3.10 二次函数的图象与性质-【一战成名新中考】2025四川中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·四川数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 10　 二次函数的图象与性质(成都必考) 要点 1 二次函数的图象与性质(图象⇔开口向上或向下的抛物线) 三种解析式 一般式 y=ax2 +bx+c 顶点式 y=a(x-h) 2 +k 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 大 致 图 象 a>0⇔ 开口向上 a<0⇔ 开口向下 对称轴 直线 x= ①　 - 　 　 直线 x= ②　 　 h　 直线 x= ③ 　 　 　 顶点坐标 ④ ( 　 　 ) 　 ⑤　 (h,k) 　 ——— 最 值 a>0⇔ y 有最小值 在对称轴处取最 小值⑥　 　 　 　 在对称轴处取 最小值⑦　 k　 ——— a<0⇔ y 有最大值 在对称轴处取 最大值⑧　 　 　 　 在对称轴处取 最大值⑨　 　 k　 ——— 增 减 性 a>0 在对称轴左侧时,y 随 x 增大而􀃊􀁉􀁒　 减小　 ; 在对称轴右侧时,y 随 x 增大而􀃊􀁉􀁓　 增大　 a<0 在对称轴左侧时,y 随 x 增大而􀃊􀁉􀁔　 增大　 ; 在对称轴右侧时,y 随 x 增大而􀃊􀁉􀁕　 减小　 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 第 1 题图 对 点练 习 1. 在如图所示的网格中建立平面直角坐标系 xOy,已知每个小正方形的边长均为 1,点 A,B,C,D 均在网格交点上,二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象恰好经过点 A,B,C,D. (1)该二次函数的图象还能经过网格中的哪个格点? 在图中描出这个点,并用描点 画图法画出这个二次函数的图象; 解:如解图中的点 E,画出二次函数的图象如解图. (2)观察这个二次函数图象,回答下列问题. ①图象的开口向　 下　 ,对称轴是直线　 x = 1　 ,顶点坐 标为　 (1,4) 　 ; ②当 x=　 1　 时,y 有最　 大　 (填“大”或“小”)值为　 4　 (填数字); 15 基础夯实练·四川数学 第 三 章 　 函 　 数 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 ③比较大小:若点( -2,m),( -1. 5,n)在该函数图象上,则 m　 <　 n; 若点(2,d),(4,t)在该函数图象上,则 d　 >　 t; 若点( -2,m),点(4,t)在该函数图象上,则 m　 = 　 t. 要点 2 二次函数的图象与 a、b、c 的关系(成都 2022. 8;2019. 10;2017. 10) a 决定抛物线的开口方向, | a | 决定 开口大小 a>0,抛物线开口向上; a<0,抛物线开口向下 a、b 决定抛物线对称轴的位置(对称 轴为直线x= - b 2a ) b= 0,对称轴为􀃊􀁉􀁖　 y 轴　 ; b a >0,对称轴在 y 轴􀃊􀁉􀁗　 左　 侧; b a <0,对称轴在 y 轴􀃊􀁉􀁘　 右　 侧 ü þ ý ï ï ï ï ïï 左同右异 c 决定抛物线与 y 轴交点的位置 c= 0,抛物线过原点; c>0,抛物线与 y 轴交于正半轴; c<0,抛物线与 y 轴交于负半轴 ü þ ý ï ï ï ï 与 y 轴必 有交点 b2- 4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数 b2 -4ac= 0 时,与 x 轴有唯一的交点(顶点); b2 -4ac>0 时,与 x 轴有􀃊􀁉􀁙　 两个　 交点; b2 -4ac<0 时,与 x 轴没有交点 特殊 关系 看到 2a+b,比较- b 2a 和 1 的大小;　 　 看到 2a-b,比较- b 2a 与-1 的大小; 看到 a+b+c,令 x= 1,看 y 的值; 看到 a-b+c,令 x= -1,看 y 的值; 看到 4a+2b+c,令 x= 2,看 y 的值; 看到 4a-2b+c,令 x= -2,看 y 的值 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 2. [2024 成都高新区一模改编]二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象如图所示,对称轴是直线 x = 1. 请结合图象,回答下列问题. (1)基本信息 ①开口向上→a　 >　 0;与 y 轴交于负半轴→c　 <　 0; ②对称轴是直线 x= 1→- b 2a = 　 1　 ; ③与 x 轴的一个交点横坐标是-1→a-b+c　 = 　 0; ④与 x 轴有两个交点→b2 -4ac　 >　 0 (2)推导信息 ①与 x 轴的另一个交点横坐标是　 3　 ; ②abc　 >　 0;9a+3b+c　 = 　 0;4a-2b+c　 >　 0; ③a+b　 ≤　 am2 +bm;2a 和 b 的关系是　 2a+b=0　 . 25 基础夯实练·四川数学 第 三 章 　 函 　 数 要点 3 解二次函数基本性质问题必备技能 技能 1　 找出“隐藏”的对称轴 情形 1:二次项系数和一次项系数比是常数(即 b a =m)→对称轴为直线 x= - b 2a = -m 2 . 例 1　 抛物线 y=ax2 +2ax+c(a≠0)的对称轴为直线 x= 　 -1　 . 情形 2:看到抛物线上纵坐标相等的两点(x1,n),(x2,n)→对称轴为直线 x= x1 +x2 2 . 例 2　 写出下列抛物线的对称轴. (1)与直线 y=n 交于点(1,n),(3,n)的抛物线:对称轴是直线 x= 　 2　 ; (2)x,y 的几组对应值如表所示的抛物线:对称轴是直线 x= 　 　 　 . x … -2 0 1 3 … y … 6 -4 -6 -4 … 技能 2　 巧用对称轴 应用 1:求纵坐标相等两点的横坐标 例 3　 已知抛物线与 x 轴交于 A(1,0)和 B,对称轴是直线 x= 2,则点 B 的横坐标为　 3　 . 应用 2:利用对称轴,比较函数值大小 例 4　 多解法 ∙∙∙ 若二次函数 y=a(x-3) 2 +c(a>0)的图象过 A( -1,y1),B(2,y2),C(5,y3 ),则 y1, y2,y3 的大小关系是　 y1>y3>y2 　 . (用“>”连接) 方法指导方法一:增减性比较法. 基本步骤:由 a 定开口方向→确定对称轴→把所有点 转化到对称轴的同一侧→由增减性得大小,如图 1,图 2. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 　 　 图 4 方法二:距离法. 先定开口方向,再算“距离”,开口向上,距离对称轴越远的值越大,开􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 口向下,距离对称轴越远的值越小,如图 3,图 4􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. 应用 3:定轴定区间最值问题 由 a 定开口→结合对称轴 x=h 定增减性→判断 x = h 与自变量取值范围 m≤x≤n 的关系→ 分段取最值. 例 5　 已知二次函数 y= -(x-1) 2 +4,填空. (1)当-1≤x≤0 时,函数的最大值是　 3　 ,最小值是　 0　 ; (2)当-1≤x<3 时,函数的最大值是　 4　 ,最小值是　 0　 ; (3)当 2≤x≤3 时,函数的最大值是　 3　 ,最小值是　 0　 . 温馨提示:请完成分层作业本 P37-38 习题 35 ∵ y= x2 +2x-5 = (x+1) 2 -6, ∴ 顶点坐标为( -1,-6) . 2. (1)y= 1 4 x2 ;(2)y= x2 -2x+1; (3)解:设二次函数的解析式为 y=ax2 +bx+c, ∵ 对称轴是 y 轴,∴ b= 0, 将 B(2,1),C( -1,-1)代入,得 1 = 4a+c, -1 =a+c,{ 解得 a= 2 3 , c= - 5 3 , ì î í ï ï ï ï ∴ 该二次函数的解析式为 y= 2 3 x2 - 5 3 ; (4)解:设抛物线的解析式为 y=ax2 +bx+c, ∵ A(0,1),∴ c= 1, 将 B(2,1),C( -1,-1)代入,得 1 = 4a+2b+1, -1 =a-b+1,{ 解得 a= - 2 3 , b= 4 3 , ì î í ï ï ï ï ∴ 该抛物线的解析式为 y= - 2 3 x2 + 4 3 x+1. 3. 画图略;y= x2 -4x+3;y= x2 -1;y= x2 -2x+1;y= x2 -2x-1 4. y= 2x2 -4x+1;y= -2x2 -4x-1 命题点 10　 二次函数的图象与性质 ①- b 2a 　 ②h　 ③ x1 +x2 2 　 ④( - b 2a , 4ac-b2 4a )　 ⑤(h,k) ⑥ 4ac-b2 4a 　 ⑦k　 ⑧ 4ac-b2 4a 　 ⑨k　 ⑩减小　 􀃊􀁉􀁓增大　 􀃊􀁉􀁔增大 􀃊􀁉􀁕减小　 􀃊􀁉􀁖y 轴　 􀃊􀁉􀁗左　 􀃊􀁉􀁘右　 􀃊􀁉􀁙两个 例 1　 -1　 例 2　 (1)2;(2) 3 2 　 例 3　 3　 例 4　 y1 >y3 >y2 例 5　 (1)3,0;(2)4,0;(3)3,0 对点练习 1. (1)解图略. (2)①下,x= 1,(1,4);②1,大,4;③<;>; = 2. (1)①>;<;②1;③ = ;④> (2)①3;②>; = ;>;③≤;2a+b= 0 命题点 11　 二次函数图象与性质的应用 ①m2 -4m+3+c　 ②-2m+3　 ③m> 3 2 　 ④m≥2　 ⑤ 3 2 <m<2 ⑥m> 3 2 对点练习 1. (1)x1 = -1,x2 = 3;(2)x1 = 0,x2 = 2;(3)2; (4) -1<x<3;(5)x<0 或 x>2 2. B 3. 解:将 A(3,0)代入 y= -x2 +2x+c 得,-9+6+c= 0,∴ c= 3, ∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +2x+3, 由题意得,抛物线开口向下,对称轴为直线 x= - 2 -2 = 1, ∴ 当 x= 1 时,y 有最大值 4, 当 t+2≤1,即 t≤-1 时,在 x = t 处,y 取得最小值,∴ -t2 + 2t+3 = 7 4 ,解得 t= - 1 2 (舍)或 t= 5 2 (舍), 当 t≥1 时,在 x= t+2 处,y 取得最小值,∴ -( t+2) 2 +2( t+ 2) +3 = 7 4 ,解得 t= 1 2 (舍)或 t= - 5 2 (舍), 当 t<1<t+1,即 0<t<1 时,在 x= t+2 处,y 取得最小值, ∴ t= 1 2 或 t= - 5 2 (舍), 当 t+1<1<t+2,即-1<t<0 时,在 x= t 处,y 取得最小值, ∴ t= - 1 2 或 t= 5 2 (舍), 综上所述,t 的值为 1 2 或- 1 2 . 命题点 12　 二次函数的实际应用 例 1　 解:(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y= kx+b, 把(10,200),(25,140)代入,得 10k+b= 200, 25k+b= 140,{ 解得 k= -4, b= 240,{ ∴ y 与 x 之间的函数关系式为 y= -4x+240; (2)根据题意得:W= (x-8) y = ( x-8) ( -4x+240) = -4x2 +272x-1 920 = -4(x-34) 2 +2 704, ∵ -4<0, ∴ 当 x<34 时,W 随 x 的增大而增大, ∵ 售价不低于 10 元 / kg,不超过 30 元 / kg, ∴ 10≤x≤30, ∴ x= 30 时,W 最大,最大值为 2 640, ∴ 当销售价格定为 30 元时,日销售利润最大,最大是 2 640 元. 例 2　 D 例 3　 9　 【解析】根据题意,设抛物线的表达式为 y = a( x- 2) 2 +k(a≠0),将点 C(0,8)、B(8,0)代入, 得 4a+k= 8, 36a+k= 0,{ 解得 a= - 1 4 , k= 9, { ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 4 (x-2) 2 +9, ∵ - 1 4 < 0,∴ 当 x = 2 时,y 有最大值,最大值为 9,即 AD= 9 m. 大单元串讲练一　 函数的增减性与最值 1. 增大;减小;减小;增大;增大;减小;增大;减小 2. (1) -x(答案不唯一);(2) 1 x (答案不唯一); (3)x2(答案不唯一) 3. (1) <;(2) >;(3) > 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 031