5.1 多边形与平行四边形-【一战成名新中考】2025四川中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·四川数学 第五章　 四边形　 　 (成都每年 1~ 3 道,4~ 16 分) 　 　 　 　 第 五 章 　 四 边 形 命题点 1　 多边形与平行四边形(成都 8 年 6 考) 要点 1 多边形 多边形 (1)n 边形的内角和等于①　 (n-2)·180°　 (n≥3); (2)多边形的外角和为②　 360°　 ;(这是多边形计算中的一个突破口 ∙∙∙ ) (3)从 n(n>3)边形的一个顶点可以作(n-3)条对角线,n(n>3)边形共有n(n -3) 2 条对角线 正多 边形 (1)正多边形的每条边都相等,每个内角都相等; (2)正 n 边形的每个内角等于(n -2)·180° n ,每个外角等于360° n ; (3)对于正 n 边形,当 n 为奇数时,是轴对称图形;当 n 为偶数时,既是轴对称图形 又是中心对称图形;正 n 边形有 n 条对称轴; (4)正 n 边形有一个外接圆和一个内切圆,为同心圆 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. 若一个 n 边形(n≥3)的内角和为 540°,则 n= 　 5　 . 变式 1-1 [人教八上 P24 练习第 2 题改编] 若一个 n 边形的每一个内角都是 108°,则它 的每一个外角为　 72　 °,n= 　 5　 . 变式 1-2 若一个 n 边形的一个顶点可以画 8 条对角线,则 n = 　 11　 ,这个 n 边形一 共有　 44　 条对角线. 要点 2 三个常考的正多边形 名称 正五边形 正六边形 正八边形 图形 角度 内角和为 540°, 每个内角为 108°, 外角和为 360°, 每个外角为 72° 内角和为 720°, 每个内角为 120°, 外角和为 360°, 每个外角为 60° 内角和为 1 080°, 每个内角为 135°, 外角和为 360°, 每个外角为 45° 98 基础夯实练·四川数学 第 五 章 　 四 边 形 续表 常作辅 助线 线段 关系 BC∥AD, BE∥CD, AC∥ ED,AC=AD=BE, AB∥CF,AC⊥BE, BE= 2AB,AC= 　 3AB AD∥HE,AD⊥CF, 　 2AM=MN= 　 2ND=BC 特殊 图形 顶角为 36°的等腰三角 形,如△BAG,△ACD; 四边形 BCDG, CDEF 为 菱形 6 个 等 边 三 角 形, 如△OCD; 6 个菱形,如四边形 ABCO; 四边形 ACDF 为矩形 4 个 等 腰 直 角 三 角 形, 如△ABM; 四边形 MNKJ 为正方形; 四边 形 ADEH, BCFG 等 为 矩形 思考:以上图形还有哪些特殊结论,请同学们自己补充. 要点 3 多边形(n≥4)剪掉一个角后与原图形的变化对比(以四边形为例) 剪法 裁剪线不过顶点 裁剪线过一个顶点 裁剪线过两个顶点 图示 边数变化 增加一条边 不变 减少一条边 内角和 增加 180° 不变 减少 180° 外角和 不变,恒为 360° 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 2. 下列正多边形的组合中,能够铺满地面的是 ( A ) A. 正六边形和正三角形　 　 　 　 　 　 　 B. 正六边形和正方形 C. 正八边形和正五边形 D. 正十二边形和正五边形 3. [2023 泸州江阳区二诊]我们知道:五边形具有不稳定性,小文将正五边形沿箭头方向向 右推,使点 B 在线段 AC 上,若 AC∥DE,则∠E ( B ) 图 1 　 图 2 第 3 题图 A. 减小了 12°　 　 　 B. 增加了 12°　 　 　 C. 减少了 15°　 　 　 D. 增加了 15° 09 基础夯实练·四川数学 第 五 章 　 四 边 形 要点 4 平行四边形 定义 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 性质 (1)边:对边平行且③　 相等　 ; (2)角:对角④　 相等　 ,邻角⑤　 互补　 ; (3)对角线:对角线互相⑥　 平分　 ; (4)对称性:是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点 周长 如图,C▱ABCD = 2(AB+BC) 面积 如图,①S▱ABCD =BC·AE=BD·CF; ②S△ABC =S△ACD =S△ABD =S△BCD; ③S△AOB =S△AOD =S△BOC =S△DOC 判定 定理 (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法); (2)两组对边分别⑦　 相等　 的四边形是平行四边形; (3)一组对边⑧　 平行且相等　 的四边形是平行四边形; (4)对角线互相⑨　 平分　 的四边形是平行四边形; (5)两组对角分别⑩　 相等　 的四边形是平行四边形 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 第 5 题图 对 点练 习 4. 在平行四边形 ABCD 中,AC 是其对角线. (1)如图 1,DE⊥AC 于 E,若∠B= 65°,∠ACB= 45°,则∠CDE= 　 20　 °; (2)如图 2,连接 BD 交 AC 于 O,点 E 是 AD 的中点,若 DC= 4,则 EO= 　 2　 ; (3)如图 3,AC 的垂直平分线交 AD 于 E,若 AB= 3,BC= 5,则△CDE 的周长为　 8　 ; (4)如图 4,DE⊥AB 于 E,BF⊥AC 于 F,若 AB= 6,AC= 8,DE= 4,则 BF= 　 3　 . 图 1 　 图 2 　 图 3 　 图 4 第 4 题图 5. [人教八下 P47 第 2 题改编]多解法 ∙∙∙ 如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O. 若 E,F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点,连接 DF,BE,AF = CE,DF = BE, DF∥BE. 求证:四边形 ABCD 是平行四边形. 证明:∵DF∥BE,∴∠DFE=∠BEF,∴∠AFD=∠CEB. 又∵AF=CE,DF=BE,∴△AFD≌△CEB, ∴AD=BC,∠DAF=∠BCE,∴AD∥BC, ∴四边形 ABCD是平行四边形. 更多解法见本册 P 19 基础夯实练·四川数学 第 五 章 　 四 边 形 要点 5 平行四边形中的 4 个面积关系 图 形 O 为▱ABCD 的对称中心 点 A 是对角线 上任意一点 结 论 S1 =S2+S3 = 1 2 S▱ S1 =S2;OE=OF; AF=CE;BF=DE S1+S3 =S2+S4 = 1 2 S▱ S1 =S2 要点 6 平行四边形内角平分线模型———平行线+角平分线有等腰 一条 角平 分线 图 形 结 论 AB=BE △FAE∽△FBC∽△CDE; AF=AE,BC=BF,DE=DC 两条 角平 分线 图 形 结 论 AB=AE=CD=DE, ∠BEC= 90° AB=AF=DE =DC, CE⊥BF,EF = 2AB -AD AB=AF=DE=DC,CE ⊥BF,EF=AD-2AB AB = AF = CE = CD,四边形 BEDF 是平行四边形 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 第 6 题图 对 点练 习 6. 如图,在▱ABCD 中,E 为 BC 边上的一点,AE,DE 分别平分∠BAD,∠CDA. (1)求证:AE⊥DE; (2)若 AE= 6,DE= 8,则 AB= 　 5　 . (1)证明:∵四边形 ABCD为平行四边形, ∴AB∥DC, ∴∠BAD+∠ADC=180°, 又∵AE,DE 分别平分∠BAD,∠CDA, ∴∠BAE=∠DAE,∠ADE=∠CDE, ∴∠DAE+∠ADE=90°,∴∠AED=180°-∠DAE-∠ADE=90°, 即 AE⊥DE; (2)5. 温馨提示:请完成分层作业本 P63-64 习题 29 7. 　 10 5 　 8. 25 4 　 9. 11　 10. C 命题点 7　 锐角三角函数及其应用 ① a c 　 ② b c 　 ③ a b 　 ④ 2 2 　 ⑤ 3 2 　 ⑥ 3 2 　 ⑦ 1 2 　 ⑧1　 ⑨北偏东 30°　 ⑩南偏东 60°　 􀃊􀁉􀁓西北(北偏西 45°) 对点练习 1. (1) 4 5 , 3 5 , 4 3 ;(2)8, 3 4 　 变式　 2 　 5 5 2. 30　 变式 2-1　 北偏西 38°　 变式 2-2　 6 　 2 3. 20 3 　 4. 3. 7 第 5 题解图 5. 解:设过点 A 的水平线与 CD 交于点 E,如解图, 由题意知,四边形 ABDE 是 矩形,DE = AB = 10 米,AE = BD, 在 Rt△BCD 中, BD= CD tan60° = 　 3 3 CD, 在 Rt△ACE 中, AE= CE tan30° = 　 3 (CD-DE)= 　 3 (CD-10), ∴ 　 3 (CD-10)= 　 3 3 CD,解得 CD= 15. 答:建筑物 CD 的高为 15 米. 6.解:∵ ∠AOB=150°,∴ ∠AOC=180°-∠AOB=30°, 在 Rt△ACO 中,AC= 10 cm, ∴ AO= 2AC= 20(cm), 由题意得 AO=A′O= 20 cm, ∵ ∠A′OB= 108°, ∴ ∠A′OD= 180°-∠A′OB= 72°, 在 Rt△A′DO 中,A′D=A′O·sin72°≈20×0. 95 = 19(cm) . 答:此时顶部边缘 A′处离桌面的高度 A′ D 的长约为 19 cm. 大单元串讲练三　 全等三角形与相似三角形 1. 证明:∵ DE∥BC, ∴ ∠B= ∠ADE, 又∵ ∠A= ∠A, ∴ △ABC∽△ADE. 变式 解:AD=AB(答案不唯一) . 证明如下: 在△ABC 和△ADE 中, ∠BAC= ∠DAE, AB=AD, ∠B= ∠D, { ∴ △ABC≌△ADE(ASA) . 2. 证明:∵ AB= 20. 4,AC= 48,AE= 17,AD= 40, ∴ AB AE = 20. 4 17 = 1. 2, AC AD = 48 40 = 1. 2,∴ AB AE = AC AD , ∵ ∠BAC= ∠EAD,∴ △ABC∽△AED. 变式 证明:∵ ∠BAD= ∠CAE, ∴ ∠BAD+∠DAC= ∠CAE+∠DAC, 即∠BAC= ∠DAE, 在△ABC 和△ADE 中, AB=AD, ∠BAC= ∠DAE, AC=AE, { ∴ △ABC≌△ADE(SAS) . 3. 证明:由题图可知 AB= 2,BC= 12 +12 = 2 , AC= 32 +12 = 10 ,DE= 2,DF= 22 +22 = 2 2 , EF= 42 +22 = 2 5 , ∴ AB DF = 2 2 2 = 2 2 , BC DE = 2 2 , AC EF = 10 2 5 = 2 2 , ∴ AB DF =BC DE = AC EF = 2 2 , ∴ △ABC∽△FDE. 4. 证明:∵ BE=FC, ∴ BE+EF=FC+EF,即 BF=CE, 在△ABF 与△DCE 中, AB=DC, BF=CE, AF=DE, { ∴ △ABF≌△DCE(SSS) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第五章　 四边形 命题点 1　 多边形与平行四边形 ①(n-2)·180°　 ②360°　 ③相等　 ④相等　 ⑤互补 ⑥平分　 ⑦相等　 ⑧平行且相等　 ⑨平分　 ⑩相等 对点练习 1. 5　 变式 1-1　 72,5　 变式 1-2　 11,44　 2. A 3. B　 4. (1)20;(2)2;(3)8;(4)3 5. 解法一:证明:∵ DF∥BE,∴ ∠DFE= ∠BEF, ∴ ∠AFD= ∠CEB. 又∵ AF=CE,DF=BE,∴ △AFD≌△CEB, ∴ AD=BC,∠DAF= ∠BCE,∴ AD∥BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 解法二:证明:∵ DF∥BE,∴ ∠DFE= ∠BEF, 又∵ AF=CE,∴ AF+EF=CE+EF,∴ AE=CF, 又∵ DF=BE,∴ △ABE≌△CDF,∴ AB=CD, 又∵ ∠DFE= ∠BEF,∴ ∠AFD= ∠CEB, ∵ AF=CE,DF=BE,∴ △AFD≌△CEB,∴ AD=BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 解法三:证明:∵ DF∥BE,∴ ∠DFE= ∠BEF, ∵ AF=CE,∴ AF+EF=CE+EF,∴ AE=CF, 又∵ DF=BE,∴ △ABE≌△CDF, ∴ ∠BAE= ∠DCF,∴ AB∥CD, 又∵ ∠DFE= ∠BEF,∴ ∠AFD= ∠CEB, 又∵ AF=CE,DF=BE, ∴ △AFD≌△CEB,∴ ∠DAF= ∠BCE,∴ AD∥BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 解法四:证明:∵ DF∥BE,∴ ∠DFO= ∠BEO, ∵ DF=BE,∠DOF= ∠BOE, ∴ △DFO≌△BEO,∴ OF=OE,OD=OB, 又∵ AF=CE,∴ AF+OF=CE+OE,即 OA=OC, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 231 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 6. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ AB∥DC, ∴ ∠BAD+∠ADC= 180°, 又∵ AE,DE 分别平分∠BAD,∠CDA, ∴ ∠BAE= ∠DAE,∠ADE= ∠CDE, ∴ ∠DAE+∠ADE= 90°,∴ ∠AED= 180°-∠DAE-∠ADE = 90°,即 AE⊥DE; (2)5. 命题点 2　 矩形的性质与判定 ①平行且相等　 ②直角(90°)　 ③平分且相等 ④直角(90°)　 ⑤相等　 ⑥直角(90°) 对点练习 1. (1)8,48;(2)3;(3) 　 2 2. (1)①②④ (2)证明:∵ ∠DEB= ∠DCE,∴ DE=DC, ∵ BD⊥BC,∴ BE=BC,∠DBE= 90°, ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ AD∥BC,AD=BC,∴ AD=BE, ∴ 四边形 ADBE 为平行四边形, 又∵ ∠DBE= 90°,∴ ▱ADBE 为矩形. 3. 4　 4. 3　 5. 1 k 命题点 3　 菱形的性质与判定 ①平行　 ②相等　 ③相等　 ④互补　 ⑤垂直平分　 ⑥平分 ⑦相等　 ⑧互相垂直　 ⑨相等 对点练习 1. C　 2. (1)70;(2)5;(3)5　 3. 　 2 命题点 4　 正方形的性质与判定 ①平行四边形　 ②相等　 ③直角(90°)　 ④互相垂直平分 ⑤相等　 ⑥垂直　 ⑦直角　 ⑧相等 对点练习 1. (1)22. 5°;(2) 2 ,12　 2. A 3. 证明:如解图,连接 MP,PN,NQ,QM, ∵ AM=MD,BP=PD,∴ PM= 1 2 AB, ∴ PM 是△ABD 的中位线, ∴ PM∥AB,PM= 1 2 AB; 同理 NQ= 1 2 AB,NQ∥AB, ∴ PM=NQ,且 PM∥NQ. ∴ 四边形 MPNQ 是平行四边形. ∴ MN 与 PQ 互相平分. 第 3 题解图 拓展　 解:∵ N、P 分别为 BC、BD 的中点, ∴ NP∥CD,NP= 1 2 CD, 又∵ PM∥AB,PM= 1 2 AB,AB=CD= 2,AB⊥CD, ∴ PM⊥NP,PM=NP= 1, ∴ ▱MPNQ 为正方形, ∴ 四边形 PMQN 的面积为 PM2 = 1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第六章　 圆 命题点 1　 圆的基本概念与性质 ①相等　 ②圆心　 ③直径　 ④相等　 ⑤相等　 ⑥∠COD　 ⑦CD　 ⑧相等　 ⑨平分　 ⑩垂直于　 􀃊􀁉􀁓平分　 􀃊􀁉􀁔平行 􀃊􀁉􀁕一半　 􀃊􀁉􀁖相等　 􀃊􀁉􀁗直径　 􀃊􀁉􀁘 1 2 　 􀃊􀁉􀁙 = 　 􀃊􀁉􀁚90　 􀃊􀁉􀁛 α 2 􀃊􀁊􀁒180°- α 2 　 􀃊􀁊􀁓互补　 􀃊􀁊􀁔180° 　 􀃊􀁊􀁕∠B 对点练习 1. ①②③④　 2. ①②④　 3. (1)40°;(2)1;(3)2 　 2 4. (1)4;(2)3;4 　 5 ;(3) 1 2 或 7 2 5. (1)110;(2)90;(3)5;(4)75 或 105 6. (1)证明:∵ OD=OB,∴ ∠OBD= ∠ODB, ∵ AB=AC,∴ ∠C= ∠OBC,∴ ∠C= ∠ODB,∴ OD∥AC; (2)解:如解图,连接 BE, 第 6 题解图 ∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ADB= ∠E= 90°, ∵ AD= 2,BD= 4,∴ AB= 　 AD2 +BD2 = 2 　 5 , ∴ AC=AB= 2 　 5 , ∵ ∠C= ∠ODB= ∠OBD,∴ tanC= tan∠OBD, ∴ BE CE = AD DB = 1 2 , ∴ BE 2 　 5 +AE = 1 2 ,∴ AE= 2BE-2 　 5 , 又∵ AE2 +BE2 =AB2 = 20, 解得 BE= 8 　 5 5 或 BE= 0(舍去),∴ AE= 6 　 5 5 . 命题点 2　 与圆有关的位置关系 ①>　 ② = 　 ③<　 ④>　 ⑤ = 　 ⑥<　 ⑦垂直于　 ⑧等于　 ⑨平分线　 􀃊􀁉􀁒垂直平分线 例 1 题解图 例 1　 证明:连接 OD,如解图, ∵ AB 为☉O 的直径, ∴ AD⊥BC, ∵ AB=AC,∴ BD=DC, ∵ BO=OA,∴ OD∥AC, ∵ DE⊥AC,∴ OD⊥DE, ∴ DE 是☉O 的切线. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 331