精品解析：2024-2025学年北师大版八年级上册数学期末能力提升训练

2024-2025学年北师大版八年级上册数学期末能力提升训练 一、单选题（共10题；共30分） 1. 某班为了奖励取得较大进步同学，花了 元购买了甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元． 求甲、乙两种奖品各买了多少件？若设买了甲种奖品件，乙种奖品件，则下列所列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 平面直角坐标系中，点到y轴的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图，在中，，利用尺规作图以点为圆心，的长为半径作弧交边于点分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交边于点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，且，其中C坐标，A坐标，则B点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 疫情期间，小颖宅家学习．一天，她在课间休息时，从窗户向外望，看到一人为快速从A处到达居住楼B处，直接从边长为24米的正方形草地中穿过．为保护草地，小颖计划在A处立一个标牌：“少走？米，踏之何忍”，已知B、C两处的距离为7米，那么标牌上？处的数字是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有张桌子，有条凳子，根据题意所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数，如表是与的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ） 0 1 2 6 3 1 A. 随的增大而增大 B. 该函数的图像经过一、二、三象限 C. 该函数的图像与轴的交点是 D. 关于的方程的解是 8. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P伴随点，已知的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，这样依次得到，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两人一起沿着同一路线匀速从A地出发到B地，途中甲发现忘记带钱包，立即以原速原路返回，乙则以原速的倍速度继续匀速前行，甲返回A地后取钱包花了2分钟，取到钱包后以之前速度的1.5倍速度追乙．甲乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 甲返回前的速度为 B. 甲取到钱包开始追乙时，两人相距595米 C. 甲追乙的时间为8.5分钟 D. 甲追上乙时，甲走的总路程为1592米 10. 迭代是重复反馈过程的活动，其目的通常是为了逼近所需目标或结果．每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值．对于一次函数，当时，．将代入，得出，此过程称为一次迭代：再将代入，得出，此过程称为二次迭代……为了更直观的理解，我们不妨借助于函数图象，请你根据图象，得出经过十次迭代后，y的值接近于下列哪个整数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共6题；共18分） 11. 如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E＝30°，且AB＝CE，则∠BAE的度数为_____． 12. 如图，一条公路两次拐弯后，与原来的方向相同，第一次拐的角是130°，那么第二次拐的角是_____________° 13. 如图所示的图形是一瓷砖镶嵌图的一部分，AB⊥CD，则x的值为________． 14. 如图，在数轴上，，过作直线于点，在直线上截取，且在上方．连接，以点为圆心，为半径作弧交直线于点，则点的横坐标为_______________． 15. 如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，设°，则________（用关于x的代数式表示） 16. 如图，点在直上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边，在的右侧作等腰直角，再过点作轴交直线y＝x和直线于，两点，再以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，…，按此规律进行下去，则等腰直角的边长为_____．（用含正整数n的代数式表示） 三、解答题（共7题；共52分） 17. 如图，在中，是边上的高，的平分线交于点，的平分线交于点，与交于点，，求和的度数． 18. 已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 19. 一个代号为神秘棋手打败众多围棋领域的高手，引起人们的广泛关注，后自曝身份，原来它是谷歌人工智能产品的升级版．某教学网站开设了有关人工智能的课程并策划了，两种网上学习的月收费方式： 收费方式 月使用费（元） 包时上网时间（） 超时费（元/） 设小明每月上网学习人工智能课程的时间为，方案，的收费金额分别为元、元（包时上网时间是指月使用费中包含的上网时间，超过该时间需另外付费）． （1）当时，分别求出，与之间函数关系式； （2）若小明月份上该网站学习的时间为，则他选择哪种方式上网学习合算？ 20. 已知，求的值 21. 勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成． 如图1为赵爽弦图，其中，连接交于点，连接，得到图2，若． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 已知平面直角坐标系中有一点． （1）当点位于第一象限，且到轴的距离为1时，求点的坐标． （2）若点在象限角平分线上，求点的坐标． 23. 已知直线，点A在直线上，点B、C为平面内两点，于点C． （1）如图1，当点B在直线上，点C在直线上方时，延长交直线于点D，则和之间的数量关系是____． （2）如图2，当点C在直线上且在点A左侧，点B在直线与之间时，过点B作交直线于点D．为探究与之间的数量关系，小明过点B作．请根据他的思路，写出与的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，作的平分线交直线于点E，当时，直接写出的度数． （4）如图4，当点C在直线上且在点A左侧，点B在直线下方时，过点B作交直线于点D．作的平分线交直线于点E，当时，请补充图形并直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版八年级上册数学期末能力提升训练 一、单选题（共10题；共30分） 1. 某班为了奖励取得较大进步的同学，花了 元购买了甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元． 求甲、乙两种奖品各买了多少件？若设买了甲种奖品件，乙种奖品件，则下列所列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是正确理解题意，抓住关键语句，找出等量关系． 根据题意可得等量关系：①甲商品数量+乙商品数量=30件；②甲商品的总价+乙商品的总价=400，然后列出方程组即可． 【详解】解：设买了甲种奖品件，乙种奖品件，依题意得： ， 故选：D 2. 平面直角坐标系中，点到y轴的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案． 【详解】解：∵， ∴点到轴的距离是 故选：A 【点睛】本题考查的是点到坐标轴的距离，掌握点到轴的距离是横坐标的绝对值是解题的关键． 3. 如图，在中，，利用尺规作图以点为圆心，的长为半径作弧交边于点分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交边于点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无刻度直尺作图—垂线的作法，勾股定理等知识，利用勾股定理求出，再利用线段和差可得，解题的关键是读懂题意，熟练掌握垂直平分线的定义及勾股定理得应用． 【详解】解：由作图可知，垂直平分线段， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 4. 如图，且，其中C坐标，A坐标，则B点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点B作于D，先判断出，再由全等三角形的性质和已知即可求出点B的坐标． 【详解】如图，过点B作于D，则， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵点C的坐标为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴B点的坐标是. 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定、坐标与图形特点，能根据AAS证明两三角形全等，根据线段的长写出B的坐标是解题的关键，同时注意象限的符号问题． 5. 疫情期间，小颖宅家学习．一天，她在课间休息时，从窗户向外望，看到一人为快速从A处到达居住楼B处，直接从边长为24米的正方形草地中穿过．为保护草地，小颖计划在A处立一个标牌：“少走？米，踏之何忍”，已知B、C两处的距离为7米，那么标牌上？处的数字是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据捷径AB恰好与AC、BC构成直角三角形，由勾股定理即可求出AB的长，即可求解． 【详解】因为是一块正方形的绿地，所以∠C=90°， 由勾股定理得，AB==25米， 计算得由A点顺着AC，CB到B点的路程是24+7=31米，而AB=25米，则少走31-25=6米． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了学生对勾股定理在实际生活中的运用能力，同时也增强了学生们要爱护草地的意识． 6. 为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有张桌子，有条凳子，根据题意所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个可列方程x+y=12，根据桌子腿数与凳子腿数的和为40条可列方程4x+3y=40，组成方程组即可． 【详解】解：根据题意可列方程组， 故选：B． 【点睛】本题考查实际问题抽出二元一次方程组，解题的关键是要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 7. 已知一次函数，如表是与的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ） 0 1 2 6 3 1 A. 随的增大而增大 B. 该函数的图像经过一、二、三象限 C. 该函数图像与轴的交点是 D. 关于的方程的解是 【答案】D 【解析】 【分析】根据信息的，求出一次函数表达式，根据一次函数图像与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：将和代入得到，解得， 一次函数为， A、由可知，随的增大而减小，该选项错误，不符合题意； B、由可知，该函数的图像经过一、二、四象限，该选项错误，不符合题意； C、由一次函数为，当时，，函数图像与轴的交点是，该选项错误，不符合题意； D、当时，，解得，该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查待定系数法求函数表达式，涉及一次函数图像与性质，熟记一次函数图像与性质是解决问题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的伴随点，已知的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，这样依次得到，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2023除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可． 【详解】解：的坐标为， ，，，， ， 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ， 点坐标与的坐标相同，为． 故选：C． 【点睛】本题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义，解题的关键是求出每4个点为一个循环组依次循环． 9. 甲、乙两人一起沿着同一路线匀速从A地出发到B地，途中甲发现忘记带钱包，立即以原速原路返回，乙则以原速的倍速度继续匀速前行，甲返回A地后取钱包花了2分钟，取到钱包后以之前速度的1.5倍速度追乙．甲乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 甲返回前的速度为 B. 甲取到钱包开始追乙时，两人相距595米 C. 甲追乙的时间为8.5分钟 D. 甲追上乙时，甲走的总路程为1592米 【答案】D 【解析】 【分析】由题意及图知，两人从出发到甲追上乙，有四个过程：两人开始同时同速度行走，用时5分钟；甲返回取钱包，用时5分钟；取钱包，用时2分钟；甲取回钱包后追上乙．设两人出发时的速度为xm/min，根据这四个过程计算即可． 【详解】由题意及图知，两人从出发到甲追上乙，有四个过程：两人开始同时同速度行走5分钟；甲返回取钱包用时5分钟；取钱包用时2分钟；甲取回钱包后追上乙． 设两人出发时的速度为xm/min，则在第一个过程中，两人行驶的路程为5xm，在第二个过程中乙行驶了，此时两人相距，由图知，可得方程为：，解得：x=70，故选项A正确； 第三个过程，乙行驶了，故甲取到钱包开始追乙时，两人相距525+70=595（米），故选项B正确； 第四个过程，甲追上乙所花时间=，故选项C正确； 甲追上乙时，甲走的总路程为：，故选项D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象，读懂题意，清楚每个过程，从函数图象中获取信息是解题的关键． 10. 迭代是重复反馈过程的活动，其目的通常是为了逼近所需目标或结果．每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值．对于一次函数，当时，．将代入，得出，此过程称为一次迭代：再将代入，得出，此过程称为二次迭代……为了更直观的理解，我们不妨借助于函数图象，请你根据图象，得出经过十次迭代后，y的值接近于下列哪个整数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，得出一次函数y=x+2经过横纵坐标相等的点（4，4），观察图象即可得出结论． 【详解】解：由得， ∴直线y=x与直线y=x+2的交点为（4，4）， 由图象可知，经过十次迭代后，y的值接近于整数4， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，明确一次“迭代”的含义是解题的关键． 二、填空题（共6题；共18分） 11. 如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E＝30°，且AB＝CE，则∠BAE的度数为_____． 【答案】90°##90度 【解析】 【分析】根据MN是AE的垂直平分线，有CE＝CA，即∠CAE＝∠E＝30°，进而有∠ACB＝∠E+∠CAE＝60°；根据CE＝CA，AB＝CE，有AC＝AB，即∠B＝∠ACB＝60°，问题得解． 【详解】∵MN是AE的垂直平分线， ∴CE＝CA， ∴∠CAE＝∠E＝30°， ∴∠ACB＝∠E+∠CAE＝60°， ∵CE＝CA，AB＝CE， ∴AC＝AB， ∴∠B＝∠ACB＝60°， ∴∠BAE＝180°﹣30°﹣60°＝90°， 故答案为：90°． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质等知识，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 12. 如图，一条公路两次拐弯后，与原来的方向相同，第一次拐的角是130°，那么第二次拐的角是_____________° 【答案】130° 【解析】 【分析】由一条公路两次拐弯后，与原来的方向相同，即可得BC∥AD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得第二次拐的角的度数． 【详解】∵一条公路两次拐弯后，与原来的方向相同， 即BC∥AD， ∴∠A＝∠B＝130°， ∴第二次拐的角是130°． 故答案为：130°． 【点睛】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，内错角相等． 13. 如图所示的图形是一瓷砖镶嵌图的一部分，AB⊥CD，则x的值为________． 【答案】34 【解析】 【分析】延长交于点，即可得出，进而根据，求出即可． 【详解】解：延长交于点， ， ， ， ， ， ， ，解得，则的值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂直的性质，三角形内角和定理，对顶角相等等知识，根据已知得出是解题关键． 14. 如图，在数轴上，，过作直线于点，在直线上截取，且在上方．连接，以点为圆心，为半径作弧交直线于点，则点的横坐标为_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据勾股定理求得，根据题意可得，进而即可求解． 【详解】解：∵，，， 在中，， ∴， ∴， 为原点，为正方向，则点的横坐标为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 15. 如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，设°，则________（用关于x的代数式表示） 【答案】（90-）° 【解析】 【分析】根据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠2=∠4，再根据三角形内角和定理以及对顶角相等进行计算即可． 【详解】解：由折叠可得，∠3=∠4， 由平行线的性质，可得∠2=∠3， ∴∠2=∠4， 又∵∠5=∠1=x°， ∴根据三角形内角和定理，可得∠2=（180°-x°）÷2=（90-）°， 故答案为：（90-）°． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 16. 如图，点在直上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边，在的右侧作等腰直角，再过点作轴交直线y＝x和直线于，两点，再以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，…，按此规律进行下去，则等腰直角的边长为_____．（用含正整数n的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】分析：列出各点坐标寻找规律，横纵坐标成倍扩大． 【详解】解：∵点在直线上， ∴点横坐标为2，将代入得， ∴点坐标为． ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴点坐标为．． ∵过点作过点轴， ∴的横坐标为3，将分别代入与中得的纵坐标分别为3，， 即，，， ∴． 同理可得， …… ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的特征及等腰直角三角形的性质，解题关键是通过计算找出点及边长变化规律． 三、解答题（共7题；共52分） 17. 如图，在中，是边上的高，的平分线交于点，的平分线交于点，与交于点，，求和的度数． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和三角形的外角性质，三角形高线、角平分线的定义，根据定义解题即可． 【详解】解：因为，， 所以． 因为平分，平分， 所以，， 所以． 因为，是边上的高， 所以， 所以． 18. 已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据平方根与立方根的概念可得与的值，估计的值，从而求出的值，最后求算术平方根即可． 【详解】解：的平方根是， ， ， ， 的立方根是2， ， ， ， ， ， ， ， 的算术平方根为4． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义及求解，无理数的估算与整数部分的求解，解题的关键是熟练掌握相关概念． 19. 一个代号为的神秘棋手打败众多围棋领域的高手，引起人们的广泛关注，后自曝身份，原来它是谷歌人工智能产品的升级版．某教学网站开设了有关人工智能的课程并策划了，两种网上学习的月收费方式： 收费方式 月使用费（元） 包时上网时间（） 超时费（元/） 设小明每月上网学习人工智能课程的时间为，方案，的收费金额分别为元、元（包时上网时间是指月使用费中包含的上网时间，超过该时间需另外付费）． （1）当时，分别求出，与之间的函数关系式； （2）若小明月份上该网站学习的时间为，则他选择哪种方式上网学习合算？ 【答案】（1），； （2）小明选择方式上网学习合算． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据数量关系列出函数的表达式． （1）根据收取费用月使用费超时单价超过时间，可找出，关于的函数关系式； （2）将分别代入，的表达式中得出值进行比较，即可得出结论． 【小问1详解】 解：当时，与之间的函数关系式为， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∴小明选择方式上网学习合算． 20. 已知，求的值 【答案】5 【解析】 【分析】根据的值先求出和的值，再对要求的式子进行化简，然后代值计算即可． 【详解】解:∵， ∴， ∴， 故答案为5. 【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是通分和配方法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 21. 勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成． 如图1为赵爽弦图，其中，连接交于点，连接，得到图2，若． （1）求证：； （2）若，求长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）根据等角对等边得出，进而可得，根据三线合一，即可得证； （2）由（1）得：，可以求得，进而证明，得出，再根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 证明： 【小问2详解】 由（1）得： ，赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成， ∴， 在中， ∴ ， 在中， 22. 已知平面直角坐标系中有一点． （1）当点位于第一象限，且到轴的距离为1时，求点的坐标． （2）若点在象限的角平分线上，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，解题的关键是掌握点的坐标与点到坐标轴的距离的关系，以及象限的角平分线上的点的坐标特征． （1）根据点所处象限及到轴的距离，可得，求出a的值，进而可得点的坐标； （2）第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等，第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数，由此可解． 【小问1详解】 解：点位于第一象限，且到轴的距离为1， ， 解得， ， 点的坐标为． 【小问2详解】 解：当点在第一、三象限角平分线上时： ， 解得， ， 点的坐标为； 当点在第二、四象限的角平分线上时： ， 解得， ，， 点的坐标为； 综上可知，点的坐标为或． 23. 已知直线，点A在直线上，点B、C为平面内两点，于点C． （1）如图1，当点B在直线上，点C在直线上方时，延长交直线于点D，则和之间的数量关系是____． （2）如图2，当点C在直线上且在点A左侧，点B在直线与之间时，过点B作交直线于点D．为探究与之间的数量关系，小明过点B作．请根据他的思路，写出与的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，作的平分线交直线于点E，当时，直接写出的度数． （4）如图4，当点C在直线上且在点A左侧，点B在直线下方时，过点B作交直线于点D．作的平分线交直线于点E，当时，请补充图形并直接写出的度数． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） （4）图形补充见解析， 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得，再由即可得和之间的数量关系是互余； （2）由平行线的性质可得，，而，根据等量代换即可得； （3）设，则；由平分得，则有，由直角三角形两锐角互余即可求得，从而求得结果； （4）设交于点H；设，则，得；由平行线的性质、角平分线的性质及三角形外角的性质得：，求得；再由，求得，进而求得结果． 【小问1详解】 解：∵， ∵； ∵， ∴， ∴， 即和之间的数量关系是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：； 理由如下： ∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵ 设， ∴； ∵平分，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， 即； 【小问4详解】 解：补充图形如下： 设交于点H； ∵，设， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵平分，， ∴； ∵， ∴， 解得：， 即； ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，互余关系，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$