3.4方差同步练习2024-2025学年苏科版数学九年级上册

3.4方差 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．甲、乙、丙、丁四名学生近4次数学测验成绩的平均数都是110分，方差分别是s甲2＝6，s乙2＝24，s丙2＝25.5，s丁2＝36，则这四名学生的数学成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．甲、乙两位同学在射击选拔比赛中，各射击了5次，他们的成绩（单位：环）如下表所示： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 8 10 7 7 8 乙 10 5 10 8 7 设两人射击成绩的平均数依次为，，射击成绩的方差依次为，，则下列关系中完全正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．甲、乙、丙、丁四名运动员进行100短跑训练，他们近期8次测试的平均成绩都是，且这8次测试成绩的方差如下表，则这四名运动员中发挥最稳定的是（  ） 运动员 甲 乙 丙 丁 方差（） 0.24 0.18 0.22 0.21 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．一组数据的方差是则该组数据的和为（    ） A．37 B．73 C．10 D．21 5．在2014年5月崇左市教育局举行的“经典诗朗诵”演讲比赛中，有11名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中的一名学生想知道自己能否进入前6名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这11名学生成绩的（ ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 6．甲、乙两班举行跳绳比赛，参赛选手每分钟跳绳的次数经统计计算后填入下表： 班级 参加人数 中位数 方差 平均次数 甲 35 169 6.32 155 乙 35 171 4.54 155 某同学根据上表分析得出如下结论： ①甲、乙两班学生跳绳成绩的平均水平相同， ②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟跳绳次数≥170为优秀）， ③甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大． 上述结论正确的是（ ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 7．两组数据16，17，18，19，20和6016，6017，6018，6019，6020的方差和极差情况是（　　） A．都相等 B．都不相等 C．方差相等，极差不相等 D．方差不相等，极差相等 8．某校有17名同学报名参加信息学竞赛，测试成绩各不相同，学校取前8名参加决赛，小童已经知道了自己的成绩，他想知道自己能否参加决赛，还需要知道这17名同学测试成绩的（　　） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 9．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班50名同学的视力检查数据如表，其中有两个数据被遮盖． 视力 4.6以下 4.6 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 ■ ■ 7 9 14 11 下列关于视力的统计量中，与被遮盖的数据均有关的是（    ） A．中位数，众数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数 10．某地统计最近五年报名参加中考人数增长率分别为：3.9%，4.3%，3.7%，4.3%，4.7%，业内人士评论说：“这五年中考人数增长率相当平稳”，从统计角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据（　　）比较小 A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 11．甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均数及方差如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（　　） 甲 乙 丙 丁 （环） 8 9 9 8 S2（环2） 1 1.2 1 1.2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 12．某校队有A，B，C三位短跑运动员，下表是三人最近10次百米赛跑的成绩平均分以及方差，如果现在要推荐一位运动员参加区级比赛，你认为最合适的运动员是（    ） A B C 2.1 6.4 0.9 A．A B．B C．C D．无法确定 二、填空题 13．从甲、乙两人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是S甲2＝1.35，S乙2＝2.46，则两个人中成绩更稳定的是 ． 14．初二年级选拔两名男生加入校篮球队，经过层层考核，甲、乙、丙、丁四位同学进入最后淘汰环节，由他们四人各进行次定点投篮，结果每人投篮成绩的平均数都相等，方差分别为，，，，教练决定招收成绩最稳定的两人，他们是 ． 15．两名战士用同一步枪各打五发子弹，他们命中环数是： 甲：8、7、9、8、6； 乙：5、10、6、9、10. 判断比较稳定的应该是 . 16．甲、乙两名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，则成绩较稳定的同学是 ．（填写甲或乙） 17．某校国旗护卫队有5名学生，身高(单位：)分别为173、174、174、174、175，则这5名学生身高的方差为 ． 三、解答题 18．博才中学要从甲、乙两名同学中选拔一名同学代表学校参加“华罗庚金杯”数学竞赛活动．这两位活动同学最近四次的数学测验成绩如下表：（单位：分） 第一次 第二次 第三次 第四次 甲 75 70 85 90 乙 85 82 75 78 （1）根据表中数据,分别求出甲、乙两名同学这四次数学测验成绩的平均分. (2)经计算,甲、乙两位同学这四次数学测验成绩的方差分别为，，你认为哪位同学的成绩较稳定?请说明理由. 19．如图，小强同学根据乐清市某天上午和下午各四个整点时间的气温绘制成的折线统计图． （1）根据图中信息分别求出上午和下午四个整点时间的平均气温． （2）请你根据所学统计学知识，从四个整点时间温度猜测，这天上午和下午的气温哪个更稳定，并说明理由． 20．某校开展党史知识竞赛，八年级甲、乙两班分别选5名同学参加了比赛，他们的成绩如图所示． (1)根据上图填写下表： 平均数 中位数 众数 甲班 8.5 8.5 乙班 (2)已知甲班5名同学成绩的方差是0.7，计算乙班5名同学成绩的方差，并比较哪个班选手的成绩较为稳定． 21．省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 10 8 9 8 10 9 乙 10 7 10 10 9 8 (1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环； (2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差； (3)根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由． 22．某中学开展“英语演讲”比赛活动，七（一）、七（二）两个班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．    (1)根据图示填写下表： 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 七（一） 85 七（二） 85 100 (2)计算两班复赛成绩的方差并说明哪班的成绩比较稳定； (3)如果在两班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛，你认为哪个班的实力更强些？说明理由． 23．已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是p，方差是q.试证明：数据ax1＋b，ax2＋b，ax3＋b，…，axn＋b的平均数是ap＋b，方差是a2q. 24．设是的平均数，则方差，它反映了这组数据的波动性，请完成以下题目： (1)证明：当平均数变为时，方差对应变为； (2)证明：； (3)已知在课堂上王老师给出了5个数据：2，3，5，m，n，它们的方差为2，求解另一组数据：4，5，7，的方差． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D B A A A C A 题号 11 12 答案 C C 1．A 【分析】根据方差的意义求解即可． 【详解】解：∵s甲2＝6，s乙2＝24，s丙2＝25.5，s丁2＝36， ∴s甲2＜s乙2＜s丙2＜s丁2， ∴这四名学生的数学成绩最稳定的是甲， 故选：A． 【点睛】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．掌握方差的意义是解题的关键． 2．B 【分析】本题考查平均数和方差求法，根据题中数据算出，，，，再进行比较，即可解题． 【详解】解：由题知，， ， ， ， ，； 故选：B． 3．B 【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据越稳定． 【详解】∵甲的方差为：0.24，乙的方差为：0.18，丙的方差为：0.22，丁的方差为：0.21， ∴乙的方差最小， ∴这四人中发挥最稳定的是乙； 故答案为：B． 【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据越稳定． 4．D 【分析】样本方差，其中是这个样本的容量，是样本的平均数．利用此公式直接求解． 【详解】解：一组数据的方差， 数据的个数为7个，平均数为3， 该组数据的总和是：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查方差、平均数，解题的关键是掌握方差的计算公式及公式中的字母所表示的意义． 5．B 【详解】解：11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 故选B． 【点睛】本题考查统计量的选择，掌握中位数的意义是本题的解题关键． 6．A 【详解】试题分析：根据表中的平均数可知：①甲、乙两班学生跳绳成绩的平均水平相同，①正确； 从中位数上可以看出②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟跳绳次数≥170为优秀），②正确； 从方差上可以看出③甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大，③正确； 故选A． 考点：方差；算术平均数；中位数 7．A 【分析】根据平均数和方差的概念分别计算出平均数和方差，然后根据极差的概念求出极差即可． 【详解】解：第一组数据的平均数＝（16+17+18+19+20）÷5＝18，方差＝[（18﹣16）2+（18﹣17）2+（18﹣18）2+（18﹣19）2+（18﹣20）2]÷5＝2； 第二组数据的平均数＝（6016+6017+6018+6019+6020）÷5＝6018，方差＝[（6018﹣6016）2+（6018﹣6017）2+（6018﹣6018）2+（6018﹣6019）2+（6018﹣6020）2]÷5＝2； 第一组数据的极差为：20﹣16＝4，第二组数据的极差为：6020﹣6016＝4， ∴都相等． 故选A． 【点睛】此题重点考查学生对平均数和方差的理解，掌握方差的定义是解题的关键. 8．A 【分析】由于比赛取前8名参加决赛，共有17名选手参加，根据中位数的意义分析即可． 【详解】解：由于总共有17个人，且他们的分数互不相同，第9名的成绩是中位数， 要判断是否进入前8名，故应知道自己的成绩和中位数． 故选：A． 【点睛】本题考查了统计量的选择，以及中位数意义，解题的关键是正确的求出这组数据的中位数． 9．C 【分析】根据条件可求被覆盖的两个数据之和为，即可判断． 【详解】解：由题可知被覆盖的两个数据之和为， 视力为的出现次数最多，因此视力的众数为， 视力从小到大排列后处在第25、26位的两个数分别为，，故中位数为， 因此与被遮盖的数据均有关的是平均数，方差． 故选：C． 【点睛】本题主要考查中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的实际意义，以及每个统计量所反应数据的特征，是正确判断的前提，是解题的关键． 10．A 【分析】根据方差的意义:是反映一组数据波动大小，稳定程度的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立，故从统计角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据方差比较小． 【详解】根据方差的意义知，数据越稳定，说明方差越小， 故选：A． 【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定;反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 11．C 【分析】先比较平均数，乙、丙的平均成绩好且相等，再比较方差即可解答． 【详解】解：由图可知，乙、丙的平均成绩好， 由于，故乙的方差大，波动大． 故选：C． 【点睛】本题考查了方差，掌握平均数和方差的定义是解题的关键，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 12．C 【分析】通过比较平均数和方差进行选择即可． 【详解】解：，，三位短跑运动员中和的平均数最小且相等，，，三位运动员中的方差最小， 综合平均数和方差两个方面说明成绩既高又稳定， 最合适的人选是． 故选：C． 【点睛】本题考查了平均数和方差数据特征并根据题意进行决策，理解平均数和方差的特征是解题的关键． 13．甲 【分析】根据方差的意义，方差越小数据越稳定即可求解． 【详解】解：∵S甲2＝1.35，S乙2＝2.46， ∴S甲2＜S乙2， ∴两个人中成绩更稳定的是甲， 故答案为：甲． 【点睛】本题主要考查了方差的知识点，准确计算是解题的关键． 14．甲和丙 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性．熟练掌握方差越小越稳定是解题的关键． 根据方差越小越稳定进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴教练决定招收成绩最稳定的两人，他们是甲和丙， 故答案为：甲和丙． 15．甲 【分析】分别计算这两组数据的方差，比较即可. 【详解】∵，， ∴， ， ∵＜， ∴成绩比较稳定的是甲. 故答案为甲. 【点睛】本题考查方差的意义解决这类题目的基本思路是先计算两组数据的方差，再比较即可. 16．甲 【分析】本题主要考查方差，根据方差的意义可进行求解 【详解】．解：由题意得：他们成绩的平均数相同，，； ∴成绩最稳定的是甲； 故答案为：甲． 17．0.4 【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可． 【详解】解：这组数据的平均数是：(173+174+174+174+175)=174(cm)， 则这5名学生身高的方差为 ×[(173-174)2+3×(174-174)2+(175-174)2]=0.4(cm2)． 故答案为：0.4． 【点睛】本题考查了方差，熟练掌握方差公式是解题的关键． 18．(1)甲="80," 乙=80, (2)乙的成绩稳定,因为甲的方差大于乙的方差. 【分析】（1）由平均数的公式计算即可； （2）方差越小，成绩越稳定，反之，方差越大，成绩越不稳定． 【详解】解：， ， ∵，， ∴， ∴乙的成绩稳定，因为甲的方差大于乙的方差． 【点睛】考查平均数以及方差的计算，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 19．（1）24，24；（2）上午的气温更加稳定，理由见解析． 【分析】（1）根据平均数的定义进行求解即可； （2）分别求出上午和下午四个整点时间的方差然后进行比较即可． 【详解】解：（1） （2） ∴ ∴上午的气温更加稳定． 【点睛】本题主要考查了平均数与方差，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 20．(1)见解析 (2)乙班5名同学成绩的方差为，甲班选手的成绩较为稳定． 【分析】本题考查了方差、中位数、众数、平均数． （1）把甲班5名同学的成绩从小到大排列，找出最中间的数即可求出甲班的中位数，根据平均数的计算公式列出算式，求出乙班5名同学的成绩的平均数，找出乙班出现的次数最多的数即可求出乙班的众数． （2）求出乙班同学的方差再与甲班5名同学成绩的方差比较即可． 【详解】（1）解：把甲班5名同学的成绩从小到大排列为：7.5，8，8.5，8.5，10，最中间的数是8.5，则甲班的中位数是8.5， 把乙班5名同学的成绩从小到大排列为：7、7.5、8、10、10，最中间的数是8，则乙班的中位数是8.5，10出现次数最多，则乙班的众数是10， 乙班5名同学的成绩的平均数是， 填表如下： 平均数 中位数 众数 甲班 8.5 8.5 8.5 乙班 8.5 8 10 （2）解：乙班同学的方差为：． ∵甲班5名同学成绩的方差是0.7，， ∴甲班选手的成绩较为稳定． 21．(1)9；9； (2)=，= (3)推荐甲参加全国比赛更合适，理由见解析 【分析】本题考查求平均数，方差，利用方差作决策． （1）数据总和除以数据个数求出平均数即可； （2）利用方差公式计算方差即可； （3）利用方差作决策即可． 掌握平均数和方差的计算方法，是解题的关键． 【详解】（1）解：甲：， 乙：； 故答案为：9；9； （2） ； ； （3）推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适． 22．(1)，， (2)，，七（一）班的成绩比较稳定 (3)七（二）班的实力更强些．理由见解析 【分析】（1）观察图分别写出七（一）班和七（二）班名选手的复赛成绩，然后根据中位数的定义和平均数的求法以及众数的定义求解即可； （2）先根据方差公式分别计算两个班复赛成绩的方差，再根据方差的意义判断即可； （3）根据前两名的成绩，比较其大小即可. 【详解】（1）解：七（一）班的平均成绩是：（分）， 在七（一）班的成绩中85出现了2次，出现的次数最多，则众数是85分， 把七（二）班成绩从小到大排列为：70，75，80，100，100，最中间的数是80，则中位数是80分， ∴填写下表如下： 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 七（一） 85 85 85 七（二） 85 80 100 （2）解：七（一）班的成绩比较稳定，理由为： ∵， ， ， 则七（一）班的成绩比较稳定． （3）解：七（二）班的实力更强些．理由如下： ∵七(一)班复赛成绩较好的前两名选手的成绩分别为85，100， 七(二)班复赛成绩较好的前两名选手的成绩分别为100，100， ∴在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛，七（二）班的实力更强些． 【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义即运用．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 23．证明见解析 【详解】试题分析：根据平均数的定义，可知 ，根据方差的定义，可知 ，然后求得待求数据的平均数与方差，与上面的式子对比后即可发现平均数是 ，方差为. 试题解析：设数据 的平均数为M，方差为N. 由题意得，. 因为 , 所以， 因为 ， 所以 . 即数据的平均数是，方差是. 点睛：① 当一组数据都扩大（缩小） 倍时，平均数也会扩大（缩小）倍，都增加（减少） 时，平均数也会增加（减少）； ② 当一组数据都扩大（缩小）倍时，方差会扩大（缩小）到原来的 倍，都增加（减少）时，方差不变. 24．(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】 本题考查了一组数据的平均数和方差的公式，掌握方差公式是解题的关键． （1）设，，的平均数为，方差为，根据方差公式即可证明结论； （2）根据方差公式展开、变形即可证明结论； （3）设2，3，5，，的平均数为，另一组数据：4，5，7，，的平均数为，方差为，根据方差公式计算即可． 【详解】（1） 证明：设，，的平均数为，方差为， 则， ； （2） 证明： ； （3） 解：设2，3，5，，的平均数为，另一组数据：4，5，7，，的平均数为，方差为， 则， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$