广东省珠海市第二中学2024-2025学年高二上学期第二阶段考试数学试题

珠海市第二中学2024—2025学年第一学期第二阶段考试 高二年级数学学科试题 考试时间120分钟，总分150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 下列直线中，倾斜角最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，4，x，6，7，9，若该组数据的中位数与平均数相同，则该组数据的第60百分位数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知，，若，则实数λ的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知直线与，若，则之间的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则事件A与B的关系是（ ） A. A与B互斥不对立 B. A与B对立 C. A与B相互独立 D. A与B既互斥又相互独立 6. 已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（ ） A. 36 B. 3 C. 10 D. 7. 已知点，，圆，直线分别与圆相切，切点为.若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，现调查了当地的100家中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（ ）. A. 样本在区间内的频数为18 B. 如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有30%的当地中小型企业能享受到减免税政策 C. 样本的中位数小于350万元 D. 可估计当地的中小型企业年收入的平均数超过400万元（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） 10. 如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 平面平面 11. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（ ） A. 点的横坐标的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 面积的最大值为 D. 的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，点，点C是点关于z轴的对称点，则________. 13. 某电池厂有A，B两条生产线制造同一型号可充电电池.现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从某天两条生产线上的成品中随机抽取样本，并测量产品可充电次数的均值及方差，结果如下： 项目 抽取成品数 样本均值 样本方差 A生产线产品 8 210 4 B生产线产品 12 200 4 则20个产品组成的总样本的方差为_____. 14. 已知三棱锥中，，且，长度为1的线段的端点在上，端点在侧面内运动，若的中点为，的重心为，则的最小值是_________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切． （1）求圆的方程； （2）经过点的直线与圆相交于A，B两点，若，求直线的方程． 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，O为坐标原点，且，的面积为. （1）求C的方程； （2）若，设P为C上一点，，若存在实数λ使得，求λ的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，是边长为2的等边三角形，. （1）证明：平面平面. （2）若为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）． （1）已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 19. 已知椭圆的离心率为，点在C上，直线l与C交于不同于A的两点M，N. （1）求C的方程； （2）若，求面积的最大值； （3）记直线AM，AN的斜率分别为，，若，证明：以MN为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 珠海市第二中学2024—2025学年第一学期第二阶段考试 高二年级数学学科试题 考试时间120分钟，总分150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2）或 【16题答案】 【答案】（1）或 （2） 【17题答案】 【答案】（1） 取的中点，连接，. 因为，，所以为等边三角形. 因为为的中点，所以，. 因为是边长为2的等边三角形，所以， 则，所以. 又，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1）① ； ②证明：记事件为“第三次收到的信号为1”，则． 记事件为“三次收到的数字之和为2”， 则． 因为， 所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 若直线l的斜率不存在，设，，， 可得，可得， 这与相矛盾，不合题意； 可知直线l的斜率存在，设直线，，， 可得， 整理可得， 则， 且，则，可得，解得， 设以MN为直径的圆过定点， 则，， 可得， 则， 整理可得， 则， 可得， 注意到上式对任意的k均成立，则，解得， 所以以MN为直径的圆过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $