4.1.2 方程 教案-2024-2025学年苏科版（2024）七年级数学 上册

第四章 一元一次方程 4.1《等式与方程》   一、教学目标 1. 经历根据实际问题建立方程、归纳方程概念的过程，了解方程概念，会根据实际问题中的等量关系列出方程，发展抽象能力和模型观念; 2. 了解方程的解的概念，能判断未知数的值是否是方程的解;   二、学习目标 1. 通过对具体实际生活问题的分析，进一步学会根据实际问题的意义设未知数并列出方程; 2. 了解一元一次方程的概念.   三、教学重点 方程及方程解的概念.   四、教学难点 根据实际问题中的等量关系列出方程.   五、教学过程 一、情境导入 在现实世界的许多问题中，通常有已知的量和未知的量，这些数量之间常常有相等的关系. 怎样描述图中天平平衡所表示的数量之间的相等关系？ 答：天平平衡代表天平左右两边的质量相等，从直观的平衡到数学中的“相等”关系（答案有理即可）． 师生活动：教师展示问题，学生独立思并分析解答，教师点评． 设计意图：通过问题，引导学生思考：问题中的等量关系是什么？如何用等式表示这些等量关系？从而引出本节课课题，使学生初步感知利用方程解决实际问题. 2、 新知探究 1.如图，天平两边托盘中小球的质量是多少? 在问题1中，有下面的等量关系: 左边托盘中物品的质量=右边托盘中物品的质量. 用x表示小球的质量，上述等量关系可以表示为 2x+1=x+5 2.篮球联赛规则规定:胜一场得2分，负一场得1分，第一中学球队赛了12场，共得20分，该球队胜、负各多少场? 在问题2中，有下面的等量关系: 胜的场数十负的场数=12场； 胜场得分十负场得分=20分. 用a，b分别表示胜的场数和负的场数，上述等量关系可以表示为 a+b=12, 2a+b=20. 3.一幅长方形油画的长与宽的比为1:0.618，面积为，它的长为多少? 在问题3中，有下面的等量关系: 长×宽 = . 思考：上述问题中出现的四个等式有什么共同特征吗？ 在上面的等式中，都是用字母表示要求的未知的量，这样的字母叫作未知数(unknown number).解决上述问题的关键是求出未知数的值. 像2x+1=5，a+b=12，2a+b=20，这样含有未知数的等式叫作方程(equation). 师生活动：这三个情境较简单，师生共同分析，从题目中获取关键信息，学生根据题意找到等量关系,列出方程. 设计意图：在分析三个实际问题时先找问题中蕴含的主要等量关系，然后设未知数，用未知数和已知数表示等量关系中的各个量，进而依据等量关系将各个量用符号连接列出方程，让学生初步感受列方程的步骤. 讨论：方程与等式有什么关系？ 不同点：方程一定是等式，但等式不一定是方程，方程是一种特殊的等式（含有未知数的等式）.方程是表示两个数学式之间相等关系的一种等式，是含有未知数的等式. 相同点：通常在两者之间有等号“=”. 尝试：大英博物馆收藏的古埃及《莱因德纸草书》上记载着一道著名的求未知数的问题，一个数加上它的其和等于19，你能求出这个数吗?你能根据题意列出方程吗？ 答：解：等量关系：一个数+它的=19， 设这个数是x， 用等式表示为x+x=19. 讨论：从问题到方程经历了哪几个环节？ 答：1.审题（找到相等关系）； 2.设未知数 x ； 3.根据相等关系列出方程. 师生活动：这个情境较简单，学生独立完成，从题目中获取关键信息，学生根据题意找到等量关系,列出方程. 设计意图：通过古埃及《莱因德纸草书》上记载的经典问题巩固列方程的技能及方程概念，并补充介绍《莱因德纸草书》的相关史料，渗透数学文化，开阔学生视野. 活动：方程是解决实际问题的常用工具.我们根据实际问题中的等量关系列出方程后，还需要进一步求出未知数的值. 1.填表： x 1 2 3 4 5 2x+1 5+x 当x= 时，2x+1=5+x两边的值相等. 2.分别把0，1，2，3，4代入下列方程，哪个数能使方程两边的值相等? (1)；(2). x 1 2 3 4 5 2x+1 3 5 7 9 11 5+x 6 7 8 9 10 答：1. 2.解：（1）当x=0时，左边=−1，右边=5，左边≠右边； 当x=1时，左边=1，右边=5，左边≠右边； 当x=2时，左边=3，右边=5，左边≠右边； 当x=3时，左边=5，右边=5，左边＝右边. （2）当x=0时，左边=−2，右边=−3，左边≠右边； 当x=1时，左边=1，右边=1，左边＝右边； 当x=2时，左边=4，右边=5，左边≠右边； 当x=3时，左边=7，右边=9，左边≠右边. 师生活动：小组形式汇报． 设计意图：让学生在操作中感悟方程解的本质属性，为下面归纳方程的解的概念提供实例. 能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解 如x=4是方程2x+1=5+x的解. 求方程的解的过程叫作解方程(solving equation). 在后续的学习中，我们将从简单到复杂，学习解各类方程的方法. 三、应用举例： 例1 根据所设未知数列方程: (1)用长16m的篱笆围一个长方形的小兔乐园，当长方形的一边为多少时，乐园面积为?(设长方形的一边长为xm) (2)花费90元购买了硬面抄和软面抄共30本，硬面抄每本5元，软面抄每本2元，硬面抄和软面抄各买了多少本? (设购买了x本硬面抄和y本软面抄) 答：解：（1）根据题意得 ； （2）根据题意得x+y=30，5x+2y=90. 师生活动：老师提问学生举手回答问题． 设计意图：让学生先寻找等量关系，再用未知数和已知数表示相等关系中的各个量进而依据等量关系将各个量用符号连接列出方程，经历建模过程，发展模型观念. 例2 判断x=−2是否为下列方程的解. (1)； (2). 答：解：(1)当x=−2时，左边=−1，右边=0，左边≠右边， 所以x=−2不是方程的解. (2)当x=−2时，左边=4，右边=4，左边=右边， 所以x=−2是方程的解. 师生活动：师生互动，交流讨论，学生代表板书. 设计意图：让学生判断未知数的值是否是方程的解，巩固方程解的概念. 四、课堂练习 1.根据所设未知数列方程: (1)一个长方形花坛，长比宽多3m，面积为270m，该花坛长为多少?(设花坛的长为xm) (2)甲、乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间运行的平均速度从240 km/h提高到300 km/h，运行时间缩短了0.5h，两城市间的铁路里程为多少千米?(设两城市间的铁路里程为xkm) (3)有一种毛竹，前四年一共只长10cm高，到了第五年春天会以平均每天30cm的速度向上蹿，第五年春天经过多少天毛竹可以长到10m高?(设第五年春天经过x天毛竹可以长到10m高) 2.两个数1，−1中，哪一个是方程的解? 答：1.（1）根据题意得x(x−3)=270；（2）根据题意得；（3）根据题意得10+30x=1000； 2.解：(1)当x=1时，左边=3，右边=−1，左边≠右边，所以x=1不是方程的解. (2)当x=−1时，左边=−1，右边=−1，左边=右边，所以x=−1是方程的解. 师生活动：学生独立完成，教师批阅. 设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用. 五、课堂小结 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 六、课后作业 1. 完成课本上的相关练习题； 2. 请用自己的年龄编一道应用题，并列出方程，下节课分享.   六、教学反思 1.教学中应突出等量关系对列方程的重要辅助作用，还应引导学生体会用字母表示未知量（设未知数）参与列式后“边读边列，即看即得”的过程. 2.对于方程定义的表述，交代即可，不需要深究，但是要关注帮助学生理解求未知数对方程的意义. 3.鼓励提问：鼓励学生提出生活中的数学问题，培养他们的观察力和思考力，同时也能激发他们解决问题的欲望. 4.回顾小结本节课所学内容后，引导学生对后续学习进行展望，让学生明晰后续将从一般到特殊（等式、方程、一元一次方程）从简单到复杂学习各类方程的解法和应用，体会学习的一般路径. 通过对方程意义的建构和教学反思，我们可以使数学教学更加生动有趣，同时也能帮助学生建立起数学思维，提高他们的数学素养. 学科网（北京）股份有限公司 $$