ，所以 ( )f x 的图象关于点 4π ,0 3       对称，故 A 正确； 因为 ( ) 2 5π 5π 1 π 2 2 cos 2 2cos π 61 2 f     =  − = − = −        − − ，所以 ( )f x 的图象关于直线 5π 12 x = − 对称，故 B 正确； 将 π 2sin 2 6 y x   = −    的图象向左平移 π 2 个单位长度得到 π π π 2sin 2 π 2s2 in n 6 π 2 62 6 si 2y x xx     = + − + = −       = − −         ，故 C 错误； 因为 ( ) ( ) π 2cos 2 6 g x f tx tx   = = −    ，当 5π 0, 6 x       时且 0t  ， π π 5πt π 2 , 6 6 3 6 tx   −  − −    ， 因为函数 ( )g x 在 5π 0, 6       上有且只有两个极值点， 所以 5πt π π 2π 3 6  −  ，解得 7 13 10 10 t  ，即 t 的最大值为 13 10 ，故 D 正确；故选：C 8．如图所示，在三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中，若 E，F分别为 AB，AC的中点， 平面 1 1EB C F 将三棱柱分成体积为 1V ， 2V 的两部分，则 1 2:V V =（ ） A．7 : 5 B．5 : 7 C．3: 2 D．4 : 7 【答案】A 【详解】如图，延长 1A A到 2A ， 1B B 到 2B ， 1C C 到 2C ，且 1 2A A AA= ， 1 2B B BB= ， 1 2C C CC= ， 连接 2 2A C ， 2 2A B ， 2 2B C ，得到三棱柱 2 2 2A B C ABC− ，则 1 1 1 2 2 2ABC A B C A B C ABCV V− −= ． 延长 1B E ， 1C F ，则 1B E 与 1C F 相交于点 2A ． 因为 2 2 1: 1: 2A A A A = ，所以 2 2 1 1 1 1 8 A AEF A A B CV V− −= ． 又 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 4 4 3 12 A AEF A ABC A B C ABC ABC A B CV V V V− − − −= =  = ， 所以 2 1 1 11 7 7 12 A AEF ABC A B CV V V− −= = ，故 1 2: 7 : 5V V = ． 9．设 1F ， 2F 是双曲线C ： ( ) 2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b − =   的左、右焦点，点 ,M N 分别在双曲线C 的左、 右两支上，且满足 2 3 MF N   = ， 2 12NF MF= ，则双曲线C 的离心率为（ ） A．2 B． 7 3 C． 3 D． 5 2 【答案】B 【分析】设 1NF 与 2MF 的交点为 P ， 1MF x= ，进而根据下向量关系得 2PNF 1F MP∽ ，再结合双 曲线的性质即可得 ( )2 2 2 3 PF a x= + ， ( ) 2 2 2 3 PN a x= + ，进而结合余弦定理求得 10 3 x a= ，最后在 1 2F MF△ 中利用余弦定理求得7 3a c= ，进而可得答案. 【详解】解：如图，设 1NF 与 2MF 的交点为 P ， 1MF x= ， 因为 2 12NF MF= ，所以 2 12 2NF MF x= = ， 所以，由双曲线的定义可知： 2 1 2 2MF MF a a x= + = + ， 1 22 2 2NF a NF x a= + = + ， 因为 2 12NF MF= ，所以 2 1/ /NF MF ，所以 2PNF 1F MP∽ ， 1 2 2 3 F MF MF N   =  = ， 所以 ( )2 2 2 2 2 3 3 PF MF a x= = + ， ( )1 2 2 2 2 3 3 PN NF a x= = + ， 所以，在 2PNF 中， 2 2 3 MPF N F N  = = ， 所以 ，由余弦定理有： 2 2 2 2 2 2 2 2 π 1 cos cos 2 3 2 PF F N PN PF N PF F N + −  = = =  ， 代入 ( )2 2 2 3 PF a x= + ， ( ) 2 2 2 3 PN a x= + ， 2 2NF x= ，得 23 10 0x ax− = ，解得 10 3 x a= ， 0x = （舍）， 所以， 1 10 3 MF x a= = , 2 16 2 3 MF a x a= + = ， 1 2 2F F c= ， 所以，在 1 2F MF△ 中，由余弦定理有： 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 cos 2 2 F M F M F F F MF F M F M + −  = =  ， 代入数据整理得：7 3a c= ，所以，双曲线的离心率为： 7 3 c e a = = .故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用向量的关系得到 2PNF 1F MP∽ ，进而在 2PNF 中 结合余弦定理求得 1 10 3 MF a= . 高三级部学科练习 2 数学 学科 第 3 页 共 6 页 二、填空题 10．已知复数 5i 2 i z = − ，则 z = . 【答案】 5 11．在 6 2 2 x x   +    的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 【答案】60 【详解】由 6 2 2 x x   +    的展开式的通项为 6 6 3 1 6 62 2 C C 2 k k k k k k kT x x x − − +   = =    ，令6 3 0k− = ， 2k = ，则 2 2 0 3 6C 2 60T x= = ，即在 6 2 2 x x   +    的展开式中，常数项为60 ，故答案为：60 . 12．抛物线 ( )2 2 0y px p=  的焦点为F ，O为坐标原点，A 为抛物线上一点，且 2AF OF= ， OAF△ 的面积为 4 ，则抛物线方程为 【答案】 2 8y x= 【详解】根据题意过点A 做 x轴垂线垂足为 B ，做直线 l 垂线垂足为H ， 由抛物线定义可得 2AH AF OF p= = = , 所以可得点A 坐标横坐标为 2 p ，代入抛物线𝑦2 = 2𝑝𝑥(𝑝 > 0)可得点A 纵坐标为 p ， 又因 OAF△ 的面积为 4 ，所以可得 1 1 4 2 2 2 p AB OF p =   = ， 所以可求得 4p = ，则抛物线方程为 2 8y x= .故答案为： 2 8y x= 13．已知直线 5 0x y+ − = 与圆 2 2 2: 4 2 0C x y x y m+ − + − = 相交于 ,A B两点，且 AB 4= ，则实数 m = 【答案】 7 【详解】根据题意，圆 2 2 2: 4 2 0C x y x y m+ − + − = 即 2 2 2( 2) ( 1) 5x y m− + + = + ，其圆心为 (2, 1)− ，半径 25r m= + ， 若 | | 4AB = ，则圆心到直线 l 即 AB 的距离 2 2 25 m 2 AB d r   = − = +    ， 又由圆心到直线 5 0x y+ − = 的距离 2 1 5 2 2 1 1 d − − = = + ， 则有 2 5 12m + = ，解可得： 7m =  . 故答案为： 7 . 14．已知 OAB△ 中， 0AO AB = ， 2BC CA= ，记 ( ), ROC OA OB   = +  ，则 − = ； 若 2OA = ，当 BOC 最大时， AB = . 【答案】 1 3 / 13− 2 3 【分析】用基底OA和OB 表示OC ，即可求得 2 1 , 3 3  = = ；建立平面直角坐标系，用向量方法表 示出cos BOC ，求解cos BOC 最小，即可得到 BOC 最大时 AB . 【详解】因为 2BC CA= ，所以 2 3 BC BA= ， ( ) 2 2 2 1 3 3 3 3 OC OB BC OB BA OB OA OB OA OB OA OB = + = + = + − = + = + ， 所以 2 1 , 3 3  = = ， 1 3  − = ； 因为 0AO AB = ，所以 AO AB⊥ ，以A 为坐标原点建立如图所示直角坐标系，则 ( )0,0A ， ( )0,2O ， 设 CA b= ，则 ( ),0C b ， ( )3 ,0B b ，则 ( ), 2OC b= − ， ( )3 , 2OB b= − ， 2 4 2 4 22 2 3 4 9 24 16 cos 9 40 164 9 4 OC OB b b b BOC b bOC OB b b  + + +  = = = + ++  + 2 4 2 2 2 2 2 16 1 1 1 1 1 9 1 59 40 16 9 1 5 2 16 2 16 2 b b b b b b b = − = −  − + + + +  + 1 3 1 3 5 2 2 2 = − = + ， 当且仅当 2 4 3 b = 时取等号，此时 2 3 3 b = ， 3 2 3AB b= = ，cos BOC 最小， BOC 最大， 所以当 BOC 最大时， 2 3AB = .故答案为： 1 3 ，2 3 . 15．已知函数 ( ) ( ) 2 4 , 1 2 2 , 1 a x x f x x a x  − +  =   −  ，若函数 ( ) 1y f x= − 恰有 3 个不同的零点，则实数 a的取值范 围是 . 高三级部学科练习 2 数学 学科 第 4 页 共 6 页 【答案】 ( )  )2,3 12,+ 【分析】本题首先可根据函数解析式研究函数 ( ) 1y f x= − 在区间 ( ),1− 和 )1,+ 上零点个数，然 后根据在区间 ( ),1− 上有 1 个零点，函数 ( ) 1y f x= − 在区间 )1,+ 上有 2 个零点或根据在区间 ( ),1− 上有 2 个零点，函数 ( ) 1y f x= − 在区间 )1,+ 上有 1 个零点，即可得出结果. 【详解】当 1x  时，令 ( ) 1 0f x − = ，得 4 1 0 2 a x− + − = ，即 4 1 2 a x + = − ，该方程至多两个根； 当 1x  时，令 ( ) 1 0f x − = ，得 ( ) 2 2 1 0x a− − = ，该方程至多两个根， 因为函数 ( ) 1y f x= − 恰有 3 个不同的零点， 以函数 ( ) 1y f x= − 在区间 ( ),1− 和 )1,+ 上均有零点， 若函数 ( ) 1y f x= − 在区间 ( ),1− 上有两个零点， 即直线 1 2 a y = − 与函数 4y x= + 在区间 ( ),1− 上有两个交点，当 < 4x − 时， 4 4 0y x x= + = − −  ； 当 4 <1x− 时， 4 4y x x= + = + ，此时函数的值域为 )0,5 ，则0 1 5 2 a  −  ，解得2 12a  ， 若函数 ( ) 1y f x= − 在区间 ( ),1− 上有 1 个零点，则5 1 2 a  − 或 1 0 2 a − = ，解得 12a  或 2a = ， 若函数 ( ) 1y f x= − 在区间 )1,+ 上也有两个零点， 令 ( ) 2 2 1 0x a− − = ，解得 1 1 2 a x − = ， 2 1 2 a x + = ，则 1 1 2 a −  ，解得 3a  ， 若函数 ( ) 1y f x= − 在区间 )1,+ 上有 1 个零点，则 1 1 2 a −  且 1 1 2 a +  ，解得1 3a  ； 所以当函数 ( ) 1y f x= − 在区间 ( ),1− 上有 1 个零点，在区间 )1,+ 上有两个零点时，需满足 12 2 3 a a a  =   或 ，解得 12a  ， 当函数 ( ) 1y f x= − 在区间 ( ),1− 上有 2 个零点，在区间 )1,+ 上有 1 个零点时,需满足 2 12 1 3 a a      ， 解得2 3a  ， 综上所述，实数a的取值范围是 ( )  )2,3 12,  + .故答案为： ( )  )2,3 12, + . 三、解答题 16．在 ABC 中，内角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，若b c ， 2 cos cos cosa A b C c B= + ， ABC 的面积为6 3 ， 7a = ． (1)求 tanA的值； (2)求b 的值； (3)求 ( )cos 2B A+ 的值． 【答案】(1) tan 3A = (2) 8b = (3) ( ) 23 cos 2 98 B A+ = − ． 【详解】（1）因为2 cos cos cosa A b C c B= + ．由正弦定理有 ( )2sin cos sinA A B C = + ①． 又因为 πA B C+ + = ，所以 ( )sin sinA B C= + ，代入①式有2sin cos sinA A A = ． 又因为三角形内角 0A  ，因此 1 cos 2 A = ，所以 π 3 A = ， tan 3A = ． （2）因为 ABC 的面积为6 3 ，即 1 sin 6 3 2 S bc A= = ，所以 24bc = ②． 又由余弦定理 2 2 2 1 cos 2 2 b c a A bc + − = = ， 7a = ，可得 2 2 73b c+ = ③． 因为b c ．由②③式可知 8b = ， 3c = ． （3）由正弦定理有 sin sin a b A B = ，有 4 3 sin 7 B = ， 2 2 2 1 cos 2 7 a c a B ac + − = = − ， 8 3 sin 2 2sin cos 49 B B B= = − ， 2 2 47cos 2 cos sin 49 B B B= − = − ， ( ) 23 cos 2 cos2 cos sin2 sin 98 B A B A B A+ = − = − ． 17．如图，在多面体 ABCDEF 中，AD BC∥ ，AF BE∥ ，AB AF⊥ ，AD ⊥平面 ABEF ， 2AD AB= = ， 4 4AF AG= = ， 1BC BE= = . (1)求证：直线BG∥平面DCE ； (2)求平面DBF 与平面DCE 夹角的余弦值； (3)求点E 到平面DBF 的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 8 9 (3) 1 3 【详解】（1）因为 AB AF⊥ ，AD ⊥平面 ABEF ， ,AF AB 平面 ABEF ， 所以 AD ⊥ ,AF AD AB⊥ ， 所以 AF ， AB ， AD 两两垂直， 则以A 为坐标原点， AF ， AB ， AD 所在直线分别为 x轴， y 轴， z 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系， 则 (0,2,0)B ， (1,2,0)E ， (0,2,1)C ， (0,0,2)D ， (1,0,0)G ， 所以 (1, 2,0)BG = − ， ( 1,0,1)EC = − ， ( 1, 2,2)ED = − − ， 高三级部学科练习 2 数学 学科 第 5 页 共 6 页 设平面DCE 的法向量 ( , , )n x y z= ，则 0 2 2 0 n EC x z n ED x y z   = − + =   = − − + = ， 令 2x = ，得 (2,1,2)n = ， 所以 1 2 2 1 0 2 0BG n =  −   = + ，则BG n⊥ ， 又因为BG 平面DCE 所以直线BG∥平面DCE . （2）由 (4,0,0)F ，得 (4, 2,0)BF = − ， (0, 2,2)BD = − ， 设平面DBF 的法向量为 0 0 0 0( , , )n x y z= ，则 0 0 0 0 0 0 4 2 0 2 2 0 n BF x y n BD y z   = − =   = − + = ，令 0 1x = 得 0 (1,2,2)n = ， 所以 00 0 1 2 2 1 2 2 8 cos , 3 3 9 n n n n n n   +  +  = = =  则平面DBF 与平面DCE 夹角的余弦值为 8 9 （3）由于 (1,2, 2)DE = − ，平面DBF 的法向量 0 (1,2,2)n = ， 设点E 到平面DBF 的距离为 d ， 则 0 0 1 1 2 2 2 2 1 3 3 n DE d n   +  −  = = = 18．设椭圆 ( ) 2 2 2 2 1 0+ =   x y a b a b 的上顶点为A ，左焦点为F ，已知椭圆的离心率 3 2 ， 2AF = ． (1)求椭圆方程； (2)设过点A 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆交于点 B（ B 异于点A ），与直线 1y = − 交于点M ，点 B 关于 y 轴的对称点为E ，直线ME 与 y 轴交于点 N ，若 AMN 的面积为2 2 ，求直线 l 的方程． 【答案】(1) 2 2 1 4 x y+ = (2) 2 1 4 y x= + 或 2 1 4 y x= − + 【详解】（1）由 ( ) 2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b + =   可得： ( )0,A b ， ( ),0F c− ， 2 2 2AF b c a = + = = ， 又 3 2 c e a = = ， 3c = ， 2 2 2 1b a c= − = ， 椭圆方程为： 2 2 1 4 x y+ = . （2） 由（1）知： ( )0,1A ，设直线 ( ): 1 0l y kx k= +  ， 由 2 2 1 1 4 y kx x y = +   + =  得： ( )2 21 4 8 0k x kx+ + = ，则 ( )2 2 264 4 1 4 0 64 0k k k = − +  =  ， 2 8 0 1 4 B k x k  + = − + ，即 2 8 1 4 B k x k = − + ， 2 2 2 2 8 1 4 1 1 1 4 1 4 B B k k y kx k k − = + = − + = +  + ， 即 2 2 2 8 1 4 , 1 4 1 4 k k B k k  − −  + +  ， 2 2 2 8 1 4 , 1 4 1 4 k k E k k  −    + +  ； 在直线 l 的方程 1y kx= + 中，令 1y = − 可得 2 x k = − ， 2 , 1M k    − −    ， 2 2 2 2 1 4 1 1 4 8 2 8 1 1 4 ME k kkk k k k k − + + = = + + + ，则直线 2 2 : 1 8 1 k ME y x k k   + = +  +   ， 令 0x = 可得： 2 2 2 2 1 8 1 8 1 8 1 N k y k k − = − = + + ， 2 2 2 2 1 8 16 1 8 1 8 1 k k AN k k −  = − = + + ， 2 2 1 1 16 2 2 2 2 2 8 1 M MA N k S AN x k k  =   =   − = + ， 即 2 16 2 2 8 1 k k = + ，整理可得： 4 264 16 1 0k k− + = ，解得： 2 4 k =  ， 直线 2 : 1 4 l y x= + 或 2 1 4 y x= − + ． 19．设等差数列 na 的前 n项和为 nS ，且 2 8a = ， 4 40S = ，数列 nb 的前 n项和为 nT ，且 2 3 0n nT b− + = （ *nN ）. (1)求数列 na ， nb 的通项公式； (2)设 2 , , ( 1)( 1) n n n n n a n c b n b b +   =   + + 为奇数 为偶数 ，求数列 nc 的前2 1n 项和 2 1nP + . (3)若从数列 na 列中依次取出第 1b 项，第 2b 项，第 3b 项，……，第 nb 项，……并按原来的先后顺序 组成一个新的数列 nd ，求数列 nd 的通项公式与前 n项和 nQ . 【答案】(1) 4na n= ； 13 2nnb −=  (2) ( ) 2 2 1 2 1 1 1 1 4 1 3 7 3 2 1 n n P n+ +   = + + −   +  (3) 13 2nnd +=  ； 23 2 12nnQ +=  − 【详解】（1）设等差数列 na 的公差为 d，由题意得： 1 1 8 4 6 40 a d a d + =  + = ，解得 1 4 4 a d =  = ，所以 4na n= （ *nN ）， 对于数列 nb ，由已知，当 1n = 时， 1 1 3 02b b +− = ，得 1 3b = ， 高三级部学科练习 2 数学 学科 第 6 页 共 6 页 当 2n  时， 2 3 0n nT b− + = ， 1 12 3 0n nT b− −− + = ， 两式相减，得 12n nb b −= ， ( )2n  ，所以数列 nb 为等比数列，得 13 2nnb −=  （ *nN ）. （2） ( ) ( )2 1 1 3 2 1 2 4 2n n nP a a a b b b+ += + + + + + + + ( ) 1 3 3 3 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 3 5 2 1 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1n n n − +   = + + + + + + − + − + + −   +  +  +  +  +  +  ( )( ) 2 1 4 1 2 1 1 1 1 1 2 3 7 3 2 1n n n + + + +   = + −   +  ( ) 2 2 1 1 1 1 4 1 3 7 3 2 1n n +   = + + −   +  . （3）由于 13 2nnb −=  ， ( )1 14 3 2 3 2 n n n n bd a − += =  =  （ *nN ）， 所以数列 nd 是一个以12为首项， 2 为公比的等比数列， 可得： ( ) 212 1 2 3 2 12 1 2 n n nQ + − = =  − − （ *nN ）. 20．已知函数 ( ) lnf x x a x= + ， ( ) e ln 2xg x x x−= − − . (1)讨论函数 ( )f x 的单调性； (2)若 ( )0g x =0，求 0 0lnx x+ 的值； (3)证明： 2ln e xx x x x−−  + . 【答案】(1) 0a  ， ( )f x 在 (0, )+ 上单调递增；当 0a  时，函数 ( )f x 在 ( )0, a− 单调递减，在 ( ),a−  单调递增 (2)0 (3)证明见解析 【分析】（2）根据 ( )0 0g x = 可得 0 0 0 0e ln x x x x − − = + ，然后换元 0e xt −= ，可得 0 0ln lnt t x x+ = + ，最 后根据（1）的条件，简单计算可得结果. （3）构造函数 ( ) 2ln e xh x x x x x−= − − − ，然后求导，根据（2）的条件进行判断可知 ( ) ( )0h x h x ， 简单计算即可. 【详解】（1）由 ( ) lnf x x a x= + 得 ( ) 1 a x a f x x x +  = + = 且 (0, )x + ， 若 0a  ，则 ( ) 0f x  恒成立，即 ( )f x 在 (0, )+ 上单调递增； 若 0a  ，令 ( ) 0f x  ，则 x a − ；令 ( ) 0f x  ，则0 x a  − ， 所以函数 ( )f x 在 ( )0, a− 单调递减，在 ( ),a−  单调递增； 综上， 0a  ， ( )f x 在 (0, )+ 上单调递增；当 0a  时，函数 ( )f x 在 ( )0, a− 单调递减，在 ( ),a−  单 调递增. （2）由 ( )0 0g x = ，所以 0 0 0e ln 2 0 x x x − − − = ，即 0 0 0 0e ln x x x x − − = + ， 令 0e xt −= ，则 0 lnx t− = ，所以 0 0ln lnt t x x+ = + ， 由（1）可知，当 1a = 时， ( ) lnf x x x= + 在 (0, )+ 单调递增， 所以 0 0e x t x − = = ，所以 00 0 0 0 0ln ln e 0 x x x x x x − + = + = − = ； （3）记 ( ) 2ln e xh x x x x x−= − − − ，则 ( ) ( ) e ln 2xh x g x x x− − = = − ， 因为 ( ) 1 e 2 0xg x x −= − − −  ，所以 ( )g x 在 (0, )+ 单调递减，且由（2）可知 ( )0 0g x = ，则 0 0ln 0x x+ = . 所以若 ( )00,x x ， ( ) ( ) 0h x g x =  ；若 ( )0 ,x x + ， ( ) ( ) 0h x g x =  ， 所以可知函数 ( )h x 在 ( )00, x 单调递增，在 ( )0 ,x + 单调递减，所以 ( ) ( )0h x h x ， 又 ( ) 0 20 0 0 0 0ln e x h x x x x x − = − − − ， 0 0ln x x= − ， 0 0e x x − = ， 所以 ( ) 2 20 0 0 0 0 0h x x x x x= + − =− ，所以 2ln e xx x x x−−  + . 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式 ( ) ( )f x g x （或 ( ) ( )f x g x ）转化为证明 ( ) ( ) 0f x g x−  （或 ( ) ( ) 0f x g x−  ），进而构造辅助函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x= − ； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.