5.2 矩形的性质与判定-【一战成名新中考】2025四川中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 6. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ AB∥DC, ∴ ∠BAD+∠ADC= 180°, 又∵ AE,DE 分别平分∠BAD,∠CDA, ∴ ∠BAE= ∠DAE,∠ADE= ∠CDE, ∴ ∠DAE+∠ADE= 90°,∴ ∠AED= 180°-∠DAE-∠ADE = 90°,即 AE⊥DE; (2)5. 命题点 2　 矩形的性质与判定 ①平行且相等　 ②直角(90°)　 ③平分且相等 ④直角(90°)　 ⑤相等　 ⑥直角(90°) 对点练习 1. (1)8,48;(2)3;(3) 　 2 2. (1)①②④ (2)证明:∵ ∠DEB= ∠DCE,∴ DE=DC, ∵ BD⊥BC,∴ BE=BC,∠DBE= 90°, ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ AD∥BC,AD=BC,∴ AD=BE, ∴ 四边形 ADBE 为平行四边形, 又∵ ∠DBE= 90°,∴ ▱ADBE 为矩形. 3. 4　 4. 3　 5. 1 k 命题点 3　 菱形的性质与判定 ①平行　 ②相等　 ③相等　 ④互补　 ⑤垂直平分　 ⑥平分 ⑦相等　 ⑧互相垂直　 ⑨相等 对点练习 1. C　 2. (1)70;(2)5;(3)5　 3. 　 2 命题点 4　 正方形的性质与判定 ①平行四边形　 ②相等　 ③直角(90°)　 ④互相垂直平分 ⑤相等　 ⑥垂直　 ⑦直角　 ⑧相等 对点练习 1. (1)22. 5°;(2) 2 ,12　 2. A 3. 证明:如解图,连接 MP,PN,NQ,QM, ∵ AM=MD,BP=PD,∴ PM= 1 2 AB, ∴ PM 是△ABD 的中位线, ∴ PM∥AB,PM= 1 2 AB; 同理 NQ= 1 2 AB,NQ∥AB, ∴ PM=NQ,且 PM∥NQ. ∴ 四边形 MPNQ 是平行四边形. ∴ MN 与 PQ 互相平分. 第 3 题解图 拓展　 解:∵ N、P 分别为 BC、BD 的中点, ∴ NP∥CD,NP= 1 2 CD, 又∵ PM∥AB,PM= 1 2 AB,AB=CD= 2,AB⊥CD, ∴ PM⊥NP,PM=NP= 1, ∴ ▱MPNQ 为正方形, ∴ 四边形 PMQN 的面积为 PM2 = 1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第六章　 圆 命题点 1　 圆的基本概念与性质 ①相等　 ②圆心　 ③直径　 ④相等　 ⑤相等　 ⑥∠COD　 ⑦CD　 ⑧相等　 ⑨平分　 ⑩垂直于　 􀃊􀁉􀁓平分　 􀃊􀁉􀁔平行 􀃊􀁉􀁕一半　 􀃊􀁉􀁖相等　 􀃊􀁉􀁗直径　 􀃊􀁉􀁘 1 2 　 􀃊􀁉􀁙 = 　 􀃊􀁉􀁚90　 􀃊􀁉􀁛 α 2 􀃊􀁊􀁒180°- α 2 　 􀃊􀁊􀁓互补　 􀃊􀁊􀁔180° 　 􀃊􀁊􀁕∠B 对点练习 1. ①②③④　 2. ①②④　 3. (1)40°;(2)1;(3)2 　 2 4. (1)4;(2)3;4 　 5 ;(3) 1 2 或 7 2 5. (1)110;(2)90;(3)5;(4)75 或 105 6. (1)证明:∵ OD=OB,∴ ∠OBD= ∠ODB, ∵ AB=AC,∴ ∠C= ∠OBC,∴ ∠C= ∠ODB,∴ OD∥AC; (2)解:如解图,连接 BE, 第 6 题解图 ∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ADB= ∠E= 90°, ∵ AD= 2,BD= 4,∴ AB= 　 AD2 +BD2 = 2 　 5 , ∴ AC=AB= 2 　 5 , ∵ ∠C= ∠ODB= ∠OBD,∴ tanC= tan∠OBD, ∴ BE CE = AD DB = 1 2 , ∴ BE 2 　 5 +AE = 1 2 ,∴ AE= 2BE-2 　 5 , 又∵ AE2 +BE2 =AB2 = 20, 解得 BE= 8 　 5 5 或 BE= 0(舍去),∴ AE= 6 　 5 5 . 命题点 2　 与圆有关的位置关系 ①>　 ② = 　 ③<　 ④>　 ⑤ = 　 ⑥<　 ⑦垂直于　 ⑧等于　 ⑨平分线　 􀃊􀁉􀁒垂直平分线 例 1 题解图 例 1　 证明:连接 OD,如解图, ∵ AB 为☉O 的直径, ∴ AD⊥BC, ∵ AB=AC,∴ BD=DC, ∵ BO=OA,∴ OD∥AC, ∵ DE⊥AC,∴ OD⊥DE, ∴ DE 是☉O 的切线. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 331 基础夯实练·四川数学 第 五 章 　 四 边 形 命题点 2　 矩形的性质与判定(成都 8 年 7 考) 要点 1 矩形的基本性质及其判定 定义 有一个角是直角的平行四边形 ∙∙∙∙∙ 叫作矩形 性质 矩形具有平行四边形的所有性质. (1)边:对边分别①　 平行且相等　 ; (2)角:四个角都是②　 直角(90°) 　 ; (3)对角线:对角线互相③　 平分且相等　 ; (4)对称性:既是中心对称图形又是轴对称图形,对称中心是两条对角线的交点,对 称轴是经过对角线交点且平行于边的直线,共 2 条 周长 C= 2(AB+BC)(相邻两边之和的二倍) 面积 S=AB·BC(相邻两边的乘积) 判定 定理 (1)有一个角是④　 直角(90°) 　 的平行四边形是矩形; (2)对角线⑤　 相等　 的平行四边形是矩形; (3)有三个角是⑥　 直角(90°) 　 的四边形是矩形 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. 在矩形 ABCD 中,连接对角线 AC. (1)[北师九上 P13 随堂练习改编]如图 1,连接 BD 交 AC 于点 O,若 AO = 5,AB = 6,则 BC= 　 8　 ,矩形 ABCD 的面积为　 48　 ; (2)如图 2,点 O 是 AC 的中点,点 E 在 AD 上,连接 EO 并延长,交 BC 于点 F,若 AD= 4,AE= 1,则 BF= 　 3　 ; (3)如图 3,作 BF⊥AC 于点 F,延长 BF 交 AD 于点 E,若 AE=DE= 1,则 AB= 　 　 2 　 . 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 第 1 题图 39 基础夯实练·四川数学 第 五 章 　 四 边 形 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 2. 如图 1,在▱ABCD 中,BD⊥BC,点 E 是 CB 延长线上一点,连接 AE. (1)有以下条件:①∠AEB = 90°,②AE∥BD,③AE = BE,④AD = EB. 其中能使四边形 ADBE 是矩形的条件有:　 ①②④　 (填序号) . (2)如图 2,连接 DE,若∠DEB= ∠DCE,求证:四边形 ADBE 为矩形. 第 2 题图 1 　 　 　 第 2 题图 2 (1)①②④; (2)证明:∵∠DEB=∠DCE,∴DE=DC,∵BD⊥BC,∴BE=BC,∠DBE=90°, ∵四边形 ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴AD=BE, ∴四边形 ADBE 为平行四边形,又∵∠DBE=90°,∴▱ADBE 为矩形. 要点 2 三个常考的矩形 类型 矩形中的“十字” 矩形中的“三垂直” 两邻边比为 1 ∶ 3的矩形 图示 结论 △AEF∽△BAF∽△BEA∽ △ACD(或△CAB); BE AC = AB BC ;AE AD = AF CF △ABE∽△ECF; 若 AB=a,AD=b,BE=x, 则 CF= x(b -x) a △AOB 和 △DOC 是 等边三 角形; AC=2AB,∠ADB=∠ACB=30° 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 3. 如图,在矩形 ABCD 中,AC 交 BD 于点 O,若∠AOD= 120°,AB= 2,则 BD= 　 4　 . 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 4. 如图,在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别在 AB,BC 上,若 AE= 3BE= 3,BF= 2CF,DF⊥EF, 则 EF= 　 3　 . 5. 如图,在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别在 BC,AD 上,点 M,N 分别在 AB,CD 上,EF⊥MN 于点 O. 若AB BC = k,则MN EF = 　 　 　 . 温馨提示:请完成分层作业本 P65-66 习题 49