3.11 二次函数图象与性质的应用-【一战成名新中考】2025四川中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·四川数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 11　 二次函数图象与性质的应用(成都 8 年 2 考) 要点 1 二次函数与方程、不等式的关系(二次函数与直线交点问题)(成都 2021. 13) 总体思想:数形结合. 二次函数与直线的位置关系是二次函数与方程、不等式关系的图象表 现,判断一个一元二次方程根的情况,可转化为观察二次函数图象与直线的交点个数;同样 地,要确定二次函数图象与直线的交点个数,也可以联立方程组,整理成一元二次方程后求 根的判别式. (1)二次函数 y=ax2 +bx+c 与一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 的关系 b2 -4ac>0 b2 -4ac= 0 b2 -4ac<0 一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 有两个不相 等的实数根 有两个相等 的实数根 没有实数根 二次函数 y=ax2 +bx+c (以 a>0 为例)与 x 轴 有两个不同的交点 只有一个交点 没有交点 (2)二次函数 y=ax2 +bx+c 与一元二次方程 ax2 +bx+c-t= 0 的关系 b2 -4a(c-t)>0 b2 -4a(c-t)= 0 b2 -4a(c-t)<0 一元二次方程 ax2 +bx+c-t= 0 有两个不相等 的实数根 有两个相等 的实数根 没有实数根 二次函数 y=ax2 +bx+c (以 a>0 为例) 与直线 y= t 有两个不同的交点 只有一个交点 没有交点 (3)二次函数 y=ax2 +bx+c、一次函数 y= kx+t 与一元二次方程 ax2 +bx+c= kx+t 的关系 注:一元二次方程 ax2 +bx+c= kx+t 的根的判别式为 Δ= (b-k) 2 -4a(c-t) . Δ>0 Δ= 0 Δ<0 一元二次方程 ax2 +bx+c= kx+t 有两个不相等 的实数根 有两个相等 的实数根 没有实数根 二次函数 y=ax2 +bx+c (以 a>0 为例) 与一次函数 y= kx+t 有两个不同的交点 只有一个交点 没有交点 45 基础夯实练·四川数学 第 三 章 　 函 　 数 (4)二次函数 y=ax2 +bx+c 与不等式 ax2 +bx+c>0 或 ax2 +bx+c<0 的关系 ax2 +bx+c>0(a>0) ax2 +bx+c<0(a>0) 图象 解集 全体实数 x≠x0 x<x1 或 x>x2 无解 无解 x1 <x<x2 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 第 1 题图 对 点练 习 1. 如图是二次函数 y=ax2 +bx+c 的部分图象. (1)方程 ax2 +bx+c= 0 的解是　 x1 =-1,x2 =3　 ; (2)方程 ax2 +bx+c= 2 的解是　 x1 =0,x2 =2　 ; (3)已知 t<2,则方程 ax2 +bx+c= t 的解有　 2　 个; (4)不等式 ax2 +bx+c>0 的解集是　 -1<x<3　 ; (5)不等式 ax2 +bx+c<2 的解集是　 x<0 或 x>2　 . 要点 2 含参类大小比较(成都 2024. 23) (1)已知 x 的大小比较 y. 基本方法有:增减性比较法、距离比较法、特殊值比较法等. (2)已知 y 的大小确定参数的取值范围 方法 1:将含参两点的横坐标代入二次函数解析式得到关于参数的代数式,作差并因式 分解,转化成两个一次因式的乘积与 0 的大小关系,再结合已知比较大小; 方法 2:图象法. 先定图象开口方向、对称轴得增减性,再根据已知分类:两点在对称轴同 侧,根据增减性得取值范围;两点在对称轴两侧,找其中一点关于对称轴的对称点,再结 合增减性得范围. 例 1　 已知点 A(m-1,y1),B(m,y2)是二次函数 y= x2 -2x+c 图象上两点,且 y1 <y2,求 m 的取 值范围. 方法 1: y1 = (m-1) 2 -2(m-1) +c= ①　 m2-4m+3+c　 ,y2 =m2 -2m+c. 由 y1 <y2 得 y1 -y2 = ②　 -2m+3　 <0,解得③　 m>　 　 ; 方法 2: 分类 点 A,B 均在对称轴 x= 1 的右侧 点 A,B 分别在对称轴 x= 1 的两侧 图示 计算求值 由增减性得 m>m-1≥1, 解得④　 m≥2 先求点 A 关于 x= 1 的对称点 A′的 横坐 标 为 3 - m, 再 得 不 等 式 组 m-1<1, 3-m<m,{ 解得⑤　 <m<2 结论 综上,m 的取值范围为⑥　 m> 55 基础夯实练·四川数学 第 三 章 　 函 　 数 要点 3 含参类最值问题 (1)轴动区间定类 基本思路:将对称轴 x=h 从自变量取值范围的左侧向右侧移动(相当于将抛物线从左向右 平移) . 图示如下: 分类 h<x1 x1≤h< x1 +x2 2 x1 +x2 2 ≤h<x2 h≥x2 图示 (a>0) 图示 (a<0) (2)轴定区间动类 基本思路:保持抛物线及其对称轴(x=h)固定不动,将自变量取值范围(m≤x≤n)从左向右 移动,按 n≤h;m +n 2 ≤h<n;m≤h<m +n 2 ;m>h 分类讨论,图示与(1)基本一致. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 2. 已知二次函数 y= -(x-h) 2(h 为常数),当自变量 x 的值满足 2≤x≤5 时,与其对应的 函数值 y 的最大值为-1,则 h 的值为 ( B ) A. 3 或 6　 　 　 　 B. 1 或 6　 　 　 　 C. 1 或 3　 　 　 　 D. 4 或 6 3. 已知抛物线 y= -x2 +2x+c 经过点 A(3,0),当 t≤x≤t+2 时,y 有最小值 7 4 . 求 t 的值. 解:t 的值为 1 2 或- 1 2 .答案详见本册 P 温馨提示:请完成分层作业本 P39-40 习题 65 ∵ y= x2 +2x-5 = (x+1) 2 -6, ∴ 顶点坐标为( -1,-6) . 2. (1)y= 1 4 x2 ;(2)y= x2 -2x+1; (3)解:设二次函数的解析式为 y=ax2 +bx+c, ∵ 对称轴是 y 轴,∴ b= 0, 将 B(2,1),C( -1,-1)代入,得 1 = 4a+c, -1 =a+c,{ 解得 a= 2 3 , c= - 5 3 , ì î í ï ï ï ï ∴ 该二次函数的解析式为 y= 2 3 x2 - 5 3 ; (4)解:设抛物线的解析式为 y=ax2 +bx+c, ∵ A(0,1),∴ c= 1, 将 B(2,1),C( -1,-1)代入,得 1 = 4a+2b+1, -1 =a-b+1,{ 解得 a= - 2 3 , b= 4 3 , ì î í ï ï ï ï ∴ 该抛物线的解析式为 y= - 2 3 x2 + 4 3 x+1. 3. 画图略;y= x2 -4x+3;y= x2 -1;y= x2 -2x+1;y= x2 -2x-1 4. y= 2x2 -4x+1;y= -2x2 -4x-1 命题点 10　 二次函数的图象与性质 ①- b 2a 　 ②h　 ③ x1 +x2 2 　 ④( - b 2a , 4ac-b2 4a )　 ⑤(h,k) ⑥ 4ac-b2 4a 　 ⑦k　 ⑧ 4ac-b2 4a 　 ⑨k　 ⑩减小　 􀃊􀁉􀁓增大　 􀃊􀁉􀁔增大 􀃊􀁉􀁕减小　 􀃊􀁉􀁖y 轴　 􀃊􀁉􀁗左　 􀃊􀁉􀁘右　 􀃊􀁉􀁙两个 例 1　 -1　 例 2　 (1)2;(2) 3 2 　 例 3　 3　 例 4　 y1 >y3 >y2 例 5　 (1)3,0;(2)4,0;(3)3,0 对点练习 1. (1)解图略. (2)①下,x= 1,(1,4);②1,大,4;③<;>; = 2. (1)①>;<;②1;③ = ;④> (2)①3;②>; = ;>;③≤;2a+b= 0 命题点 11　 二次函数图象与性质的应用 ①m2 -4m+3+c　 ②-2m+3　 ③m> 3 2 　 ④m≥2　 ⑤ 3 2 <m<2 ⑥m> 3 2 对点练习 1. (1)x1 = -1,x2 = 3;(2)x1 = 0,x2 = 2;(3)2; (4) -1<x<3;(5)x<0 或 x>2 2. B 3. 解:将 A(3,0)代入 y= -x2 +2x+c 得,-9+6+c= 0,∴ c= 3, ∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +2x+3, 由题意得,抛物线开口向下,对称轴为直线 x= - 2 -2 = 1, ∴ 当 x= 1 时,y 有最大值 4, 当 t+2≤1,即 t≤-1 时,在 x = t 处,y 取得最小值,∴ -t2 + 2t+3 = 7 4 ,解得 t= - 1 2 (舍)或 t= 5 2 (舍), 当 t≥1 时,在 x= t+2 处,y 取得最小值,∴ -( t+2) 2 +2( t+ 2) +3 = 7 4 ,解得 t= 1 2 (舍)或 t= - 5 2 (舍), 当 t<1<t+1,即 0<t<1 时,在 x= t+2 处,y 取得最小值, ∴ t= 1 2 或 t= - 5 2 (舍), 当 t+1<1<t+2,即-1<t<0 时,在 x= t 处,y 取得最小值, ∴ t= - 1 2 或 t= 5 2 (舍), 综上所述,t 的值为 1 2 或- 1 2 . 命题点 12　 二次函数的实际应用 例 1　 解:(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y= kx+b, 把(10,200),(25,140)代入,得 10k+b= 200, 25k+b= 140,{ 解得 k= -4, b= 240,{ ∴ y 与 x 之间的函数关系式为 y= -4x+240; (2)根据题意得:W= (x-8) y = ( x-8) ( -4x+240) = -4x2 +272x-1 920 = -4(x-34) 2 +2 704, ∵ -4<0, ∴ 当 x<34 时,W 随 x 的增大而增大, ∵ 售价不低于 10 元 / kg,不超过 30 元 / kg, ∴ 10≤x≤30, ∴ x= 30 时,W 最大,最大值为 2 640, ∴ 当销售价格定为 30 元时,日销售利润最大,最大是 2 640 元. 例 2　 D 例 3　 9　 【解析】根据题意,设抛物线的表达式为 y = a( x- 2) 2 +k(a≠0),将点 C(0,8)、B(8,0)代入, 得 4a+k= 8, 36a+k= 0,{ 解得 a= - 1 4 , k= 9, { ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 4 (x-2) 2 +9, ∵ - 1 4 < 0,∴ 当 x = 2 时,y 有最大值,最大值为 9,即 AD= 9 m. 大单元串讲练一　 函数的增减性与最值 1. 增大;减小;减小;增大;增大;减小;增大;减小 2. (1) -x(答案不唯一);(2) 1 x (答案不唯一); (3)x2(答案不唯一) 3. (1) <;(2) >;(3) > 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 031